Prüfungsvorbereitung [DGL] -> Allgemeine Fragen

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Majin_Clodan Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfungsvorbereitung [DGL] -> Allgemeine Fragen
Hi Leute! smile

Ich stecke mitten in meiner mündlichen Prüfungsvorbereitung für Numerik, welche ich am 24.8 haben werde und mir sind hierbei bei meinen Mitschriften und des Skriptes von meinem Professor einige Fragen eingefallen, auf die ich selber keine Antwort hätte. Es wäre supi, wenn ihr mir dabei helfen könntet, damit ich dann weniger in der mündlichen Prüfung durchlöchert werde. smile
Hierbei möchte ich noch anmerken, dass ich für das Modul Numerik nicht so viel Analysis gehabt habe, wie man haben sollte, da wir nicht wussten, dass man wirklich so viel Analysis für braucht, aber trotzdem kämpften wir usn gut durch. smile

_____


1)
Anfangs- oder Randbedingungen werden ja festgelegt, um eine Lösung von einer gewöhnlichen oder partiellen DGL zu erhalten. Hierbei steht in dem Skript meines Professors, dass man mithilfe von Anfangs- oder Randbedingungen eine eindeutige Lösung findet. Heißt das, dass man ohne Anfangs- oder Randbedingungen nur uneindeutige Lösungen herausbekommt oder überhaupt keine?


2)
Des weiteren habe ich den folgenden Satz im Skript gefunden:
Jedes explizite System von n DGL m-ter Ordnung lässt sich in ein äquivalentes System erster ORdnung mit m*n Gleichungen umformen.
Hierbei weiß ich nicht, was ein explizites System oder ein, falls es sowas auch gibt, ein implizites System ist. Könnt ihr mir erklären, wie die Definition des expliziten und vielleicht auch impliziten Systems ist? smile


3)
Ich fand in meinen Mitschriften den folgenden Satz:
Für die meisten gewöhnlichen oder partiellen DGL kann man keine geschlossene Lösung angeben.
Hierbei weiß ich leider nicht, was eine geschlossene Lösung ist. Könntet ihr mir erklären, was das in Bezug zu DGL's ist? smile


4)
ICh fand auch öfters im Skript den Begriff "asymptotische Fehlerordnung". Wie lässt sich diese erklären? Ist das die Ordnung des Fehlers einer Asymptote oder so? Ich weiß das leider nicht und kan auch kaum erahnen, was das genau zu bedeuten hat. unglücklich


5)
Bedeutet der Begriff "Differenzenformel" das gleiche wie "Differenziation"? Es erscheint mir zumindest so, aber ich möchte das lieber nochmal nachfragen. Falls dem nicht so ist, was ist der Unterschied zwischen den beiden Begriffen? Könntet ihr mir dabei helfen? smile


6)
Im Skript stieß ich des weiteren auf den Begriff "Lösungsmatrix". Was ist denn eine Lösungsmatrix? Ich habe bisher noch nie von so einer Matrix gehört. unglücklich


7)
Wieso halbiert sich beim expliziten, sowie beim impliziten Eulerverfahren der Fehler, wenn sich auch die Schrittweite halbiert? Hinter dieser Bemerkung steht auch, dass beide Verfahren die Konsistenzordnung 1 haben. Könntest dies damit zusammenhängen oder so? Wieso halbiert sich der Fehler? Das verstehe ich nicht genau. unglücklich


8)
Es steht dann auch noch im Skript, dass das explizite Euler-Verfahren die Konsistenz- und Konvergenzordnung 1 beträgt. Wieso ist das so? Kann man das auf eine leichte Art und Weise erklären? smile


9)
Beim expliziten Euler-Verfahren erfolgt die Näherung ja über ein Rechteck. Gilt dies auch für das implizite Euler-Verfahren?


10)
In meinen Mitschriften ist das explizite einschrittverfahren wie folgt definiert:
Ist die Verfahrensfunktion unabhängig von der Schrittweite h, so spricht man von einem expliziten ESV, ansonsten von einem impliziten ESV.
Was bedeutet hier "unabhängige Schrittweite"? Was kann man sich darunter vorstellen? smile


11)
Warum hat ein explizites s-stufiges RK-Verfahren höchstens die Konvergenzordnung s, und ein implizites RK-Verfahren dagegen idealerweise die Konvergenzordnung 2s? Das verstehe ich leider gar nicht. unglücklich


12)
Was ist denn gestörtes explizites Einschrittverfahren? Was meint man hier mit "gestört"? smile


13)
Des weiteren steht im Skript etwas von einer "optimalen Schrittweite", aber leider keine Definition dazu oder so. Wann ist denn eine Schrittweite optimal? Welche Bedingungen müssten denn dafür vorliegen?


14)
Im Skript steht auch noch, dass es bei hohen Genauigkeitsanforderungen sinnvoll sein kann, ein ESV mit einer hohen Konsistenzordnung zu wählen, da ein solches im Allgemeinen eine geringere Rechengenauigkeit benötigt. Warum ist das so? O.o?


15)
Ich finde in meinen Mitschriften den Begriff "lineares Lösungsverhalten". Was kann man sich darunter vorstellen und wie könnte sowas aussehen? smile


16)
Ich finde auch den Begriff "asymptotische Entwicklung" im Skript. Da ich leider nicht so viel Analysis hatte, kann ich damit leider nichts anfangen. Könntet ihr mir erklären, was man sich darunter vorstellen könnte? smile


17)
Bei einem Satz von impliziten Runge-Kutta-Verfahren steht, dass diese günstige Stabilitätseigenschaften haben. Wieso ist das so d.h. warum haben diese keine schlechten Stabilitätseigenschaften? smile


18)
Was versteht man unter einer "Grundschrittweite"? Die Schrittweite, die man mindestens gehen sollte oder was genau?


19)
Wieso können Anfangswertaufgaben nur mit impliziten Verfahren gelöst werden? Hierbei weiß ich leider absolut gar nicht, wieso das so ist. unglücklich


20)
Wieso sind denn eigentlich RK-Verfahren nicht für die Lösung von steifen Systemen geeignet? Bekommt man dann falsche Werte oder ungenaue Werte heraus oder warum ist das so?


21)
Im Skript steht dann auch der Begriff "Superstabilität". Was ist das genau? Meint man damit die beste Stabilität oder was genau? Leider gibt es dazu keine Definition in dem Skript. unglücklich


22)
Kurz nach dem Begriff der "Superstabilität" steht der Begriff "I-Stabilität von RK-Verfahren". Auch hierbei gibt es leider kene Definition im Skript. Was kann man sich darunter vorstellen und hängt es irgendwie mit der Superstabilität zusammen? smile


23)
Auf wikipedia steht, dass der Vorteil von Mehrschrittverfahren gegenüber Einschrittverfahren ihr Verhältnis in Kosten und Konsistenzordnung ist. Haben also nun Mehrschrittverfahren geringere Kosten und eine höhere Konsistenzordnung oder so? Wieso ist das so? O.o?


24)
Warum ist denn eigentlich das Stabilitätsgebiet S eines expliziten Mehrschrittverfahrens beschränkt? Und wieso ist ein explizites Mehrschrittverfahren nicht A-stabil und nicht für die Lösung steifer DGL geeignet?


25)
Die letzte Frage wäre, was denn eine "singulär, gestörte DGL" ist. Auch hierzu gibt es keine Definition im Skript und ich kann mit diesem Begriff leider nichts anfangen. unglücklich


_____

So, das wären meine Fragen. Ich weiß, dass es viele sind, doch wollte sie gleich alle posten, da ich vllt. dann eh noch mit den Fragen gekommen wäre und somit sind gleich alle Fragen im Ersten Posting. smile
Ich hoffe, dass ihr mir meine Fragen beantworten könnt, damit ich gut durch die Prüfung komme. Wäre echt stark von euch. smile


Vielen herzlichen Dank schon einmal für die Mühe. smile


Mit freundlichen Grüßen

Majin_Clodan
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfungsvorbereitung [DGL] -> Allgemeine Fragen
Ich geh mal auf deine ersten drei Fragen ein, da die auch aus meiner aktuellen Prüfungsvorbereitung für ODEs sind.

Zitat:

1)
Anfangs- oder Randbedingungen werden ja festgelegt, um eine Lösung von einer gewöhnlichen oder partiellen DGL zu erhalten. Hierbei steht in dem Skript meines Professors, dass man mithilfe von Anfangs- oder Randbedingungen eine eindeutige Lösung findet. Heißt das, dass man ohne Anfangs- oder Randbedingungen nur uneindeutige Lösungen herausbekommt oder überhaupt keine?

Also wenn man ein AWP (Anfangswertproblem) gegeben hat, kann man, wie du schon sagtest, unter gewissen Voraussetzungen eine eindeutige Lösung bestimmen.

Betrachen wir mal exemplarisch die DGL:
Diese hat ja bekanntlicher Weise erstmal allgemein die Lösung
Das sind für unendlich viele Lösungen. Hat man nun aber noch die Anfangswerte gegeben und setzt das ein, erhält man die eindeutige Lösung

Zitat:
2)
Des weiteren habe ich den folgenden Satz im Skript gefunden:
Jedes explizite System von n DGL m-ter Ordnung lässt sich in ein äquivalentes System erster ORdnung mit m*n Gleichungen umformen.
Hierbei weiß ich nicht, was ein explizites System oder ein, falls es sowas auch gibt, ein implizites System ist. Könnt ihr mir erklären, wie die Definition des expliziten und vielleicht auch impliziten Systems ist? smile

Explizit bedeutet, du kannst das auf einer Seite der Gleichung isolieren, also:
.
Implizit bedeutet, dass du das nicht kannst, dann hast du sowas da stehen:



Zitat:
3)
Ich fand in meinen Mitschriften den folgenden Satz:
Für die meisten gewöhnlichen oder partiellen DGL kann man keine geschlossene Lösung angeben.
Hierbei weiß ich leider nicht, was eine geschlossene Lösung ist. Könntet ihr mir erklären, was das in Bezug zu DGL's ist? smile

Geschlossen bedeutet, dass du explizit nach umformen kannst:

Im anderen Fall geht das nicht und du kannst die Lösung nur auf diese Form bringen:
 
 
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