Mind. x treffer mit einer Wahrscheinlichkeit von y?

17.08.2010, 22:15

Desy

Mind. x treffer mit einer Wahrscheinlichkeit von y?

Meine Frage:
Hallo!

Ich hab ein Problem. Nehmen wir an, ein Ereigniss hat eine chance von 1% einzutretten. Nun möchte ich gerne wissen, wie oft man den Vorgang wiederholen muss, um mit 90%iger Sicherheit mind. 3 Ereignisse auszulösen?

Meine Ideen:
Meine erste (und einzige) Idee war:

Mindestens 1 treffer mit 90%iger Wahrscheinlichkeit ist ja recht einfach mit mit
1-q^n >= 0.99

was sich auf ln(1-0.9)/ln(1-0.01) = ln(0.1)/ln(0.99) auflösen läßt.

Damit weiß ich 229 (bzw. 230) mal das Vorgang wiederholen muss, um eine 90%ige Chance auf ein Ereigniss zu haben.

Aber wie berechne ich jetzt wie oft ich das wiederholen muss, wenn ich mind. 2 Ereignisse zu 90% haben will?

17.08.2010, 23:02

Leopold

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Was nun, mindestens 3 oder mindestens 2 Erfolge?

Auf jeden Fall geht es um eine Bernoulli-Kette unbekannter Länge $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Gibt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Erfolge an, so ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ binomialverteilt, d.h. es gilt die Formel:

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = {n \choose k} \cdot 0{,}01^k \cdot 0{,}99^{n-k} \end{eqnarray*}$

Und jetzt mußt du, wenn mindestens 3 Erfolge angesagt sind, die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 3) \geq 0{,}9 \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auflösen. Geht man links zum Gegenereignis über, kann man äquivalent umformen:

$\begin{eqnarray*} 1 - P(X \leq 2) \geq 0{,}9 \ \ \Leftrightarrow \ \ P(X \leq 2) \leq 0{,}1 \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X \leq 2) \end{eqnarray*}$ erhält man durch Summenbildung: $\begin{eqnarray*} P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \end{eqnarray*}$ . Und die Summanden kannst du mit der Formel von oben berechnen.
Die Ungleichung selbst löst du am besten durch Probieren verschiedener Werte für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Eine Auflösung durch algebraische Umformung ist nicht möglich.

Wenn es um mindestens 1 Erfolg geht, dann lautet die entsprechende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 1) \geq 0{,}9 \ \ \Leftrightarrow \ \ 1 - P(X=0) \geq 0{,}9 \end{eqnarray*}$

Und das ist nichts anderes, als was du mit $\begin{eqnarray*} 1 - q^n \geq 0{,}9 \end{eqnarray*}$ angegeben hast, wobei hier $\begin{eqnarray*} q = 0{,}99 \end{eqnarray*}$ ist.

28.08.2010, 15:02

Desy

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Hallo,

Hab nur 2 Wochen lang dran gesessen das in Java umzusetzen, aber irgendwie scheint was ned richtig zu sein.

Beispiel:
k = 3
n = unbekannt
q = 0.01
gewünschte Wahrscheinlichkeit: 85%

Dann krieg ich bei
$\begin{eqnarray*} P(X=0) = 189 \end{eqnarray*}$ (aufgerundet)
$\begin{eqnarray*} P(X=1) = 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=2) = 83 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X<=2) = 290 \end{eqnarray*}$

Soweit siehts ja recht plausibel aus. Wenn ich jetzt aber das Gegenprüfen will, wie hoch die Wahrscheinlichkeit bei auf 3 Treffer bei 290 Versuchen ist,

$\begin{eqnarray*} {290 \choose 0} \cdot 0{,}01^0 \cdot 0{,}99^{290} = 0.054225858 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {290 \choose 1} \cdot 0{,}01^1 \cdot 0{,}99^{289} = 0.1582956868 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {290 \choose 2} \cdot 0{,}01^2 \cdot 0{,}99^{288} = 0.228654858 \end{eqnarray*}$

Ist 1-0.4411764028 = 0.5588235972, also 55.88%. Also stimmt einer der beiden Ansätze nicht, ich vermute mal der erste mit P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) oder? Was wär dann richtig?

28.08.2010, 16:38

René Gruber

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Zitat:

Original von Desy
Dann krieg ich bei
$\begin{eqnarray*} P(X=0) = 189 \end{eqnarray*}$ (aufgerundet)
$\begin{eqnarray*} P(X=1) = 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=2) = 83 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X<=2) = 290 \end{eqnarray*}$

Soweit siehts ja recht plausibel aus.

Für mich stellt sich das ganz und gar nicht plausibel dar. unglücklich

Gewöhnlich versteht man unter $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ eine Wahrscheinlichkeit. Die Werte 189, 18, 83 oder 290, die da bei dir stehen, sind sämtlich keine Wahrscheinlichkeiten. Es sieht so aus, als meinst du statt $\begin{eqnarray*} P(X=0) = 189 \end{eqnarray*}$ eigentlich

$\begin{eqnarray*} P(X=0) < 0.15 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 189 \end{eqnarray*}$ ,

was etwas völlig anderes darstellt - da hast du Wahrscheinlichkeit einerseits und Experimentumfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ andererseits aber kräftig durcheinandergebracht. Und es ist nicht nur ein kleiner Schreibfehler, denn für den Experimentumfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , der zu $\begin{eqnarray*} P(X\leq 2) < 0.15 \end{eqnarray*}$ gehört, gilt keine derart einfache Summationsregel, wie du sie bei 189+18+83=290 einfach verwenden wolltest. geschockt

Zur Lösung der Aufgabe lies dir einfach nochmal Leopolds Ausführungen in Ruhe durch, und stelle die zugehörigen Gleichungen auf.

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