3. Wurzel ziehen + Ableitung + Überprüfung

16.08.2010, 20:17

m4rc1

3. Wurzel ziehen + Ableitung + Überprüfung

Meine Frage:
Folgende Aufgabe habe ich zu lösen:
$\begin{eqnarray*} y=\frac{x^3}{\sqrt[3]{3x^2-1}} \end{eqnarray*}$
Bilden sie die 1. Ableitung.

Eigentlich ganz einfach, aber irgendwas mache ich falsch.

Meine Ideen:
Meine Berechnung:
1. Abschnitt
$\begin{eqnarray*} y=\frac{x^3}{\sqrt[3]{3x^2-1}} => \frac{u(x)}{v(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(x) = x^3 => u'(x)=3x^2 v(x)=\sqrt[3]{3x^2-1} v(x)=(3x^2)^{\frac{1}{3}}-1 v(x)=3x^{\frac{2}{3}}-1 v'(x)=2x^{-\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$
Die Frage ist, ob die letzten zwei Schritte richtig sind.
2. Abschnitt folgt dann gleich

16.08.2010, 20:23

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 3. Wurzel ziehen + Ableitung + Überprüfung

Zitat:

Original von m4rc1
$\begin{eqnarray*} v(x)=\sqrt[3]{3x^2-1} v(x)=(3x^2)^{\frac{1}{3}}-1 \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist falsch. Du darfst nicht einfach aus jedem Summand die Wurzel ziehen.

Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9+16}=5\neq \sqrt{9}+\sqrt{16}=7 \end{eqnarray*}$

16.08.2010, 20:50

m4rc1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 3. Wurzel ziehen + Ableitung + Überprüfung

Zitat:

Original von Calvin

Zitat:

Original von m4rc1
$\begin{eqnarray*} v(x)=\sqrt[3]{3x^2-1} v(x)=(3x^2)^{\frac{1}{3}}-1 \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt ist falsch. Du darfst nicht einfach aus jedem Summand die Wurzel ziehen.

Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9+16}=5\neq \sqrt{9}+\sqrt{16}=7 \end{eqnarray*}$

Ja du hast recht, ich habe nicht beachtet, dass der Wurzelstrich auch über die "-1" gehört. Das war mein Fehler.

So nun nochmal den 1. Abschnitt:
$\begin{eqnarray*} v(x)=\sqrt[3]{3x^2-1} v(x)=(3x^2-1 )^{\frac{1}{3}} t=3x^{2} => t'=6x s=t^{\frac{1}{3}} => s'=\frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}} v'=\frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}}*6x v'=2x*(3x^2-1)^{-\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das ist jetzt besser...

16.08.2010, 21:01

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt passt es.

16.08.2010, 21:14

m4rc1

Auf diesen Beitrag antworten »

2. Abschnitt:
Das muss nun eingesetzt werden:
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{v^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=\frac{3x^2*(3x^2-1)^{-\frac{1}{3}}-x^3*2x*(3x^2-1)^{-\frac{2}{3}}}{((3x^2-1)^{\frac{1}{3}})^2} \end{eqnarray*}$

So nun komm ich nicht weiter. Habe kein plan wie ich das schöner machen kann. Unter dem Bruchstrich ist zwar kein Problem, aber alles andere...

16.08.2010, 21:21

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Forme ein bißchen mit Potenzgesetzen um. Es ist $\begin{eqnarray*} (3x^2-1)^{-\frac{2}{3}}=\left(\left(3x^2-1\right)^{-\frac{1}{3}}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Danach im Zähler so viel wie möglich ausklammern.

17.08.2010, 21:05

m4rc1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Calvin
Forme ein bißchen mit Potenzgesetzen um. Es ist $\begin{eqnarray*} (3x^2-1)^{-\frac{2}{3}}=\left(\left(3x^2-1\right)^{-\frac{1}{3}}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Danach im Zähler so viel wie möglich ausklammern.

jop, aber ich wollte den buch erst mal erweitern, aber funzt nicht richtig. gibt es irgendwo gute beispiele, wie man solche brüche erweitert?

17.08.2010, 21:40

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit welchem Ziel möchtest du erweitern?

Übrigens: Ich sehe gerade, dass sich in deinem letzten Posting ein "Minus" zu viel eingeschlichen hat. Es ist

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{3x^2(3x^2-1)^{\frac{1}{3}}-x^3\cdot2x(3x^2-1)^{-\frac{2}{3}}}{(3x^2-1)^{\frac{2}{3}}} \end{eqnarray*}$

In diesem Fall würde ich den Ausdruck im Zähler mit dem negativen Exponenten in einen Bruch umformen. Danach mit klassischer Bruchrechnung zusammenfassen.

18.08.2010, 19:34

m4rc1

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde möchte ich das so machen:

EDIT von Calvin
Bilder bitte direkt im Board hochladen. Danke

18.08.2010, 19:59

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht soweit korrekt aus. Jetzt kannst du im Zähler und Nenner die Klammern noch zusammenfassen (Potenzgesetze)

18.08.2010, 20:54

m4rc1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Calvin
Sieht soweit korrekt aus. Jetzt kannst du im Zähler und Nenner die Klammern noch zusammenfassen (Potenzgesetze)

das ist auch korrekt, aber ich weiß nicht warum. die aufgabe möchte ich gerne selber lösen, dies bild ist von meinen kollegen, aber ich kann sein brucherweitern nicht nachvollziehen... leider kann er mir das nicht genau erklären unglücklich

18.08.2010, 21:03

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast hier den großen Bruch. Im Zähler davon kommt nochmal ein kleiner Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{\sqrt[3]{(3x^2-1)^2}} \end{eqnarray*}$ vor.

Durch das Erweitern fällt zunächst mal dieser Bruch weg und es lässt sich besser weiterrechnen.

Zufällig kann man durch das Multiplizieren auch noch die andere Wurzel im Zähler entfernen. Das funktioniert aber nicht immer so schön.

18.08.2010, 21:45

m4rc1

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe das bisschen umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} = \frac{3x^2*\sqrt[3]{3x^2-1}-x^3*2x*\frac{1}{\sqrt[3]{(3x^2-1)^2} } }{(\sqrt[3]{3x^2-1})^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{(3x^2*\sqrt[3]{3x^2-1}-x^3*2x*\frac{1}{\sqrt[3]{(3x^2-1)^2} }) *\sqrt[3]{(3x^2-1)^2} }{(\sqrt[3]{3x^2-1})^2*\sqrt[3]{(3x^2-1)^2}} \end{eqnarray*}$
und jetzt kommt der schritt den ich nicht verstehe:
warum packt er nochmals
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{(3x^2-1)^2} \end{eqnarray*}$
in die Zähler? (siehe dazu 2. Zeile des Anhanges)
Wenn du jetzt sagst, "weil das zwei Produkte sind, dann drehe ich durch!!!!!" =)

18.08.2010, 22:14

m4rc1

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe also somit nicht das distributivgesetz eingehalten/verstanden, richtig?

19.08.2010, 02:13

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von m4rc1
ich habe also somit nicht das distributivgesetz eingehalten/verstanden, richtig?

Genau so ist es. Du musst jeden Summand in der Klammer mit der Wurzel multiplizieren.

Allgemein: $\begin{eqnarray*} (a+b)\cdot c = ac + bc \end{eqnarray*}$

In deinem Fall sind die Ausdrücke für a, b und c eben ein bißchen "umfangreicher".

Neue Frage »

Antworten »

3. Wurzel ziehen + Ableitung + Überprüfung

Verwandte Themen