Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren |
| 15.08.2010, 12:22 | SpikyName | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren Hallo, ich hätte da eine grundsätzliche Frage bzgl. des Orthonormalisierungsverfahren Was ist der Sin davon? Mir ist klar, dass dabei aus einer allgemeinen Basis eine Orthonormalbasis (ONB) erstellt wird. Was ist aber das besondere dabei? Wenn ich annehme, dass ich 3 linear unabhängige Vektoren aus habe. Weshalb nehme ich nicht einfacht die drei Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems? Das wär dann doch eine ONB der linearen Hülle. Das heißt also, dass beim Orthonormalisierungsverfahren irgendwelche Beziehungen zur ursprünglichen Basis bestehen bleiben, wie kann ich mir diese Beziehung aber geometrisch klar machen? Meine Ideen: Im zweidimensionalen Raum ist das irgendwie klar, der zweite Basisvektor muss ortoghonal auf dem ersten stehen, aber weiterhin in der Ebene der ursprünglichen Basis. Deshalb kann kein beliebiger senkrechter Vektor gewählt werden. Aber in höherdimensionalen Räumen leuchtet mir das nicht ein. Wer kann Licht ins Dunkle bringen? vielen Dank schonmal! |
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| 15.08.2010, 12:34 | SpikyName | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, ich merke gerade, dass ich Räume immer nur als Räume und nicht als Unterräume betrachte. Kann es sein, dass es dann im 4-dimensionalen Raum unendlich viele 3-dimensionale UVR gibt (analog zu Ebenen in 3d-Räumen)? Wenn das so ist, ist dann die Annahme, dass es im 4d-Raum unendlich viele Vektoren gibt, die senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren stehen, auch wenn es im 3d-Raum nur zwei gibt (l.a mit verschiedener Orientierung)? Dann hätte sich meine Frage beantwortet, warum man nicht einfach das Kreuzprodukt wählen kann. Im 2d-Raum gibt es ja eigentlich auch nur 2 Vektoren, die senkrecht auf einen ersten stehen, aber im 3d-Raum gibt es für diesen Fall wiederum unendlich viele. Kann mir das jemand absegnen? |
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| 15.08.2010, 12:42 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Man betrachtet ja nicht nur R selbst (auch nicht in höheren Dimensionen), dass dort die Standardbasisvektoren zusammen mit dem Standardskalarprodukt eine ONB bilden ist klar. Man betrachtet aber verschiedene Vektorräume, mit einem Skalarprodukt. Je nach Wahl des Skalarprodukts müssen die Standardbasisvektoren des R^n nicht mehr "senkrecht" auf einander stehen (2 Vektoren v und w stehen senktrecht, wenn <v,w> = 0). Meines Wissens bildet das Kreuzprodukt nur bzgl. des Standardskalarprodukts senkrechte Vektoren, und dann auch nur im R^3, für alle anderen Vektorräume und Skalarprodukte braucht man ein anderes Verfahren. Allerdings würde in dem einen Fall das Kreuzprodukt das gleiche leisten wie Gram-Schmidt (evtl. wäre noch eine Normierung nötig)- Das besonderer einer ONBasis ist eben die sehr schöne Eigenschaft, dass 2 Basisvektoren eben identisch oder schon senkrecht aufeinander stehen. |
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| 15.08.2010, 13:03 | SpikyName | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Antwort. Mir ist allerdings nicht ganz klar, was du mit "Vektorräume mit einem Skalarprodukt", bzw. "Standardbasisvektoren bilden zusammen mit dem Standardskalarprodukt eine ONB" meinst. Wie kann man das Skalar-Produkt "wählen", das ist doch fest definiert? |
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| 15.08.2010, 13:07 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du kennst nur das Standardskalarprodukt, die Algebra definiert allerdings allgemein Skalarprodukte. Hier kannst du nachlesen was ein Skalarprodukt erfüllen muss: http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...eine_Definition Da du es im Schulbereich gepostet hast, nehm ich an ihr hattet dort nur das eine. Mich wundert nur, da ich Gram-Schmidt erst an der Uni kennengelernt hab. |
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| 15.08.2010, 13:14 | SpikyName | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay danke,Problem gelöst. Ich kenn das Verfahren auch erst seit der Uni, allerdings haben die uns nichts von den anderen Skalarprodukten erzählt. Ich hab das hier in Schulmathematik gepostet, weil ich dachte, dass das ziemlich grundlegend ist. Vielleicht sollte man das dann verschieben. Danke auf jeden Fall! |
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