Ein bisschen Kardinalarithmetik

15.08.2010, 18:34	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein bisschen Kardinalarithmetik Hi, Meine Frage lautet: Wie gross muss die Kardinalzahl von der Indexmenge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mindestens sein, damit zu einer unendlichen Menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|A\| \end{eqnarray}$ Kopien $\begin{eqnarray} X_\alpha \end{eqnarray}$ dieser Menge die Kardinalzahl vom Produkt $\begin{eqnarray} \prod_{\alpha \in A} X_\alpha \end{eqnarray}$ echt grösser ist als $\begin{eqnarray} \|X\| \end{eqnarray}$ ? Reicht es da schon aus, wenn A abzählbar unendlich ist? Gruss.
16.08.2010, 19:08	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein bisschen Kardinalarithmetik Nein, A muss größer sein. Denn es gibt einen Satz der besagt, dass $\begin{eqnarray} \|\mathbb R^{\mathbb N}\|=(2^{N_0})^{N_0} = 2^{N_0 \cdot N_0} = 2^{N_0} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} N_0 = \|\mathbb N\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N_0 \cdot N_0 = \|\mathbb N \times \mathbb N\| \end{eqnarray}$ oder mit anderen Worten: $\begin{eqnarray} \|\{f\|f:\mathbb Q \to \mathbb R\}\| = \|\mathbb R\| \end{eqnarray}$
20.08.2010, 23:09	Urza	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \prod_{\alpha\in A} X_{\alpha} \end{eqnarray}$ lässt sich ja bijektiv auf $\begin{eqnarray} X\times A \end{eqnarray}$ abbilden. Nun kann man zeigen, dass diese Menge für unendliche X,A immer die Kardinalität $\begin{eqnarray} \max(\|X\|,\|A\|) \end{eqnarray}$ hat. Die (allgemeine) Antwort ist also, dass A echt mächtiger als X sein muss.

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