Summe mit Erzeugender Funktion berechnen

18.08.2010, 09:53	Damocles	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe mit Erzeugender Funktion berechnen Hi, Die Aufgabe ist [Diskrete Mathematik, Martin Aigner]: a) berechne die erzeugende funktion der harmonischen Zahlen $\begin{eqnarray} H_n=\sum_{k=1}^n\frac 1k \end{eqnarray}$ b) Bestimme mittels der vorhergehenden Übung $\begin{eqnarray} \sum _k H_kH_{n-k} \end{eqnarray}$ Also für die a) weiß ich schon, dass $\begin{eqnarray} \sum_k \frac{1}kx^k=\ln\frac1{1-x} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \sum_n H_nx^n=\sum_n \left(\sum_{k=1}^n \frac 1 k\right)x^n=\frac1{1-x}\cdot \ln \frac 1 {1-x} \end{eqnarray}$ Die b) ist eigentlich nur die Konvolution der Reihe oben mit sich selbst, also $\begin{eqnarray} \sum_n \left(\sum _k H_kH_{n-k}\right)x^n = \left(\frac1{1-x}\cdot \ln \frac 1 {1-x}\right)^2 \end{eqnarray}$ und daraus schließe ich, dass $\begin{eqnarray} \sum _k H_kH_{n-k} \end{eqnarray}$ der Koeffizient von $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ in der Potenzreihendarstellung von $\begin{eqnarray} \left(\frac1{1-x}\cdot \ln \frac 1 {1-x}\right)^2 \end{eqnarray}$ ist, nur - wie komm ich auf die Potenzreihenentwicklung? Ich habs mal bei wolfram eingeben und mir die ersten Koeffizienten angeschaut...es scheint zu stimmen Vielen Dank im Voraus
18.08.2010, 11:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs nur kurz überflogen, aber wie wärs mit Cauchyprodukt der Reihenentwicklung der einzelnen Terme? Wird wahrscheinlich halt eklig aussehen
18.08.2010, 14:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber dann bekommt er ja wieder $\begin{eqnarray} \sum_k H_k H_{n-k} \end{eqnarray}$ . Die Frage ist natürlich, was in (b) mit der "vorhergehenden Übung" gemeint ist. Vielleicht ist das ja gar nicht (a), sondern die Aufgabe im Buch eine Seite davor oder so. Und die Frage ist auch, was genau als Lösung erwartet wird. Es wird sich wohl kein simpler Term ergeben. Aber ich kenne mich da nicht so richtig aus. Jedenfalls habe ich für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \left( \frac{\ln(1-x)}{1-x} \right)^2 \end{eqnarray}$ das Folgende berechnet: $\begin{eqnarray} f^{(n)}(0) = 2 (n+1)! \left( 1 - H_{n+1} + \sum_{k=1}^n \frac{H_k}{k+1} \right) \end{eqnarray}$ so daß man durch Vergleich $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n-1} H_k H_{n-k} = 2(n+1) \left( 1 - H_{n+1} + \sum_{k=1}^n \frac{H_k}{k+1} \right) \end{eqnarray}$ bekommt. Ich weiß aber nicht, ob das wirklich eine aufregende Formel ist, die man möglicherweise auch durch direktes Umrechnen finden kann.

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