Grenzwert bei 2 Variablen

17.08.2010, 20:13

Grenzer

Grenzwert bei 2 Variablen

Hallo

,
gerade bin ich dabei ein paar Übungsaufgaben aus diesem Semester zu wiederholen. Unteranderem die Grenzwertbildung bei mehreren Variablen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x,y \to 0} \frac{\sin 8xy}{2xy} \end{eqnarray*}$

Kann mir einer Erklären, wie das geht? Ich weiß nur wie man zeigt, das Grenzwerte nicht existieren. Aber nicht, wie ich diese berechnen kann.

edit: Die "Wariablen" verbessert.
LG sulo

17.08.2010, 21:22

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo. Möglich wäre wohl folgendes: Definiere $\begin{eqnarray*} f~:~ D\to\mathbb{R},~ (x,y)\mapsto \frac{\sin(8xy)}{2xy} \end{eqnarray*}$ mit geeignetem $\begin{eqnarray*} D\subseteq \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

Dann stelle eine begründete Vermutung darüber auf, wie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ stetig fortgesetzt werden kann. Das kannst du zum Beispiel tun, indem du dir eine beliebige Nullfolge $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ nimmst, und die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit dieser Fortsetzung im Ursprung zeigst (das sollte mit der Lipschitz-Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ nicht allzu schwer sein).

Wenn das geschafft ist, ist der Grenzwert natürlich genau der Wert der stetigen Fortsetzung.

Möglicherweise geht das auch schneller bzw. einfacher - ich kenne jedoch derzeit keinen schnelleren Weg.

17.08.2010, 21:38

Grenzer

Auf diesen Beitrag antworten »

So richtig habe ich nicht verstanden, auf was du hinaus möchtest. Ich weiß nur, dass wir es in der Übung nicht so kompliziert gemacht haben. Wenn ich y=x setze. Dann bekomme ich durch L'Hospital den Grenzwert 4. Also wäre meine Vermutung, dass die Funktion im Ursprung gegen 4 geht.

Aber wie zeige ich nun, dass es wirklich so ist?

17.08.2010, 21:48

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ zu setzen, entspricht ja dann einfach der Wahl einer willkürlichen Nullfolge. Du vermutest also, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Ursprung mit dem Wert 4 stetig fortgesetzt werden kann.

Also definieren wir $\begin{eqnarray*} \overline f ~:~ D\cup\{(0,0)\}\to\mathbb{R},~ (x,y)\mapsto\begin{cases}f(x,y)&(x,y)\neq (0,0) \\ 4 & (x,y)=(0,0)\end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun bleibt die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \overline f \end{eqnarray*}$ im Ursprung zu zeigen. Weißt du, wie du das machen kannst?

17.08.2010, 21:50

Grenzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein da hapert es leider.

17.08.2010, 22:16

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die Abbildung $\begin{eqnarray*} f~:~D\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} D\subseteq \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , zwischen den zwei normierten Räumen $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}^2,\|\cdot \|) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},|\cdot |) \end{eqnarray*}$ heißt stetig im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ falls zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \|(x,y)-(0,0)\|<\delta \Rightarrow |f(x,y)-f(0,0)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in D \end{eqnarray*}$ .

Kannst du das nun mit dieser Definition für unsere Abbildung $\begin{eqnarray*} \overline f \end{eqnarray*}$ durchführen?

Ich würde an deiner Stelle im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ die Maximumsnorm verwenden. Nutze außerdem aus, dass $\begin{eqnarray*} |\sin(x)|\leq |x| ~\forall x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (das folgt aus der Lipschitz-Stetigkeit des Sinus).

17.08.2010, 22:58

Grenzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm also die Definition habe ich jetzt versucht zu verstehen. Wobei wir das nie so "mathematisch" hatten (ich studiere keine Mathematik). Aber wie kann man das hier anwenden? Darf ich einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{|8xy|}{2xy} \end{eqnarray*}$ schreiben wegen dem Sinus?

17.08.2010, 23:15

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die Definition zu verstehen wäre schon recht wichtig. Mit dem Finden einer formalen Definition haben sich aber lange Zeit auch Mathematiker schwer getan. Anschaulich gesprochen bedeutet Stetigkeit, dass aus einer "kleinen" Änderung des Funktionsarguments auch nur eine "kleine" Änderung des Funktionswertes folgt.
Jedenfalls solltest du die Definition verstehen, da wir sie nutzen, um die Stetigkeit zu zeigen.

Wir nehmen uns also $\begin{eqnarray*} (x,y)\in D \end{eqnarray*}$ her mit $\begin{eqnarray*} \|(x,y)\|_\infty<\delta:=\frac{\varepsilon - 8}{8} \end{eqnarray*}$ . Das ist eine Stelle, die immer sehr witzig aussieht, da sie den Anschein macht, man könne sofort sehen, wie man $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zu wählen hat. Ich habe jedoch zuerst einfach nur mit einer Variablen $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ abgeschätzt und diese dann am Ende der Abschätzung geeignet gewählt.

Nun möchten wir also $\begin{eqnarray*} |f(x,y)-f(0,0)| \end{eqnarray*}$ abschätzen. Also, los geht's:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{\sin(8xy)}{2xy}-4\right|\leq \left| \frac{\sin(8xy)}{2xy}\right| + 4 \end{eqnarray*}$ Diese erste Abschätzung geht nach der Dreiecksungleichung für den Betrag.
Dann benutzen wir die erwähnte Lipschitz-Stetigkeit des Sinus:
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{\sin(8xy)}{2xy}\right| + 4 \leq \frac{8|xy|}{2|xy|}+4=4\left( \frac{|xy|} {|xy|} + 1\right) \end{eqnarray*}$

Das ist jedoch noch nicht ideal, da wir nichts davon haben, den Ausdruck gegen eine Konstante abzuschätzen. Wir müssen also jetzt ein bisschen "mit Gewalt arbeiten".

Da es hier keine Komplettlösungen gibt, musst du jetzt auch nochmal was tun - wir sind jedoch schon fast fertig: ergänze in dem Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{|xy|}{|xy|} \end{eqnarray*}$ im Zähler eine "konstruktive Null" (also etwas im Stil von $\begin{eqnarray*} ...+a-a \end{eqnarray*}$ ) und wende dann noch einmal die Dreiecksungleichung an.

PS: Falls du nicht mit dem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , das ich gewählt habe, zurechtkommst, kannst du natürlich auch ein anderes geeignetes wählen.

18.08.2010, 07:23

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich habe den Ansatz von Jester mit Interesse durchgelesen (und sehe auch keine Fehler darin), würde nun aber doch gerne im Interesse des Fragestellers eine kürzere Alternative vorschlagen:

Definiere zwei stetige Funktionen

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^2 \to \mathbb R, \; f(x,y) := xy \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \to \mathbb R, \; g(z) := \begin{cases} \dfrac{sin(8z)}{2z} & \text{wenn } z \ne 0 \\ 4&\text{wenn } z = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann ist auch deren Komposition $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ stetig, insbesondere existiert also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x,y \to 0} \frac{\sin 8xy}{2xy} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe reduziert sich damit darauf, die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nachzuweisen.

Gruss. Wink

18.08.2010, 08:03

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonnabphd
(und sehe auch keine Fehler darin)

Ich jetzt schon. geschockt

Bei dem von mir vorgeschlagenen Nachweis der Stetigkeit ist $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon - 8}{8} \end{eqnarray*}$ für "kleines" $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ negativ... Da muss man also noch ein bisschen arbeiten.

Edit: Gonnabphds Ansatz ist da natürlich weitaus einfacher ( Freude

). Sein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist trivialerweise stetig und für das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hat man jetzt als Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ L'Hospital zur Verfügung, um die beidseitigen Grenzwerte auszurechnen und mit dem Funktionswert zu vergleichen. Damit erspart man sich dann diese ganze Epsilon-Delta-Asbchätzunh.

18.08.2010, 10:18

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe diesbezüglich eine Frage. Ich würde das so machen, dass ich den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(x, \alpha \cdot x) \end{eqnarray*}$ für beliebiges Alpha für x gegen 0 berechne. Die Funktion ist ja stetig, falls der Grenzwert in den Nullpunkt existiert, egal, wie man zur Null kommt. Mit den linearen Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x) = \alpha \cdot x \end{eqnarray*}$ kann man ja beliebige Funktionen nahe der 0 approximieren.

Wir haben seinerzeit diesen Weg nur benutzt, um zu zeigen, dass der Grenzwert nicht existiert, eben, weil ein Alpha stehen bleibt, aber hier fällt es auch heraus und es bleibt 4 stehen.

Ist da ein Denkfehler?

18.08.2010, 10:29

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

@Cel: Das Problem dabei ist, dass x und y nicht in der selben Größenordnung gegen 0 streben müssen. Wenn du aber $\begin{eqnarray*} y= \alpha x \end{eqnarray*}$ setzt, so nimmst du dies stillschweigend an.

Letztendlich ist die Aufgabe mit $\begin{eqnarray*} \lim_{u \to \infty} \frac{\sin u}{u} = 1 \end{eqnarray*}$ doch sofort erschlagen, da mit $\begin{eqnarray*} (x,y) \to (0,0) \end{eqnarray*}$ fast trivialerweise auch $\begin{eqnarray*} 8xy \to 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

18.08.2010, 11:09

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
@Cel: Das Problem dabei ist, dass x und y nicht in der selben Größenordnung gegen 0 streben müssen. Wenn du aber $\begin{eqnarray*} y= \alpha x \end{eqnarray*}$ setzt, so nimmst du dies stillschweigend an.

OK, das sehe ich ein. Ich dachte mir nur, dass sie nahe der 0 eben doch linear verlaufen, weil ich den Graphen dort approximiere (n kann). Dann merke ich mir das für die Zukunft, danke!

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert bei 2 Variablen

Verwandte Themen