Uneigentliches Integral bestimmen

18.08.2010, 11:24

Riemannson

Uneigentliches Integral bestimmen

hallo zusammen,

ich habe folgendes integral und weiß nicht wie ich herangehen kann:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{x^3-x^2+x-1} \end{eqnarray*}$

....????

18.08.2010, 11:30

gonnabphd

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Hi,

Zerlege das Polynom im Nenner in Linearfaktoren und mache eine Partialbruchzerlegung.

Gruss. Wink

18.08.2010, 11:31

Shortstop

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Du kannst den Nenner in Linearfaktoren zerlegen und anschliessend Partialbruchzerlegung machen.
Achtung: Du wirst komplexe Nullstellen bekommen.

edit: Wieso bin ich morgens immer so langsam? Big Laugh

18.08.2010, 11:32

mYthos

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Und was ist an dem Integral "uneigentlich"?

mY+

18.08.2010, 12:10

gonnabphd

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Zitat:

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Und was ist an dem Integral "uneigentlich"?

mY+

Eher: Und wo ist das Integral? Big Laugh

21.08.2010, 11:58

Riemannson

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also erst mal die nullstellen bestimmt:

$\begin{eqnarray*} x_1=1, x_2=i, x_3=-i \end{eqnarray*}$

nun gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x^3-x^2+x-1} =\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-i}+\frac{c}{x+i} \end{eqnarray*}$

nun muss ich ja a,b,c ausrechnen und ich bekomme folgendes:

$\begin{eqnarray*} a=1, c=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i, b=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit und wenn ja ja wie mache ich mit den komplexen zahlen weiter?

21.08.2010, 12:14

jester.

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Von den komplexen Zahlen würde ich an deiner Stelle absehen. Zerlege den Nenner lieber nur in $\begin{eqnarray*} (x-1)(x^2+1) \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du eine Zerlegung $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ finden mit Polynomen A,B, die $\begin{eqnarray*} A(x^2+1)+B(x-1)=1 \end{eqnarray*}$ erfüllen. Hast du eine Idee, wie du diese A und B bestimmen könntest?

21.08.2010, 12:44

Riemannson

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muss nicht gelten:
$\begin{eqnarray*} A(x^2+1)+B(x-1)=2 \end{eqnarray*}$

also ich würde für x die nullstellen einsetzen ...
bei 1 klappt das auch ganz gut, dann wäre A=1

aber für B verwirrt

21.08.2010, 12:47

jester.

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Ob das jetzt 1 oder 2 ist, ist egal, das ist ja nur ein Faktor, den man vor das Integral ziehen kann.

Aber so, wie du das machen willst, funktioniert das nicht. Das Auffinden von A und B geht über den erweiterten euklidischen Algorithmus, denn wenn es solche A und B gibt sind $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ teilerfremd.

In diesem Fall reduziert sich das auf die eine Polynomdivision $\begin{eqnarray*} (x^2+1) : (x-1) \end{eqnarray*}$ .

21.08.2010, 12:54

Riemannson

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also polynomdivision führt auf

$\begin{eqnarray*} x+1+\frac{2}{x-1} \end{eqnarray*}$

also ist ggT 1

aber wie bringt mich das weiter?

21.08.2010, 12:58

jester.

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Du hast $\begin{eqnarray*} (x^2+1) : (x-1) = x+1+\frac{2}{x-1} \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} (x^2+1)-(x-1)(x+1)=2 \end{eqnarray*}$ .

Also insgesamt: $\begin{eqnarray*} \int\frac{2}{x^3-x^2+x-1}\dx=\int\frac{\dx}{x-1}-\int\frac{x+1}{x^2+1}\dx \end{eqnarray*}$ und das kann man leicht integrieren.

21.08.2010, 13:14

Riemannson

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alles klar das ist dann:

$\begin{eqnarray*} ln(x-1)-arctan (x) -\frac{ln(x^2+1)}{2} \end{eqnarray*}$

danke....

21.08.2010, 13:18

jester.

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Fast. Richtigerweise muss der erste Summand $\begin{eqnarray*} \ln(|x-1|) \end{eqnarray*}$ heißen. Ansonsten alles richtig. Freude

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