Existenz partieller Ableitungen und Diff´barkeit

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Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz partieller Ableitungen und Diff´barkeit
hallo,

ich soll folgende funktion untersuchen:



auf existenz der partiellen ableitungen und auf differenzierbarkeit im punkt (0,0)

habe leider keine ahnung wie ich das anstelle.....
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn die Ableitung definiert? (Stichwort Grenzwert)

Existiert dieser Grenzwert für die partielle Ableitung nach x bzw. y?

Existiert dieser Grenzwert im Punkt (0/0) ?
 
 
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

also der differenzenquotient müsste doch so aussehen:




und dann muss das ganze bei (0,0) auch existieren um dort diff´bar zu sein oder?
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Die Limites kannst du noch genauer angehen, du kennst ja die Funktion. Und dann schauen, ob diese auch existieren.

Danach prüfst du, ob diese auch im Punkt (0,0) existieren.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

also:



und da hörts dann auf...
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt musst du versuchen, es so umzuformen, dass du den Grenzwert bilden kannst.
Versuchs mal mit Erweitern (3. Bin. Formel).
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

ach, dachte ich mir schon fast, also:



und das selbe dann noch für y+h.

stimmt das soweit?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

zuerst denk ich, dass du h gegen 0 laufen lassen musst und nicht x.

Bis zum vorletzten Schritt stimmt meiner Meinung nah deine Umformung, dann jedoch musst du für h 0 einsetzen und bekommst dann aber im Nenner eine 0.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

kleiner fehler ich meine ja natürlich h! und bei vorletzten schritt fehlt noch der betrag...
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler liegt da, dass in dem eigentlichen Grenzwert für die Partielle Ableitung im Zähler ein Minus steht. Darum erweitert man dann mit der binomischen Formel mit Plus und somit steht am Ende auch im Nenner ein Plus, damit wird der Nenner nicht 0.

Es sei denn.... (Tipp zur Aufgabe ;D)
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss doch aber mit minus erweitern, sonst wird´s im nenner doch nichts mit der 3 binomischen formel verwirrt
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »



Hier muss bereits das "-" in den Zähler, aus der Definition der Ableitung. Dann musst du mit + erweitern, also auch im Nenner, und dann kommt nicht 0 heraus im Nenner!

Gruß

Johnsen
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

gut so klappt das dann also:



das müsste doch auch die ableitung nach x sein?

aber was meint ihr denn mit 0 im nenner?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss das mit der 0 im Nenner, zu der ist es nur gekommen, weil du zu beginn ein "+" im Zähler hattest, aber das hat sich ja geklärt.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

und dann setze ich für x und y 1/n ein, n positiv dann kann ich die beträge weglassen:



und das müsste doch aber gegen 0 gehen oder?
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, so bekommst du einen Grenzwert raus.

Aber was passiert, wenn du für x die Nullfolge nimmst?
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar dann geht der grenzwert gegen unendlich und existiert nicht daher also im punkt (0,0) nicht diff´bar
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Riemannson
alles klar dann geht der grenzwert gegen unendlich und existiert nicht daher also im punkt (0,0) nicht diff´bar


Jep Wink
mid12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, habe mir das gerade mal so durchgelesen und versteh hier was nicht....

zu untersuchen ist die Diffbarkeit in (0,0)....

Dann wird zuerst die partielle Ableitung nach x berechnet und man erhält (ohne es zu überprüfen)




Jetzt werden zwei Folgen eingesetz, um zu zeigen, dass der Grenzwert
nicht existiert.....(tut er nicht)....aber daraus folgt doch nicht, dass f in (0,0) nicht diffbar ist!
betrachte dazu

f in in Null diffbar aber existiert nicht!!!
hätte einen anderen lösungsvorschlag, wenn der noch gewünscht wird
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht darum, dass der Grenzwert nicht existiert, sondern darum, dass es verschiedene Grenzwerte gibt je nachdem, wie man sich dem Punkt (0,0) nähert.

1.



2. 1.



, also kann der Grenzwert nicht existieren.
mid12 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, der grenzwertder partiellen Ableitung existiert nicht wenn man sich (0,0) nähert....daraus kann aber nichts sagen (siehe das beispiel, nur eindimensional)
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Doch kann man. Eine Funktion ist genau dann diff'bar, wenn dieser Grenzwert (eindeutig) existiert.

Und deine Funktion ist in 0 nicht diff'bar:



, denn der Differenzenquotient pendelt, wenn x gegen 0 geht, unendlich oft zwischen positiven und negativen Werten und nimmt dabei jeden Zwischenwert unendlich oft an.
saz Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, kann man schon - das man es nicht kann, liegt ja nur daran, dass du die Funktion unvollständig angegeben hast.

Sei



Geht man genauso wie oben vor, erhält man auch das korrekte Ergebnis:



Bis hierher sollte es ja keinen Zweifel geben. Und nun kannst du ja fuer h eine beliebige Nullfolge einsetzen und prüfen, ob der Grenzwert für existiert.

Und was anderes wurde oben auch nicht gemacht, außer dass eben zunächst allgemein x und y betrachtet wurden. (Was bei deiner Funktion einfach nicht funktioniert, weil sie ja nicht global mit "einer Formel" angegeben werden kann.)
mid12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion sollte (ist wahrscheinlich egal) so lauten , dass im sinus sin(1/x) steht.....und oben wurde folgendes gemacht (im übertragenen Sinne): es wurde f' berechnet, d.h. hier



und DANN wurde überprüft, ob der Limes für x gegen Null existiert ....das kann man dann mit zwei passenden Folgen machen und man erhält, dass dieser nicht existiert! ABER: f ist in Null diffbar!
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mid12
ABER: f ist in Null diffbar!


Zitat Wikipedia:


Die Funktion :


ist an der Stelle 0 stetig aber nicht differenzierbar (aber überall sonst).
Für den Differenzenquotient an der Stelle 0 gilt:



Der Limes für existiert nicht. Es existieren auch keine einseitigen Grenzwerte.
mid12 Auf diesen Beitrag antworten »

dies FUnktion betrachtet ja auch keiner....sondern

für x ungleich Null, und f(0)=0.....

und oben wurde die "allgeimeine" partielle ABleitung bestimmt und dann versuch gegen Null zu gehen, was nicht klappt!!! daraus kann man aber nichts ziehen (siehe die oben genannte FUnktion im eindimensionalen)....die partielle Ableitung nach x im Punkt Null exisitiert, denn:



also das vorgehen oben geht so nicht!!! man kann nicht die Ableitung bestimmen und dann versuchen gegen den Punkt zu gehen und wenn das nicht klappt einfach sagen, ist nicht diffbra in diesem Punkt!!
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mid12
dies FUnktion betrachtet ja auch keiner....sondern

für x ungleich Null, und f(0)=0.....



Auch die ist nicht diff'bar in 0...


Zitat:
Original von mid12
man kann nicht die Ableitung bestimmen und dann versuchen gegen den Punkt zu gehen und wenn das nicht klappt einfach sagen, ist nicht diffbra in diesem Punkt!!


Halte ich für ein Gerücht.

edit:

Zitat:
Original von mid12




? Beziehst du dich jetzt auf die Funktion ? Dann hast du falsch gerechnet...
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kvnb
Zitat:
Original von mid12
dies FUnktion betrachtet ja auch keiner....sondern

für x ungleich Null, und f(0)=0.....



Auch die ist nicht diff'bar in 0...


Doch.
mid12 Auf diesen Beitrag antworten »

warum ein gerücht? x^2sin(1/x) erfüllt doch gerade dies.....der grenzwert gegen null von der ABLEITUNG existiert nicht, ABER f ist in Null diffbar!!

bei der partiellen ableitung nehme ich die ausgangsfunktion.....wieso verrechnet?

Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Zitat:
Original von kvnb
Zitat:
Original von mid12
dies FUnktion betrachtet ja auch keiner....sondern

für x ungleich Null, und f(0)=0.....



Auch die ist nicht diff'bar in 0...


Doch.


Beweis?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »



Geht für gegen 0. smile
mid12 Auf diesen Beitrag antworten »

warum ein gerücht? x^2sin(1/x) erfüllt doch gerade dies.....der grenzwert gegen null von der ABLEITUNG existiert nicht, ABER f ist in Null diffbar!!

bei der partiellen ableitung nehme ich die ausgangsfunktion.....wieso verrechnet?





warum in Null nicht diffbar?



einfach alles einsetzen dann bleibt und das geht gegen Null für h gegen Null, da sinus beschränkt ist und h gegen null geht!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mid12
x^2sin(1/x) erfüllt doch gerade dies.....der grenzwert gegen null von der ABLEITUNG existiert nicht, ABER f ist in Null diffbar!!


Ja, das stimmt. Man muss bei solchen kruden Funktionen den kritischen Wert immer per Hand untersuchen.
mid12 Auf diesen Beitrag antworten »

danke Augenzwinkern ....und die partielle hab ich doch richtig gerechnet oder wo ist was falsch?
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Zitat:
Original von mid12
x^2sin(1/x) erfüllt doch gerade dies.....der grenzwert gegen null von der ABLEITUNG existiert nicht, ABER f ist in Null diffbar!!


Ja, das stimmt. Man muss bei solchen kruden Funktionen den kritischen Wert immer per Hand untersuchen.


Das gilt für seine Funktion, ja. Wenn die Funktion nicht überall gleich ist. Aber das stand ja garnicht zur Debatte, sondern die Funktion .

edit: Und bei solch einer Funktion kann ich durchaus sagen, dass, wenn die Ableitung in (0,0) nicht existiert, die Funktion nicht diff'bar in (0,0) ist. Und das diskutieren wir hier.
mid12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die neue Funktion war ja nur ein Beispiel, dass man so wie anfangs NICHT argumentieren kann!!! Einfach "allg. " partielle ableitung hinschreiben, DANN est gehen den zu untersuchenden Punkt gehen und wenn das nicht klappt (der grenzwert nicht existiert), dann den schluss zieheh, f ist in diesem Punkt nicht diffbar!!

meine rechung hat ja gezeigt, dass die partiellen ableitungen in (0,0) existierten, es ist

......
das beispielt soll einfach zeigen, dass die partiellen ableitungen in diesem punkt existieren, aber f trotzdem nicht (total) differenzierbar ist!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

@ kvnb: In eure Diskussion hab ich mich auch nicht einmischen wollen, da war ja alles richtig.

Und an mid: Die Frage nach der Existenz der Ableitung wurde hier ja auch direkt geklärt. Insofern hast du mit deinem Beispiel schon recht, aber das hilft hier nicht besonders.
mid12 Auf diesen Beitrag antworten »

wo denn???
mid12 Auf diesen Beitrag antworten »

er berchnet nur die partielle Ableitung nach x und will dann gegen null gehen, was nicht klappt und draus kann man nicht schließen dass nicht diffbar ist...
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mid12
er berchnet nur die partielle Ableitung nach x und will dann gegen null gehen, was nicht klappt und draus kann man nicht schließen dass nicht diffbar ist...


Edit: Hmm ... muss noch mal kurz überlegen ..
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