Aussagenlogik - Tautologien

17.08.2010, 08:57

Danip159

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Aussagenlogik - Tautologien

Hallo,

Ich hätte da noch eine kurze Frage zu den Tautologien in der Aussagenlogik. Hat es einen Grund, warum man für zB $\begin{eqnarray*} A\vee\neg A=w \end{eqnarray*}$ ein "oder" nimmt und kein "außschließendes" oder? Mag ja nur nebensächlich sein, da A sowieso nicht den gleichen Wahrheitswert wie "nicht A" haben kann. Nur wärs doch noch klarer, wenn man hier ein außschließendes oder verwenden würde?

^^ Danke dass ihr euch die Zeit nehmt für meine Problemchen smile

smile

Greetings!

17.08.2010, 09:15

Danip159

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/edit: falls noch jemand Zeit oder Lust hat:
Könnte er mir folgende Aufgabe erklären?

Ich soll mittels Wahrheitstabelle und Umformen überprüfen ob die folgende Aussage eine Tautologie ist:

$\begin{eqnarray*} (A\vee B)\Rightarrow ((\neg A\vee B)\wedge (A\Rightarrow \neg A)) \end{eqnarray*}$

Ok. Eine Tautologie wärs, wenn unabhängig vom Wahrheitswert die Aussage generell wahr oder falsch ist.

Umformen könnte ich das ganze so:

$\begin{eqnarray*} (A\vee B)\Rightarrow ((A\Rightarrow B)\wedge (A\Rightarrow \neg A)) \end{eqnarray*}$

Da tun sich bei mir schon Fragen auf wie. Kann aus A überhaupt "nicht A" folgen? Denke ich mal nicht, wenn A wahr wäre, dann müsste auch "nicht A" wahr sein, sonst ist die ganze Aussage falsch. Also wär der hintere Ausdruck sowieso schon falsch. Und eine Aussage und etwas falsches ist immer falsch. Also wird der ganze linke Ausdruck falsch? Wenn nun bei einer Implikation die "folgende" Aussage falsch ist, kann die erste nicht wahr sein. Also ist alles falsch und es handelt sich um eine Tautologie? Ist das richtig so? Und wie würde ich das ganze Umformen um es zu beweisen bzw wie sehen hier Wahrheitstabellen aus, an denen man erkennt, das ist eine Tautologie?

Danke vielmals schon jetz smile

smile

Greetings!

(Sry, editen kann man nur innerhalb von 15min)

17.08.2010, 10:56

addor

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Meinst Du nicht, dass es verwirrend ist, wenn Du im selben Thread zwei verschiedene Fragen stellst? Ich hätte jetzt zwei Threads aufgetan.

Deine erste Frage verstehe ich nicht. Du schreibst: "Nur wärs doch noch klarer, wenn man hier ein außschließendes oder verwenden würde". Das ist eine Behauptung, die auf Deiner persönlichen Einschätzung basiert und ich nicht teilen kann. Die Disjunktion ist eine grundlegende logische Operation, während das - wie Du es nennst - "ausschliessende oder" irgend so eine wenig geläufige Kombination ist.
Entweder gilt A oder ihre Negation, also ist die Disjunktion immer richtig. Das ist eine Aussage über die Disjunktion, die hier interessiert.
(Vielleicht solltest Du Dich von der Interpretation der Disjunktion als "oder" trennen).

Zu der zweiten Frage: Selbstverständlich kann $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ wahr sein, nämlich immer dann, wenn A nicht gilt. Aus etwas falschem folgt alles, auch die Negation.
Dennoch möchte ich Dich bitten, die Aufgabenstellung nochmals zu überprüfen und richtig abzuschreiben.

17.08.2010, 12:27

Danip159

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Ok. Zur Tautologie:

Eine Disjunktion schließt von vornherein nicht aus, dass beide wahr sind. Sprich "auf den ersten Blick" kann A und "nicht" A wahr sein.

Während die Antivalenz (="außschließendes oder") von vornherein sagt, wenn eines wahr ist, muss das andere falsch sein. Zweiteres erscheint mir nur logischer. Muss man nicht teilen, da stimm ich dir zu Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun zur zweiten Frage - die Aufgabenstellung hab ich schon gegeben, sie lautet:

Zitat:

Ich soll mittels Wahrheitstabelle und Umformen überprüfen ob die folgende Aussage eine Tautologie ist:
$\begin{eqnarray*} (A\vee B)\Rightarrow ((\neg A\vee B)\wedge (A\Rightarrow \neg A)) \end{eqnarray*}$
Ok. Eine Tautologie wärs, wenn unabhängig vom Wahrheitswert (der einzelnen Aussagen) die (gesamte) Aussage generell wahr oder falsch ist.

Alles was dann folgte (dass A="nichtA" immer falsch ist, etc...) kam von mir. Du hast Recht! Aus Falschem folgt alles. Nur wie löse ich denn sonst meine Aufgabe? Ein paar Tipps wären super ):

Danke schonmal.

PS: also mir erscheints praktsicher wenn beide Fragen in einem Thread sind, zwecks Platzsparen und so :P Übersichtlich ists vl weniger^^ aber wenn jeder "Frage1:" und "Frage2:" davor klatscht dann passt das Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.08.2010, 12:34

addor

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Ja, dann mach halt eben die Wahrheitstabelle, wie gefordert. Wo ist das Problem? Ich kann Dir erst Tipps geben, wenn Du Deine Tabelle hier veröffentlichst und ich sehe, wo Du anstehst.

17.08.2010, 13:02

Danip159

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So, hab die Tabelle angehängt. Nun würd ich gern wissen wie man hier eine Tautologie erkennt? ich nehm jetzt einfach mal spontan an, dass alle Werte für alle Möglichkeiten gleich sein müssen? Sprich alle wahr oder falsch (was hier mal schon nicht vorliegt).

Und trotzdem würd mich auch noch interessieren, wie man das ganze auch mit umformen herausbekommen kann. smile

smile

Merci!

/edit noch: Die Wahrheitstabelle an sich war ja nicht das Problem. Die Probleme hab ich schon im zweiten post genannt:P

/ nochn edit: Ich denke nicht, dass das "ausschließende oder" bzw die Antivalenz "irgenso ein wenig geläufiger Begriff" ist smile

smile

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17.08.2010, 14:25

addor

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Prima! Und? Ist es jetzt eine Tautologie? Wie müsste die rote Spalte denn aussehen, damit es eine Tautologie wäre?

Mit Umformen? Nun, damit es eine Tautologie wäre, müsste der Ausdruck z.B. die Form $\begin{eqnarray*} \neg p \vee p \end{eqnarray*}$ haben. Dein Ausdruck ist äquivalent mit

$\begin{eqnarray*} \neg {(A\vee B)} \vee \left[(\neg A \vee B)\wedge (\neg A \vee \neg A)\right] \end{eqnarray*}$

wenn ich die Implikationen richtig aufgelöst habe. Das hat schon fast die Form $\begin{eqnarray*} \neg p \vee p \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} p = (A\vee B) \end{eqnarray*}$ .

Wie könnten wir jetzt von da weiter machen? Vor allem, wenn wir die Antwort auf die Frage, ob es eine Tautologie ist, von der Tabelle her kennen?

17.08.2010, 14:44

Danip159

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Zitat:

Original von addor

$\begin{eqnarray*} \neg {(A\vee B)} \vee \left[(\neg A \vee B)\wedge (\neg A \vee \neg A)\right] \end{eqnarray*}$

Wie könnten wir jetzt von da weiter machen? Vor allem, wenn wir die Antwort auf die Frage, ob es eine Tautologie ist, von der Tabelle her kennen?

Also ich hab keine Ahnung wie ich eine Tautologie erkenne an den Wahrheitswerten. ich lerne immoment noch "auf eigene Faust" und in meinem Skript steht dazu leider nix (hab das Beispiel ausm Inet und da gibts keine Lösung). Ich nehm mal an, dass es sich nicht um eine Tautologie handelt, da nicht alle Möglichkeiten mit wahr enden? smile

smile

Ok, dann versuch ich mal weiter umzuformen:
$\begin{eqnarray*} \neg {(A\vee B)} \vee \left[(\neg A \vee B)\wedge (\neg A \vee \neg A)\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \neg {(A\vee B)} \vee \left[(\neg A \vee B)\wedge (\neg A) \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \neg {(A\vee B)} \vee \neg A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\neg A\wedge \neg B) \vee \neg A \end{eqnarray*}$

Lösung: $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt doch keine Tautologie,oder doch? kann auch sein, dass ich den Begriff Tautologie (bzw Kontradiktion) noch nicht ganz erfasst hab. Es deckt sich aber mit der Wahrscheinlichkeitstabelle smile

smile

17.08.2010, 14:52

addor

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Auf die UMformung komme ich später zurück. Jetzt zuerst nur mal zu den Wahrheitswerten einer Tautologie:

Kannst Du mir sagen, was eine Tautologie ist? Warum ist $\begin{eqnarray*} \neg p \vee p \end{eqnarray*}$ eine Tautologie?

17.08.2010, 15:18

addor

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Ok, ich glaube, Du hast richtig gesagt: Eine Tautologie muss IMMER wahr sein, d.h. alle Fälle müssen ein "w" haben. Aber die rote Spalte in Deiner Tabelle lautet eben "ffww", statt "wwww", also ist es keine Tautologie.

Gut!

Jetzt zur Umformung:

$\begin{eqnarray*} \neg {(A\vee B)} \vee \left[(\neg A \vee B)\wedge (\neg A \vee \neg A)\right] \end{eqnarray*}$ ist aequivalent mit

$\begin{eqnarray*} \neg {(A\vee B)} \vee \left[(\neg A \vee B)\wedge \neg A \right] \end{eqnarray*}$

Das hast Du korrekt gemacht. Aber wie kommst Du dann auf $\begin{eqnarray*} \left[(\neg A \vee B) \wedge \neg A \right] \equiv \neg A \end{eqnarray*}$

Den ersten Term lassen wir schön wie er ist, denn wir wollen ja für eine Tautologie etwas von der Form $\begin{eqnarray*} \neg p \vee p \end{eqnarray*}$ . Hier ist $\begin{eqnarray*} p=(A \vee B) \end{eqnarray*}$ . Wäre es eine Tautologie, dann müsste der zweite Term $\begin{eqnarray*} (\neg A \vee B)\wedge \neg A \end{eqnarray*}$ also aequivalent zu $\begin{eqnarray*} (A \vee B) \end{eqnarray*}$ sein.

Also Frage: Gilt $\begin{eqnarray*} \left[(\neg A \vee B) \wedge \neg A \right] \equiv{(A \vee B)} \end{eqnarray*}$ ?.

17.08.2010, 19:14

Danip159

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Hi!

Also mittels Wahrheitstabelle bekomm ich raus, dass

$\begin{eqnarray*} \left[(\neg A \vee B) \wedge \neg A \right] \equiv{(A \vee B)} \end{eqnarray*}$
Falsch ist!

Bezüglich der weiteren Schritte der Umformung. Ich hab da das sog. Absorptionsgesetz angewandt: (http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition das letzte in der Liste)

$\begin{eqnarray*} (A\vee B) \wedge A=A \end{eqnarray*}$

Das kann man odch machn oda?^^ Weil das Ergebnis passt ja zur Wahrheitstabelle. Es spielt hier im Prinzip keine Rolle was B für einen Wahrheitswert hat. A muss nur falsch sein (oder eben "nicht A" sein).

Oder übaseh ich da was?^^

Greetings und thx!

17.08.2010, 20:39

addor

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Nein, Du hast nichts übersehen, Du hast alles gut gemacht! Also geht es jetzt nur noch darum zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \vee B \end{eqnarray*}$ nicht aequivalent sein können, vorausgesetzt, A kann jeden Wahrheitswert annehmen.

Wäre das der Fall, dann wäre aber

$\begin{eqnarray*} 0 = A \wedge \neg A = A \wedge (A \vee B) = A \end{eqnarray*}$

und A müsste immer logisch falsch sein, was der Voraussetzung widerspräche. Also kann die Ausgangsformel keine Tautologie sein.

17.08.2010, 21:51

Danip159

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Super! Vielen Dank dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

Find das Board echt klasse, wenn einem so schnell und gut geholfn wird!

Eine kleine Frage noch, der Gewissheit halber. Die Null in deiner letzten Formel bedeutet einfach "falscH" oder? smile

smile

Greetings und merci beaucoup!

18.08.2010, 06:39

addor

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Ja genau, die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bezeichnet einfach die "logische Falschheit". Z.B. ist die Aussage $\begin{eqnarray*} 0\Rightarrow p \end{eqnarray*}$ für jede Aussage p wahr.

18.08.2010, 14:47

Danip159

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Hi nochmal.

ich hätte da noch eine Aufgabe (wieder ohne Lösung :/)

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...gabe/aufgabe25/

Also prinzipiell hab ich für die Schaltung folgendes rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} [(A\vee C)\wedge B\wedge (\neg A \vee C)] \vee [(\neg A\vee C)\wedge (C \wedge B)] \end{eqnarray*}$

Soweit richtig? verwirrt

verwirrt

Nun das ganze auch noch Vereinfachen:
Zuerst hab ich links das C "herausgehoben"
$\begin{eqnarray*} [C \vee (A \wedge \neg A) \wedge B] \vee [(\neg A\vee C)\wedge (C \wedge B)] \end{eqnarray*}$

Nun ist aber die Frage. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (A \wedge \neg A) \end{eqnarray*}$ ist ja von vornherein schon falsch? Nun die erste Frage mal: gehört dieser falsche Ausdruck nun zum C? Den ursprünglich hatte das B ja nix damit zu tun. Deshalb rechne ich jetzt mal damit weiter. Also müsste man den ausdruck $\begin{eqnarray*} C \vee ( A \wedge \neg A) \end{eqnarray*}$ in klammer setzen? Übrig bleibt auf jedenfall einfach nur:

$\begin{eqnarray*} [C \wedge B] \vee [(\neg A\vee C)\wedge (C \wedge B)] \end{eqnarray*}$

Nun die rechte Seite (da C kann man ja vom B trennen(?):
$\begin{eqnarray*} (\neg A \vee C) \wedge C = (\neg A \wedge C) \end{eqnarray*}$

insgesamt bleibts bei mir dann auf:

$\begin{eqnarray*} [C \wedge B] \vee [\neg A \wedge C \wedge B] \end{eqnarray*}$

Könnte man das nochmal vereinfachen? Und stimmts so überhaupt? :/

Greetings und thx

/edit: Ok, ich hab nun die Ausgangs-Aussage mit dem Endergebnis verglichen und die Wahrheitswerte passen smile

smile

Jetzt ist nur noch die Frage ob die Ausgangsgleichung so passt und ob man die noch weiter vereinfachen könnte. Oder obs vielleicht einen einfacheren Weg der Umformung geben würde? Bin für alles dankbar Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.08.2010, 21:12

addor

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Werde mich morgen früh melden.....

19.08.2010, 08:23

addor

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Die Notation der Schaltung verstehe ich nicht. Ich weiss nicht, was eine weisse Lötstelle ist und was eine Schaltung ist, die grösser oder gleich 1 ist.

Ich gehe von Deiner Ausgangsgleichung aus.

$\begin{eqnarray*} \left[(A\vee C)\wedge B\wedge (\neg A \vee C)\right]\vee \left[(\neg A \vee C)\wedge (B\wedge C)\right] \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, ich habe sie richtig abgeschrieben. Deine folgenden Fragen verstehe ich nicht: "links das C 'herausgehoben' " und "gehört dieser falsche Ausdruck nun zum C?". Grundsätzlich gilt ja:

$\begin{eqnarray*} A \wedge \neg A = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \wedge X = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \vee X = X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \vee \neg A = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \vee X = 1 \end{eqnarray*}$

Das sollte Deine diesbezüglichen Fragen beantworten.

Erlaube mir eine Notationsänderung. Ich schreibe $\begin{eqnarray*} X+Y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} X \vee Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} XY \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} X \wedge Y \end{eqnarray*}$ . Dadurch wird der Ausdruck etwas übersichtlicher:

$\begin{eqnarray*} (A+C)B(\neg A+C)+(\neg A+C)BC \end{eqnarray*}$

Das ist dasselbe, wie

$\begin{eqnarray*} (A+C)(\neg A+C)B+(\neg A+C)BC \end{eqnarray*}$

Konjunktion und Disjunktion gehorchen dem Distributivgesetz, also kann ich die ersten beiden Klammern "ausmultiplizieren" (wie Du Dich bei Übergang zu der herkömmlichen Notation leicht überzeugen kannst):

$\begin{eqnarray*} (A\neg A+C\neg A+ AC +CC)B+(\neg A+C)BC \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\neg A \end{eqnarray*}$ bedeutet korrekt $\begin{eqnarray*} A (\neg A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\neg A = 0 \end{eqnarray*}$ , also kann man es in der Summe weg lassen.

$\begin{eqnarray*} CC = C \end{eqnarray*}$

Somit haben wir noch:

$\begin{eqnarray*} (C\neg A+ AC +C)B+(\neg A+C)BC \end{eqnarray*}$

Kannst Du weiter vereinfachen?

20.08.2010, 17:46

Danip159

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Hi! Eine weiße Lötstelle bedeutet soviel wie "hier kommt nur die Negation durch".

Und das "größer gleich eins" bedeutet, dass alle eingehenden Leitungen zusammen mindestens 1 ergeben müssen. 1 ist für wahr und 0 für falsch. Also wenn

A und B "größer gleich 1", dann muss mindestens eins davon wahr sein. was einer Disjunktion entspricht.

Ok, ich versuch mal weiter zu vereinfachen und links das C herausheben:
$\begin{eqnarray*} [C*(A + \neg A +1)]*B + (\neg A + C)*BC \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A + \neg A + 1 \end{eqnarray*}$ ist einfach eine wahre Aussage (A oder nicht A oder wahr?)

Somit fällt dieser Ausdruck weg:
$\begin{eqnarray*} BC + (\neg A + C)*BC \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} BC* (1 + \neg A + C) \end{eqnarray*}$

1 ist wieder einfach wahr(? hoff ich mal)

$\begin{eqnarray*} BC*(\neg A + C) \end{eqnarray*}$

Wieder anders geschrieben:

$\begin{eqnarray*} (B\wedge C) \wedge (\neg A \vee C) \end{eqnarray*}$

Was nicht meinem ursprünglichen Ergebnis entspricht oder?:S bin grad verwirrt. Wo hab ich denn da meinen Fehler gemacht?

Aber Danke, super Idee mit den gängigen Rechenoperatoren smile

smile

Merci!

20.08.2010, 23:12

addor

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Halt, halt: mit $\begin{eqnarray*} BC(1+\neg A + C) \end{eqnarray*}$ bin ich noch einverstanden. Aber bitte, schau Dir mal die Klammer genauer an, bzw. schau Dir nochmals die Regeln an, die ich in meinem letzten Posting aufzählte, vor allem $\begin{eqnarray*} 1+X=1 \end{eqnarray*}$ .

Also, evaluiere obigen Term bitte nochmals!

21.08.2010, 14:01

Danip159

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Ach mist!

geschockt

$\begin{eqnarray*} BC*( 1 + \neg A + C) = BC \end{eqnarray*}$

smile

smile

right?^^

Gut. Nun hab ich diese Wahrheitstabelle mit der meiner ursprünglichen Aussage

Zitat:

insgesamt bleibts bei mir dann auf:

$\begin{eqnarray*} [C \wedge B] \vee [\neg A \wedge C \wedge B] \end{eqnarray*}$

verglichen und es passt!

Nun ist nur noch die Frage, wie komm ich von meiner usprünglichen Aussage auf das $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ ?

Iwie fehlt mir hier eine Rechenregel die ich anwenden könnte :/

/edit:

$\begin{eqnarray*} [C \wedge B] \vee [\neg A \wedge C \wedge B] \end{eqnarray*}$

wäre umgeschrieben ja:

$\begin{eqnarray*} [B*C] + [\neg A*B*C] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [B*C]*[1 + \neg A] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [B*C] \end{eqnarray*}$

So funktionierts ja prima. Nur leuchtet mir kein Lösungsweg ein, um ohne deine Rechenmethode auszukommen :/

22.08.2010, 09:14

addor

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Das Resultat lautet also $\begin{eqnarray*} B \wedge C \end{eqnarray*}$ , richtig.

Am Schluss schreibst Du so Dinge, wie "Nur leuchtet mir kein Lösungsweg ein, um ohne deine Rechenmethode auszukommen". Der Lösungsweg war ja wohl straight forward. Hast Du geschlafen?

Und von was für einer Rechenmethode sprichst Du? Ich habe einfach logische Umformungen gemacht. Wenn Du meine Notation meinst, dann ist es wohl nicht Dein Ernst, von mir zu verlangen, dass ich die Umformungen nochmals hinschreiben soll, indem ich überall anstelle von $\begin{eqnarray*} XY \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} X \wedge Y \end{eqnarray*}$ und anstelle von $\begin{eqnarray*} X+Y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} X \vee Y \end{eqnarray*}$ schreibe. Das kannst Du selber auch.

22.08.2010, 10:42

Danip159

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Hallo!

Mir gehts daraum, dass mir hierzu wirklich kein Gesetz einfällt, das ich anwenden könnte - ohne deine Notation Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sry, wenn ich dich in irgendeiner Weise beleidigt haben sollte Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} [C \wedge B] \vee [\neg A \wedge C \wedge B] \end{eqnarray*}$

Mir gehts draum, dass ich auch ohne deine Notation zu dem Ergebnis BC komme. Es kann doch nur hier noch ein kleines Gesetz fehlen, das ich anwenden muss und schon hab ich BC als Ergebnis.

22.08.2010, 11:50

addor

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Distributivgesetz

23.08.2010, 12:28

Danip159

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$\begin{eqnarray*} [C \wedge B] \vee [\neg A \wedge C \wedge B] \end{eqnarray*}$

wird hier doch zu:

$\begin{eqnarray*} [C \wedge B] \wedge [1 \vee \neg A] \end{eqnarray*}$

Achsoo. Dann stimmts Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

merci beaucoup smile

smile

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