Veränderung der Rechenoperatoren in Klammern

16.08.2010, 14:14

Dasiggo

Veränderung der Rechenoperatoren in Klammern

Guten Morgen,

heute wollte ich mehr zu einer Grundsätzlichen Regelung erfahren.

Es geht um eingeklammerte Faktoren, z.B.

c-a+b

Man kann diesen ja einklammern oder die Rechenoperatoren verändern:

c-a+b =c+(-a+b) = c-(a-b)

es gibt aber auch solche Fälle:

c+(a-b) = c-(b-a) <-- hier hat sich der Operator in der Klammer nicht geändert, nur davor und a und b wurden vertauscht.

Zum Obigen dazugehörend:

= c-(-a+b) <-- hier habe ich einfach (a-b) a negativ gemacht wobei sich der Operator zum + geändert hat.

Wenn ich noch eine oder mehrere Möglichkeiten ausgelassen habe, bitte ich euch mich zu ergänzen.

Ich frage mich ob das eine Regel für Strichoperatoren ist, im Sinne von:
Wenn ich ein Faktor ein- oder ausklammere, so muss vor der Klammer immer ein + stehen. Sobald ich ein Operator oder Vorzeichen invertiere, müssen die anderen Operatoren und Vorzeichen mit invertiert werden auch das Vorzeichen der Klammer. Möchte ich die Variablen in der Klammer vertauschen, so tue ich dies samt des Vorzeichens. Die Regel wirkt sich nur in der entsprechenden Klammer und auf das Vorzeichen der Klammer aus, solange nur Strichrechnung in der Klammer (bis auf das Invertieren) verwendet wird.

Ist meine Sicht der Dinge bis hierhin richtig oder habe ich was übersehen?

a+b-(c-(a-b))=a+b+(-(c-(a-b)))=a+b+(-(c+(-a+b)))=a+b+(-(c+(b-a)))=a+b-((c-(a-b)))

Und gibt es so eine ähnliche Regel auch für Punktrechnungen, speziell mit Divisionen?

Kann ich z.B. diese Rechnung so verändern, ohne den Inhalt der Variablen zu kennen, dass das gleiche Ergebnis raus kommt?

a*b/c/e*d=?

16.08.2010, 14:36

mYthos

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RE: Veränderung der Rechenoperatoren in Klammern

Zitat:

Original von Dasiggo
...
a*b/c/e*d=?
...

Ohne Klammern werden diese Operationen einfach hintereinander ausgeführt. Will man bestimmten Operationen Vorrang geben, so ist der entsprechende Teil einzuklammern!

a*b/c/e*d ist also nichts anderes als

a*b/c/e*d=(((a*b)/c)/e)*d

oder schöner in LaTex:

$\begin{eqnarray*} \ldots = \frac{\frac{a \cdot b}{c}} e \cdot d \end{eqnarray*}$

Dieser Doppelbruch (und das Produkt) sind natürlich noch weiter umzuformen!

mY+

17.08.2010, 11:54

Dasiggo

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Ah, danke. Mit den Klammern habe ich es noch gar nicht so gesehen. Leider bin ich noch nicht bei Umformungen angelangt.

Wie würde die Formel umgeformt aussehen?

17.08.2010, 12:13

Equester

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Da mYthos nicht da ist, erlaube ich mir mal weiter zu machen Augenzwinkern

Hast du denn eine Idee, wie man das ganze umschreiben könnte?
Du hast einen "Bruch" im Zähler und einen Nenner. Dir sollten Regeln bekannt sein,
damit umgehen zu können. Also?

17.08.2010, 12:57

Leopold

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Mich stört das Wort Faktor. Bei den Grundrechenarten ist ein Faktor ein Operand eines Produktes (!). Du beschäftigst dich bei deiner Frage aber nur mit Summen. Also geht es hier um Summanden und nicht um Faktoren.

Eigentlich gibt es dazu nur drei Regeln:

1. Man darf die Summanden unter Mitnahme ihrer Vorzeichen (!) vertauschen

$\begin{eqnarray*} a - b + c - d - e = -d + c + a - e - b \end{eqnarray*}$

Beachte hier, daß der erste Summand $\begin{eqnarray*} a = +a \end{eqnarray*}$ ein unsichtbares Plus als Vorzeichen hat.

2. Die Plusklammerregel: Eine Plusklammer $\begin{eqnarray*} \ldots + (\ldots) \end{eqnarray*}$ darf einfach wegfallen:

$\begin{eqnarray*} a + ( - b + c + d - e ) = a - b + c + d - e \end{eqnarray*}$

3. Die Minusklammerregel: Fällt die Minusklammer $\begin{eqnarray*} \ldots - (\ldots) \end{eqnarray*}$ weg, sind alle Vorzeichen in der Klammer umzukehren:

$\begin{eqnarray*} a - ( b + c - d + e ) = a - b - c + d - e \end{eqnarray*}$

Nach meiner Erfahrung wird bei der Minusklammerregel oft der erste Summand der Klammer falsch behandelt. Im letzten Beispiel oben steht $\begin{eqnarray*} \left( b + \ldots \right) \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} \left( + b + \ldots \right) \end{eqnarray*}$ entspricht. Aus dem Plusglied $\begin{eqnarray*} +b \end{eqnarray*}$ wird beim Wegfallen der Minusklammer also das Minusglied $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ .

Und wenn ich dich richtig verstehe, willst du jetzt diese Regeln umgekehrt anwenden. In den Beispielen stimmen deine Umformungen hierzu, soweit ich mich nicht verguckt habe.

Was mal und geteilt angeht, kannst du sie eigentlich wie plus und minus behandeln. Mal entspricht dabei plus und geteilt entspricht minus.
Wie mYthos schon erklärt hat, wird ein Mal-Geteilt-Term ohne Klammern von links nach rechts abgearbeitet:

$\begin{eqnarray*} 8 \cdot 3 / 6 / 5 \cdot 10 = 24 / 6 / 5 \cdot 10 = 4 / 5 \cdot 10 = \frac{4}{5} \cdot 10 = 8 \end{eqnarray*}$

1. Auch hier kannst du die Glieder vertauschen, wenn du das vorhergehende Rechenzeichen mitnimmst. Das Startglied ohne Rechenzeichen ist dabei wie ein Mal-Glied zu behandeln, und vor ein Geteilt-Glied am Anfang setzt man immer eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Man schreibt also nicht $\begin{eqnarray*} /5 \cdot 10 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} 1 / 5 \cdot 10 \end{eqnarray*}$ . So kannst du mein Beispiel von eben auf viele Arten umstellen:

$\begin{eqnarray*} 8 \cdot 3 / 6 / 5 \cdot 10 = 1 / 5 / 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 3 = 10 / 5 \cdot 3 \cdot 8 / 6 = 1 / 6 \cdot 10 / 5 \cdot 8 \cdot 3 \end{eqnarray*}$

Stets ergibt sich der Wert $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ .

2. Eine Mal-Klammer $\begin{eqnarray*} \ldots \cdot \left( \ldots \right) \end{eqnarray*}$ darf einfach wegfallen:

$\begin{eqnarray*} 6 \cdot \left( 5 / 2 \cdot 3 \right) = 6 \cdot 5 / 2 \cdot 3 \end{eqnarray*}$

3. Beim Wegfallen einer Geteilt-Klammer $\begin{eqnarray*} \ldots / \left( \ldots \right) \end{eqnarray*}$ sind die Rechenzeichen wieder umzukehren. Ein Startglied in der Klammer ohne Rechenzeichen ist wie ein Malglied in der Klammer zu behandeln.

$\begin{eqnarray*} 6 / \left( 2 / 9 \cdot 3 \right) = 6 / 2 \cdot 9 / 3 \end{eqnarray*}$

So könnte man das machen. Nur wird das in der Regel in der Mathematik nicht so gehandhabt. Es ist allerdings eher eine äußerliche als eine inhaltliche Angelegenheit. Der Zaubertrick ist, daß man statt $\begin{eqnarray*} A / B \end{eqnarray*}$ eben lieber $\begin{eqnarray*} \frac{A}{B} \end{eqnarray*}$ schreibt. So kann man sich Klammern sparen, weil man durch die graphische Anordnung von Zähler und Nenner in unten/oben sieht, wie zu klammern ist. Man schreibt also

$\begin{eqnarray*} 6 / \left( 2 / 9 \cdot 3 \right) = \frac{6}{\left( 2 / 9 \cdot 3 \right)} = \frac{6}{2 / 9 \cdot 3} = \frac{6}{ \frac{2}{9} \cdot 3} \end{eqnarray*}$

Umgekehrt muß man Klammern setzen, wenn man von der Bruchschreibweise zur Schreibweise mit $\begin{eqnarray*} / \end{eqnarray*}$ übergeht. Das machen leider 90 Prozent aller, die Mathematik betreiben müssen, falsch. Ein ständiges Ärgernis. Siehe dazu auch diesen Beitrag von AD.

Zur Sicherheit will ich noch einmal ausdrücklich darauf hinweisen, daß ich mich bei den Regeln 1.,2.,3. nur mit Termen beschäftigt habe, die allein die Rechenzeichen Mal und Geteilt enthalten. Bei Mischungen von Punkt- und Strichrechenarten wird es bekanntlich komplizierter.

17.08.2010, 15:31

Dasiggo

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Hi Leopold,

eine wahnsinnig große Antwort hast du mir gegeben und wahnsinnig gut erklärt ist es auch noch. Als wahnsinniger hattest du wohl keine andere Möglichkeit, was? smile

Ein wahnsinniges Dankeschön von mir.

Mit der Mathematischen Fachausdrücken kann ich nicht viel anfangen. Ich wüste nicht wie ich ein Faktor, Produkt und Summand unterscheiden könnte. Vielleicht kommt das ja noch.

Ich weiß nicht ob es dich interessiert, aber das hilft mir ungemein weiter und ich werde mir diesen Beitrag extra verlinken, wenn ich mal irgendwo Probleme habe. Aber du hast es so gut erklärt, das ich sofort die Parallelen zu zur Strichrechnung gesehen habe die ich ja schon, wie du sagst, richtig verstanden habe, so dass das nicht mehr der Fall sein sollte.

Wiederrum bedeutet das, das ich die Operatoren nicht einfach so invertieren kann wie bei + - , sondern nur beim ein- oder ausklammern mit einer Bruch-Klammer und gerade habe ich begriffen das das invertieren sich nur auf die Klammer beschränkt.

Noch mal: Riesiges Dankeschön von mir.

@Equester:

Dank der hervorragenden Hilfe von Leopold kann ich den Bruch aus so Schreiben wenn ich mich nicht irre.

$\begin{eqnarray*} \frac{a*b*d}{e*c} \end{eqnarray*}$

Dazu musste ich mir allerdings die Formel erst ohne Bruchstrich aufschreiben.

17.08.2010, 23:10

Equester

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Viele Wege führen nach Rom. So auch deiner Augenzwinkern

Die Antwort ist korrekt Freude

18.08.2010, 07:23

Dasiggo

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Hättest du dir das im Kopf machen können, also dass das nur eine Sache der Übung ist oder hast du eine andere Methode?

18.08.2010, 23:02

Equester

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Falls du meine Antwort noch liest Augenzwinkern

Des geht gut im Kopf. Ist noch nicht allzu schwer!
Üb ein wenig und du kannst das auch! smile

19.08.2010, 09:44

Leopold

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@ Dasiggo

Mir ging es nur darum, die Analogie plus-minus zu mal-geteilt darzustellen, weil du danach gefragt hattest. Ich wollte diese Methode keineswegs empfehlen, sie ist durchaus keine mathematische Praxis. Diese arbeitet viel lieber mit Brüchen und ihren Rechenregeln (beim Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner; beim Dividieren: mit dem Kehrbruch multiplizieren).
Aber es war natürlich trotzdem schön zu sehen, daß du auch mit dieser ganz ungewöhnlichen Methode zum Ziel gekommen bist. Freude

So würde man den Term $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{a \cdot b}{c}}{e} \cdot d \end{eqnarray*}$ folgendermaßen umformen:

1. Schritt: $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{e}{1} \end{eqnarray*}$ schreiben:
$\begin{eqnarray*} = \frac{\frac{a \cdot b}{c}}{\frac{e}{1}} \cdot d \end{eqnarray*}$

2. Schritt: Der Hauptbruchstrich wird als Division aufgefaßt, man muß mit dem Kehrbruch multiplizieren:
$\begin{eqnarray*} = \frac{a \cdot b}{c} \cdot \frac{1}{e} \cdot d \end{eqnarray*}$

3. Schritt: Multiplizieren geht Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner:
$\begin{eqnarray*} = \frac{a \cdot b \cdot 1}{c \cdot e} \cdot d \end{eqnarray*}$

4. Schritt: $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{d}{1} \end{eqnarray*}$ schreiben:
$\begin{eqnarray*} = \frac{a \cdot b \cdot 1}{c \cdot e} \cdot \frac{d}{1} \end{eqnarray*}$

5. Schritt: wie 3.:
$\begin{eqnarray*} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e} \end{eqnarray*}$

(Die Multiplikation mit 1 verändert ein Produkt nicht.)

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