Einfacher Weg zur Berechnung Minimalpolynom

18.08.2010, 12:19

pablosen

Einfacher Weg zur Berechnung Minimalpolynom

Hallo liebes Forum

Zur Berechnung des Minimalpolynoms bin ich bisher immer so vorgegangen:

- charakteristisches Polynom berechnen
- dann Versuche

Zuerst den kleinsten Teiler des char. Polynoms überprüfen, ob dieser die Nullmatrix ergibt. Dann das Ganze mal $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und dann nochmals überprüfen, usw...

Das ist aber ziemlich mühsam, vor allem, wenn man das an der Prüfung so machen will.

Gibt es einen schnelleren Weg, dies zu überprüfen, wenn man so vorgeht?

Grüsse&Danke
Pablo

18.08.2010, 12:33

Iorek

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Ich verweise da mal auf: Minimalpolynom berechnen

Die Frage ist natürlich, ob ihr den Algorithmus in der Vorlesung hattet und ihn benutzen dürft.

18.08.2010, 14:13

gonnabphd

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Nur so am Rande könnte folgendes nützlich sein:

Für jede diagonalisierbare (insbesondere symmetrische) Matrix besteht das Minimalpolynom genau aus den Linearfaktoren des charakteristischen Polynoms.

Gruss. Wink

18.08.2010, 17:04

pablosen

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Ein Beispiel:

Das char. Polynom der Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei mal $\begin{eqnarray*} \chi (A) = x^3-x^2 \end{eqnarray*}$

Einfache Frage hier:

Gibt es einen schnelleren Weg, herauszufinden, ob
$\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x^2-x \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} x^3-x^2 \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix ergibt , als

in alle Gleichungen die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einzusetzen und mühsam von Hand auszurechnen?

Danke&Grüsse
Pablo

18.08.2010, 17:05

Iorek

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Zerleg das charakteristische in Linearfaktoren, dadurch wird das stark vereinfacht.

18.08.2010, 18:31

pablosen

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Zitat:

Original von Iorek
Zerleg das charakteristische in Linearfaktoren, dadurch wird das stark vereinfacht.

okay, in diesem Beispiel also:

$\begin{eqnarray*} x^2*(x-1) \end{eqnarray*}$

und was muss ich jetzt tun?

18.08.2010, 18:37

Iorek

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Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten für das Minimalpolynom, was jetzt also durchaus leicht zu überprüfen ist.

18.08.2010, 18:45

pablosen

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Zitat:

Original von Iorek
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten für das Minimalpolynom, was jetzt also durchaus leicht zu überprüfen ist.

Warum ist diese Behauptung falsch?:

Das sind aber bereits 3 Möglichkeiten:

1) $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist Minimalpolynom
2) $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ ist Minimalpolynom
3) $\begin{eqnarray*} x^2-x \end{eqnarray*}$ ist Minimalpolynom

...... ???

18.08.2010, 18:52

Iorek

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Zitat:

Original von pablosen
Warum ist diese Behauptung falsch?:

Ich muss dir nicht helfen, wenn du nicht willst, solche Kommentare mag ich aber gar nicht gern. Mit der Faktorisierung gibt es nur 2 Möglichkeiten, das würdest du auch wissen, wenn du dich mit dem Minimalpolynom beschäftigt hättest. Ich werfe mal den Satz von Cayley-Hamilton in den Raum woraus auch sofort folgt, dass $\begin{eqnarray*} \mu_A(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ nicht! das Minimalpolynom sein kann.

18.08.2010, 18:59

pablosen

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von pablosen
Warum ist diese Behauptung falsch?:

Ja, stimmt, habs jetzt gerade selbst noch erkannt, das muss ja so sein.

Ich muss mir angewöhnen, weniger schnell zu antworten... aber der Kommentar naja... war halt unklar. Du meinst die Formulierungsart, oder?

18.08.2010, 19:12

Iorek

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Ich meine, eine wahre Aussage kategorisch als falsch anzuprangern.

18.08.2010, 19:22

pablosen

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Zitat:

Original von Iorek
Ich meine, eine wahre Aussage kategorisch als falsch anzuprangern.

Okay, Entschuldigung.

18.08.2010, 19:27

Iorek