Hauptraum

14.08.2010, 23:36	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptraum Guten Abend miteinander! Ich repetiere gerade den Stoff der Linearen Algebra und der Analysis des ersten Jahres und habe eine Frage bezüglich der Hauptraum-Bestimmung. (Wir verwenden statt "Hauptraum" die Bezeichnung: "Verallgemeinerter Eigenraum" = "VEig") Also, machen wir das anhand eines Beispiels: Sei $\begin{eqnarray} A:= \begin{pmatrix} 5 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \in Mat_{3 \times 3} ( \mathbb Q ) \end{eqnarray}$ Dann berechnet man die Eigenwerte, und zwar wie folgt: $\begin{eqnarray} det(xE_3 - A) = (x-5)(x-5)(x-3) \end{eqnarray}$ , was die Eigenwerte 5 (doppelter EW) und 3 ergibt. [Anmerkung: Klar, man hätte die EW auch direkt ablesen können, wegen der oberen Dreiecksmatrix - aber der Vollständigkeit halber mach ich's so] Kommen wir zur Berechnug der Eigenvektoren. Hier muss gelten: $\begin{eqnarray} (A- \lambda E) \cdot x = 0 \end{eqnarray}$ Das heisst: Für den EW 3 erhält man den EV $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und für den EW 5 erhält man den EV $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Obwohl der EW 5 algebraische Vielfachheit 2 hat, haben wir nur einen EV. Das heisst: $\begin{eqnarray} Eig(A,3) = < \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Eig(A,5) = < \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} > \end{eqnarray}$ Nun zum Verallgemeinerten Eigenraum: $\begin{eqnarray} VEig(A,3) = < \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} > = \mathbb Q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} VEig(A,5) = < \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} > = \mathbb Q^2 \end{eqnarray}$ Meine Frage an Euch: Ist all dies korrekt? Grund meiner Frage ist, dass ich dieses Beispiel von einem Buch habe, das in den Lösungen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als zweiten Vektor in VEig(A,5) angibt, und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein A-invarianter Unterraum ist. Zum Schluss wird VEig(A,5) angegeben als: $\begin{eqnarray} VEig(A,5) \oplus < \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} > = \mathbb Q^3 \end{eqnarray}$ Heisst das also, dass oben eigentlich alles richtig wäre, dass man aber für den VEig die direkte Summe der VEig's aller Eigenwerte nimmt? (Wieso schreibt man dann aber immernoch VEig(A,5), und nicht $\begin{eqnarray} VEig(A, \lambda) \end{eqnarray}$ ? ) Herzlichen Dank für die Hilfe und eine gute Nacht!
14.08.2010, 23:57	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Dein Hauptraum für den Eigenwert mit Vielfachheit 2 ist leider nicht vollständig. Offensichtlich ist dein Raum nicht zweidimensional und die direkte Summe der Haupträume ist nicht der ganze Raum. (Eure Bezeichnung als "generalisierter Eigenvektor" kommt vermutlich aus dem Englischen) Du solltest dir die Def. eines Hauptvektors genauer ansehen (also eines Vektors aus dem Hauptraum). Es gilt: $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ist Eigenvektor <--> $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)v=0 \end{eqnarray}$ aber: $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ist Hauptvektor <--> $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)^r v=0 \end{eqnarray}$ wo r die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes darstellt. Du brauchst eben so viele Vektoren, wie dein (Jordan)Block zum Eigenwert groß ist - und obige Formel liefert dir diese Vektoren. Offensichtlich ist jeder Eigenvektor auch Hauptvektor. Du kannst die Hauptvektoren auch der länge nach ordnen und noch weitere Aussagen darüber treffen, wenn du möchtest. Haupträume sind dann immer invariant unter dem Endomorphismus, den du betrachtest. Deswegen funktioniert auch die Zerlegung in eine Blockdiagonalmatrix mittels Zerlegung und Haupträume (was dann, wenn man noch ein paar Zutaten hinzufügt, zur Jordan-Normalform führt). Gruß MI
15.08.2010, 00:05	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Okey, verstanden. Wie aber kommt man auf den zweiten Vektor von VEig(A,5)? Bzw. wieso ist dieser zweite Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Herzlichen Dank für die Erklärungen!
15.08.2010, 00:26	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Naja gut, in dem Fall kann man natürlich einfach sagen: Ich weiß, dass die direkte Summe der Haupträume den ganzen Raum darstellt --> dieser Vektor fehlt noch, also muss er darin sein, aber allgemein funktioniert das eher weniger . Allgemein kannst du entweder die Definition direkt auswerten, oder andere Algorithmen benützen. Eine Möglichkeit ist z.B.: Bestimme $\begin{eqnarray} \operatorname{Kern}(A-\lambda E) \end{eqnarray}$ --> Eigenraum und nun sukzessive: $\begin{eqnarray} \operatorname{Kern}((A-\lambda E)^r) \end{eqnarray}$ wobei r=2,3,... Dein Kern wird immer weiter wachsen und an dem Punkt, wo beim nächsten Schritt nichts mehr hinzukommt (oder du weißt, dass du genügend Vektoren beisammen hast) bist du fertig (das ist im Übrigen genau dann der Fall, wenn r der Exponent des Linearfaktors deines Eigenwertes im Minimalpolynom ist - der Hauptraum ist nämlich gerade der Kern des Minimalpolynomfaktors). Der Vorteil dieses Algorithmus ist der, dass du a) Die Länge der einzelnen Vektoren beobachten kannst (Länge = r, wenn der Vektor beim r-ten Schritt das erste Mal im Kern auftaucht) und damit sofort die Jordanblockgestalt des Hauptraumes ablesen kannst b) Von den so gewonnenen Vektoren relativ einfach eine Trafo-Matrix für Jordangestalt basteln kannst. c) wenn du genau hinschaust, die Gauß-Umformungen vom vorherigen Schritt immer mitnehmen kannst. Gruß MI
15.08.2010, 00:38	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Gut, die erste Argumentation kann ich nachvollziehen, da ich auch gerade ein Lemma gelesen habe, welches diese Eigenschaft besagt. ..schade, dass dies im Allgemeinen eher weniger funktioniert :P Zur Algorithmus-Methode eine Frage: Dadurch findet man im Grunde nur heraus, wie die Dimension (ich hoffe, der Ausdruck stimmt hier) des Hauptraumes aussieht, oder? Und noch eine Frage zum Technischen: Angenommen, ich möchte Kern((A-Lambda*E)^2) berechnen. Gibt es eine Methode, wie man Matrizen im Quadrat berechnet? (ich meine deswegen, weil an Prüfungen Matrizen-Rechner nicht zugelassen sind..)
15.08.2010, 00:56	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Nein. Sagen wir $\begin{eqnarray} \mu_A(x)=\prod_{i} p_i^{m_i} \end{eqnarray}$ ist das Minimalpolynom (du weißt, was das MiPo ist, hoffe ich?), wobei die $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ irgendwelche irreduziblen Polynome sind. Sei z.B. $\begin{eqnarray} p_i=(a-\lambda_i) \end{eqnarray}$ (also ein Linearfaktor) für eines dieser p_i. Dann bekommst du den Hauptraum zu diesem Linearfaktor, d.h. den Hauptraum zum Eigenwert lambda genau zu: $\begin{eqnarray} H(A,\lambda)=\operatorname{Kern}((A-\lambda E)^{m_i}) \end{eqnarray}$ Du bekommst ja auch per $\begin{eqnarray} \operatorname{Kern}(A-\lambda E) \end{eqnarray}$ die Eigenräume berechnet (es gibt natürlich auch andere Methoden Eigenräume bzw. Haupträume zu bestimmen als über Kerne - z.B geht das über Bilder auch, aber da bin ich nicht so firm drin und es ist spät ). Die Dimension des Kerns ist dann die Dimension des Hauptraumes. Das quadrieren von Matrizen ist natürlich eine besch. Angelegenheit. Daher auch Teil c): Nehmen wir an, du bestimmst zunächst den Eigenraum: $\begin{eqnarray} Kern(A-\lambdaE) \end{eqnarray}$ Dann darfst du ja, ohne den Kern zu verändern, Gauß-Zeilen-Umformungen machen. Das bedeutet du multiplizierst von links mit einer invertierbaren Matrix $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und erhälst eine "schönere Form" (Zeilenstufenform z.B., also wie du halt den Kern ablesen kannst). Nun gehst du zum zweiten Schritt: $\begin{eqnarray} Kern(A-\lambdaE)^2=Kern((A-\lambdaE)(A-\lambdaE)) \end{eqnarray}$ Wieder sind Gauß-Umformungen von links erlaubt, d.h.: Anstatt das oben zu multiplizieren, betrachte: $\begin{eqnarray} Kern((A-\lambdaE)(A-\lambdaE))=Kern(G(A-\lambdaE)(A-\lambdaE)) \end{eqnarray}$ So, das $\begin{eqnarray} G(A-\lambdaE) \end{eqnarray*}$ ist aber ja deine schöne Form von oben (mit Nullzeilen, etc.) - d.h.: Multiplizieren ist wesentlich einfacher . Gruß MI
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15.08.2010, 01:08	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Ich danke Dir herzlich! ..und hoffe, dass an der Prüfung keine Matrizen kommen, bei welchen eine solch besch. :P Arbeit nötig sein wird =) ..evtl. werde ich mich zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal melden - dann vielleicht mit einem anderen Beispiel, weil ich nur sehr vereinzelt (und teilw. schlechte) Beispiele über den Hauptraum gefunden habe.. Also, nochmals herzlichen Dank und eine gute Nacht!

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