explizite formel für zahlenfolge

16.08.2010, 21:05

alexb1993

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explizite formel für zahlenfolge

Meine Frage:
Hallo liebe Freunde der Analysis smile

smile

ich brauch dringend eine explizite formel für folgende zahlenfolge:

n -> a index n
0 -> 0
1 -> 1
2 -> 5
3 -> 14
4 -> 30
5 -> 55
6 -> 91
7 -> 140

danke schon mal für alle lösungsversuche

Meine Ideen:
habs mit einigen ansätzen versucht, kam aber nie aufs richtige ergebnis unglücklich

unglücklich

16.08.2010, 21:09

Calvin

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Mal ganz abgesehen davon, dass es nicht die Lösung gibt, sondern viele...

was hast du denn schon probiert? Hast du eine Idee, womit es zusammenhängen könnte?

16.08.2010, 21:09

Iorek

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Wie wäre es mit einem Polynom 8ten Grades? Das geht immer.

Solang keine weiteren Anforderungen an die Folge gibt, gibt es mehr als genug Möglichkeiten eine geeignete Folge zu definieren.

16.08.2010, 21:16

alexb1993

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also ein polynom achten grades muss es glaub ich nicht sein. wir haben neu mit dem thema angefangen und ich denke dass die lösung nicht allzu komplex sein sollte. eine beispielslösung reicht mir eigentlich.

16.08.2010, 21:18

Calvin

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Ach so, du weißt gar nicht, was zu tun ist? Du sollst eine Formel finden, in die du die linke Zahl einsetzt und die rechte rauskommt.

Beispiel:

0 -> 0
1 -> 1
2 -> 4
3 -> 9
4 -> 16
5 -> 25
6 -> 36

bzw. eine mögliche allgemeine Formel
n -> n²

16.08.2010, 21:24

alexb1993

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entschuldigung ich hab mich mit beispielslösung misserständlich ausgedrückt. das war darauf bezogen, dass es mehrere lösungen gibt und ich eigentlich die simpelste davon brauch, weil mir nichts gescheites einfällt

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16.08.2010, 21:29

Calvin

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Das Polynom 8. Grades darf dir Iorek ausrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten solltest du dir die Quadratzahlen mal anschauen. Vielleicht bringt dich das auch schon auf eine Idee.

16.08.2010, 21:31

tohuwabou

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Rekursiv könnte man ja schreiben $\begin{eqnarray*} a_n=n^2+a_{n-1} \end{eqnarray*}$

16.08.2010, 21:36

alexb1993

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danke, das ergebnis habe ich aber schon.
mir fehlt halt nur noch die explizite

16.08.2010, 21:39

Calvin

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Na dann bist du doch schon relativ weit. Du fängst an mit $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ . Nach dieser Form ist $\begin{eqnarray*} a_1=1^2+a_0=1^2+0 \end{eqnarray*}$ . Wie geht es mit $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ weiter?

16.08.2010, 21:44

alexb1993

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also mir ist schon klar wie ich die zahlenfolge mit der rekursiven formel fortsetze, aber ich muss eine explizite formel finden, die auf meine angegebene zahlenfolge passt. ich hoffe, wir reden nicht aneinander vorbei

16.08.2010, 21:49

tohuwabou

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du musst genau hinsehen smile

smile

$\begin{eqnarray*} a_2=2^2+a_1=2^2+1^2+0 \end{eqnarray*}$

16.08.2010, 21:49

Calvin

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Nein, wir reden nicht aneinander vorbei. tohuwabou hat dir schon den nächsten Schritt gezeigt. Kommst du jetzt allein weiter?

16.08.2010, 21:55

alexb1993

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ja aber das wär doch die rekursive formel

16.08.2010, 22:07

Leopold

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@ Calvin/tohuwabou

Offenbar hat alexb1993 die rekursive Darstellung schon. Er sucht die explizite.

@ alexb1993

Die Quadratsummen werden durch ein Polynom dritten Grades erfaßt:

$\begin{eqnarray*} a_n = pn^3 + qn^2 + rn + s \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} p,q,r,s \end{eqnarray*}$ bestimmen, indem du für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vier Werte, z.B. $\begin{eqnarray*} n=0,1,2,3 \end{eqnarray*}$ einsetzt. Du bekommst ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen in den vier Unbekannten $\begin{eqnarray*} p,q,r,s \end{eqnarray*}$ (wobei sich $\begin{eqnarray*} s=0 \end{eqnarray*}$ sofort ergibt, so daß letztlich noch ein 3×3-System verbleibt). Natürlich ist nicht von vorneherein klar, daß die Formel mit den gefundenen $\begin{eqnarray*} p,q,r,s \end{eqnarray*}$ dann auch für $\begin{eqnarray*} n=4,5,6,\ldots \end{eqnarray*}$ gilt. Aber wenn du nachträglich für sie die Rekursionsbeziehung verifizierst, ist auch das geklärt.

Es gibt viele recht trickreiche Wege, um Formeln für Potenzsummen zu erhalten (z.B. hier, wo auch zu sehen ist, warum man mit einem Polynom dritten Grades hinkommt.).

16.08.2010, 22:17

Calvin

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Zitat:

Original von Leopold
@ Calvin/tohuwabou

Offenbar hat alexb1993 die rekursive Darstellung schon. Er sucht die explizite.

Das ist zumindest mir klar. Mit Hilfe der rekursiven Formel wollte ich genau auf

Zitat:

Die Quadratsummen...

raus. Ich gehe nämlich davon aus, dass das dem Threadersteller noch nicht klar ist.

Bin aber über jede Unterstützung froh. Außer "entweder man sieht es oder man sieht es nicht" fällt mir nämlich keine verständliche Erklärung für dieses Thema ein unglücklich

unglücklich

16.08.2010, 22:29

tohuwabou

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@alexb1993

Nun du hast doch jetzt die folgenden Fälle:

$\begin{eqnarray*} a_0=0<br /> a_1=1^2+a_0 <br /> a_2=2^2+a_1=2^2+1^2+0<br /> a_3=3^2+a_2=3^2+2^2+1^2+0<br /> a_4=4^2+a_3=4^2+3^2+2^2+1^2+0 \end{eqnarray*}$

usw.

Welche Struktur lässt sich denn da ablesen für ein allgemeines n? Wie kannst du es geschlossen angeben?

16.08.2010, 22:35

Leopold

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@ Calvin

Er sagt doch hier, daß er das schon erkannt hat:

Zitat:

Original von alexb1993
ja aber das wär doch die rekursive formel

Und "Pünktchen"-Formeln sind ja nur andere Schreibweisen für rekursive Darstellungen.

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