Existenz partieller Ableitungen und Diff´barkeit - Seite 2

28.08.2010, 17:13

Cel

Zitat:

Original von mid12
er berchnet nur die partielle Ableitung nach x und will dann gegen null gehen, was nicht klappt und draus kann man nicht schließen dass nicht diffbar ist...

Edit: Hmm ... muss noch mal kurz überlegen ...
Edit2: Gut, jetzt bin ich mir im klaren, glaube ich. Ich denke, dass mid recht hat. Die Funktion ist im Nullpunkt differenzierbar mit Ableitung 0. Das, was kvnb gezeigt hat, zeigt nur, dass f nicht stetig differenzierbar ist, da der GW der Ableitung gegen 0 nicht existiert.

$\begin{eqnarray*} f'(x,y)=\begin{pmatrix}\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} & \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier muss dann halt jeweils $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0 = 0 \end{eqnarray*}$ konkret einsetzen.

Ich kann das auch noch mal aufschreiben, wenn zu viel Chaos entstanden ist.

Also, meine Meinung zusammengefasst:

f ist:

1. stetig
2. differenziebar
3. NICHT stetig differenzierbar.

28.08.2010, 17:34

mid12

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Ich kann auch dem nur teilweise zu stimmen.......also er zeigt, dass die partielle Ableitung im Nullpunkt nicht stetig ist...völlig korrekt! (wenn sie das wäre und das gleiche für die partielle nach y, dann wäre f diffbar....ist ein satz).....aber: f ist in Null nicht diffbar, denn: (eine Möglichkeit dies zu zeigen)

Wäre f in Null diffbar, dann gilt für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=f(0,0)+<gradf(0,0),(x,y)>+R(x,y) \end{eqnarray*}$

Alles einsetzen ergibt wegen $\begin{eqnarray*} gradf(0,0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=R(x,y) \end{eqnarray*}$

und jetzt kommt das entscheidende:

$\begin{eqnarray*} R(x,y)/|(x,y)|=\sqrt{|xy|}/\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ und das konvergiert für $\begin{eqnarray*} (x,y)\rightarrow (0,0) \end{eqnarray*}$ NICHT gegen Null

Man nehme zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n)=(1/n,1/n) \end{eqnarray*}$ , d.h. die "klein o" bedinung ist nicht erfüllt!!!!

ALSO: f nicht diffbar in Null!

28.08.2010, 18:26

Cel

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OK, jetzt hab ich es. Ich hab da partiell diff'bar und total diff'bar verwechselt. Danke für deine Ergänzung. Meine Erläuterungen sind nicht falsch, sie beziehen sich einfach auf die partielle Differenzierbarkeit in der 0, was mit der Frage aber auch nur am Rande zu tun hat ...

28.08.2010, 19:09

Shortstop

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Zitat:

Original von mid12
ALSO: f nicht diffbar in Null!

Aber genau das haben wir ja auch gezeigt?

Unsere Vorgehensweise war:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt{|xy|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} grad(f)(x,y)=(\frac{|y|}{2\sqrt{|xy|}},\frac{|x|}{2\sqrt{|xy|}}) \end{eqnarray*}$

Der Gradient existiert in (0,0) offensichtlich nicht, also ist "f nicht diffbar in Null!".

Wo ist das jetzt falsch?

28.08.2010, 19:13

Cel

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Zitat:

Original von kvnb
Aber genau das haben wir ja auch gezeigt?

Unsere Vorgehensweise war:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt{|xy|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} grad(f)(x,y)=(\frac{|y|}{2\sqrt{|xy|}},\frac{|x|}{2\sqrt{|xy|}}) \end{eqnarray*}$

Der Gradient existiert in (0,0) offensichtlich nicht, also ist "f nicht diffbar in Null!".

Wo ist das jetzt falsch?

Wenn du streng nach Definition vorgehst (wie ich es vorgeschlagen habe), dann siehst du, dass der Gradient in der Null existiert. Es gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} grad(f)(x,y)=\begin{cases}\left(\frac{|y|}{2\sqrt{|xy|}},\frac{|x|}{2\sqrt{|xy|}}\right), & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: Du zeigst, dass die partielle Ableitung nicht stetig ist, dennoch existiert sie in der Null. Aber mit der (totalen) Differenzierbarkeit hat das nichts zu tun. Es ist alles schon ein bisschen verwirrend, muss ich sagen ...

28.08.2010, 19:21

Shortstop

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Allerdings, ich bin auch ziemlich verwirrt mittlerweile.
Wie genau kommst du denn darauf, dass der Gradient in (0,0) gleich Null ist? Denn auch nach Definition hab ich da 0/0, und das ist schliesslich nicht definiert. Zumal mich dann folgendes stutzig macht:

Zitat:

Original von kvnb

1. $\begin{eqnarray*} x_n=1/n , y_n=1/n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|y|}{2\sqrt{|xy|}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

2. 1. $\begin{eqnarray*} x_n=1/n^3 , y_n=1/n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{|y|}{2\sqrt{|xy|}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{2}{n^2}}=\infty \end{eqnarray*}$

Wie kann das dann sein, wenn der Gradient 0 ist? Vor allem ist die Funktion doch stetig in 0, oder nicht?

edit: Ok glaub ich habs jetzt. Liegt wohl einfach daran, dass die Funktion wie gesagt nicht stetig diff'bar ist..

Was für eine Geburt Hammer

28.08.2010, 19:32

Cel

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Machen wir mal die partielle Ableitung nach x. Die Definition hol ich noch mal von Wiki:

[attach]15868[/attach]

So, wir wählen ja hier a = 0.

Also müssen wir den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(0+h, 0) - f(0,0)}{h} \end{eqnarray*}$ lösen. Na ja, und im Zähler ergeben sich jeweils Nullen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{|h \cdot 0|}- \sqrt{|0 \cdot 0|}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0}0 = 0 \end{eqnarray*}$

Analog geht das ja auch nach y.

Edit: Ah ja, jetzt haben wir beide es wohl. Na ja, das war wirklich eine schwere Geburt. Man lernt nie aus. smile

28.08.2010, 19:35

Shortstop

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Zitat:

Original von Cel

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{|h \cdot 0|}- \sqrt{|0 \cdot 0|}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0}0 = 0 \end{eqnarray*}$

Genau da lag der Knackpunkt, den ich nicht bedacht habe. Da im Zähler in jedem Fall 0 steht und sich der Nenner nur 0 nähert, ist dieser Bruch eben doch definiert und gleich Null.

Man man man Big Laugh

28.08.2010, 19:51

Huggy

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Es ist beeindruckend, wie man die Existenz der partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) und ihren Wert mittels der Definitionen bestimmen kann.

Bei

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sqrt{|xy|} \end{eqnarray*}$

gilt nun

$\begin{eqnarray*} f(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ für alle x.

Damit existiert die Ableitung von f(x,0) nach x trivialerweise für alle x und ist 0 und das ist ja gerade die partielle Ableitung nach x für y = 0. Analoges gilt für f(0,y).

01.09.2010, 09:44

Riemannson

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kann ich dann jetzt daraus schließen, dass die partiellen ableitungen im punkt (0,0) existieren? Wink