Vektor Zerlegung

05.11.2006, 22:09

beachboy

Vektor Zerlegung

Hallo mal wieder,

ich muss den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in zwei Komponenten zerlegen, von denen die eine senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die andere parallel zu $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

wie gehe ich denn sowas an? senkrecht ok skalarprodukt muss null sein und parallel die vektoren müssen ein vielfaches von einander sein?! aber irgendwie weiß ich nicht wie ich das angehn muss

lg
beach

05.11.2006, 22:15

mYthos

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Hi!

Ich könnte mir folgenden Ansatz vorstellen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ senkrechter Vektor ist.

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Einen der n-Parameter kann man wählen, wonach dann 4 Gleichungen nach den restlichen 4 Variablen aufzulösen sind.

mY+

06.11.2006, 15:23

beachboy

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

davon kann ich einen n-Parameter beliebig bestimmen?

also z.B. $\begin{eqnarray*} n_1 = 0 \end{eqnarray*}$ so: (ich nehm jetzt statt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ s ; t, weil die leichter zu schreiben sind.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann hätte ich ja:

$\begin{eqnarray*} 1=s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=s+t\cdot n_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=2s+t\cdot n_3 \end{eqnarray*}$

irgendwie komme ich auch nur auf --> 3 Gleichungen ... wie kommst du denn auf 4?

UPDATE ***********++

ok vierte gleichung bekomme ich ausn :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 2n1+n2+2n3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2=s+t\cdot n_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3=2s+t\cdot n_3 \end{eqnarray*}$

doch die gleichung bekomm ich irgendwie aucgh nich raus unglücklich

lg
bneach

06.11.2006, 17:26

Poff

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Mit

u: = (v x b) x a

erhälst einen geeigneten zu a senkrechten Vektor für deine Belange.

Dann musst noch v = r*b + s*u lösen und du hast deine Zerlegung

06.11.2006, 17:41

beachboy

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meinst du jetzt

$\begin{eqnarray*} u: =(v x b)\cdot a \end{eqnarray*}$ oder alles mal ? oder alles kreuzprodukt verwirrt

06.11.2006, 17:47

Poff

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Denk mal nach,

anderes als 2 mal das Kreuzprodukt ist überhaupt nicht möglich,
warum wohl ... ?

06.11.2006, 18:10

beachboy

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das frag ich mich grade auch, ich suche ja einen vektor der einmal senkrecht zu a ist und einmal parallel zu b.

deshalb warum dann kreuzprodukt mit b? vielleicht weil ich da dann einen vektor bekomme , aus dem ich dann durch kreuzprodukt mit a einen vektor bekomme der senkr. zu a ist ??? aber warum bekomme ich dadurch einen der senkrecht ist ???

nun gut ich rechne mal:

$\begin{eqnarray*} \vec{v} \times \vec{b} = 9 \end{eqnarray*}$

muss ich jetz $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \vec{a} =18 \end{eqnarray*}$

`oder is das flasch?

06.11.2006, 18:22

Poff

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Du solltest mal nachschauen was ein Kreuzprodukt ist und wie es
berechnet wird.

06.11.2006, 18:28

beachboy

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hups sorry habs grade mit skalarprodukt verwechselt, ach du liebe zeit... Big Laugh

hab nun raus u= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine frage, worin besteht der zusammenhang mit dem b vektor? warum kann ich nicht einfach einen beliebigen vektor nehmen, der senkr. zu vektor a ist???

06.11.2006, 18:36

riwe

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nur eine frage:
was paßt dir denn an dem ansatz von mythos nicht?
du darfst natürlich nicht von vorhinein eine komponente = 0 setzen.
aber wenn du z.b. n2 = 4 wählst, kommst du problemlos
(mehrfache vektorprodukte sind wahrscheinlich nicht deine lieblingsspielzeuge Big Laugh

) auf:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} =\frac{10}{7}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} +\frac{1}{7}\begin{pmatrix} -3 \\ 4\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
werner

06.11.2006, 18:38

beachboy

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asoo ich hab eine null gesetzt Hammer

wieso darf ich das nicht?

mir gefällt die variante auch besser vor allem kann ich sie nachvollziehen...

aber jetzt ist meine neugierde geweckt un ich will beide wege wissen Augenzwinkern

06.11.2006, 18:43

Poff

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Zitat:

Original von beachboy
eine frage, worin besteht der zusammenhang mit dem b vektor? warum kann ich nicht einfach einen beliebigen vektor nehmen, der senkr. zu vektor a ist???

Der gesuchte zu a senkrechte Vektor muss in der Ebene <v, b>
liegen und genau das wird durch die Kreuzproduktbildung erreicht.

06.11.2006, 18:45

riwe

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also ich denke, dass man mit der variante von poff genau dieses problem umschifft, also mir wiederum gefällt sie deshalb besser, aber der weg von mythos ist wahrscheinlich einfacher, eben mit der "gefahr der null". unglücklich

da du die anderen komponenten durch die eine frei gewählte (mit) ausdrückst, kannst du diese eben nicht ad hoc = 0 setzen....es drohen die gräuel einer divison (oder multiplikation) mit null Big Laugh

(natürlich könnte die gewählte komponente tatsächlich = 0 sein, dann müßtest du eine andere frei wählen, und darum siehe oben! aber ich habe keine probleme - oder nur geringfügige mit dem exprodukt - hätte fast geschrieben sexprodukt unglücklich

)
werner

06.11.2006, 19:00

beachboy

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@wernerrin

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \ t \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ 4 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 2n_1+4+2n_3=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 2n_1 +4+2n_3 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s+t \cdot n_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s+4t=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2s+t \cdot n_3=3 \end{eqnarray*}$

stimmt das so ? bevor ich mich wieder tod rechne

06.11.2006, 19:06

riwe

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Zitat:

Original von beachboy
@wernerrin

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \ s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \ t \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ 4 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 2n_1+4+2n_3=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 2n_1 +4+2n_3 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s+t \cdot n_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s+4t=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2s+s \cdot n_3=2 \end{eqnarray*}$

stimmt das so ? bevor ich mich wieder tod rechne

die letzte gleichung verstehe ich nicht, das davor ist ok.
werner

06.11.2006, 19:26

beachboy

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jetzt ok?

wie rechne ich denn am besten mit diesen $\begin{eqnarray*} s \cdot n_1 \end{eqnarray*}$ wie bwekomme ich die weg unglücklich

06.11.2006, 19:37

mYthos

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Zitat:

...
$\begin{eqnarray*} 2s+s \cdot n_3=2 \end{eqnarray*}$
...

Die letzte Gleichung muss

$\begin{eqnarray*} 2s+t \cdot n_3=2 \end{eqnarray*}$

lauten! War wohl nur 'n Schreibfehler.

Die Lösung von Poff finde ich auch sehr elegant:

v x b steht zunächst mal senkrecht zur Ebene (v,b). Der mittels (v x b) x a gebildete Vektor muss einerseits normal zu a und andererseits IN der Ebene (v, b) liegen, weil er ja seinerseits normal zu (v x b) ist.

--> Vektorielle Multiplikation erzeugt immer wieder einen Vektor, der zu den beiden vorhergehenden senkrecht steht.

mY+

06.11.2006, 19:41

beachboy

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ja danke habs schon korrigiert, mittlerweile hänge ich aber dran diese 4gleichungen aufzulösen unglücklich

wie bekomme ich diese doofen s*n_1 etc. weg unglücklich

06.11.2006, 19:47

riwe

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deine gleichungen sind jetzt ok
(III) $\begin{eqnarray*} 2s + tn_3=3 \end{eqnarray*}$
bilde (I) - (II) und 2(II) - (III) und drücke nun $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ aus.
dann solltest du endlich $\begin{eqnarray*} n_1 = -3 \end{eqnarray*}$ erhalten, der rest ist dann wohl klar verwirrt

werner

06.11.2006, 19:51

mYthos

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2n1 + 4 + 2n3 = 0 ->

n1 + n3 = -2
und die beiden
t n1 = 1 - s
t n3 = 2 - 2s
-----------------------
n1, n3 eliminieren

-t n1 - t n3 = 2t
t n1 = 1 - s
-----------------------
-t n3 = 1 - s + 2t
t n3 = 2 - 2s
-----------------------
addieren, -> Gleichung nur in s,t, die andere ist s + 4t = 2
-> s, t, in der Folge dann n1, n3

[ausnahmsweise mal auf LaTex verzichtet]

@werner .. viele Wege führen nach Rom Augenzwinkern

mY+

06.11.2006, 20:17

beachboy

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wernerrins weg konnte ich nicht ganz nachvollziehen, aber bin jetzt aufs richtige ergebnis gekommen gottseidank endlich... Big Laugh

ich danke euch vielmals !! Mit Zunge

eine frage nochmal am schluss, warum muss ich vor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n1 \\ n2 \\ n3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auch eine variable einfügen? reicht es da nicht wenn ich addiere? beim parallel ist es mir klarer, da brauch ich ja die variable um auf ein vielfaches von v zu kommen

06.11.2006, 20:32

mYthos

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.. Viefaches von v? Du meinst b ..

v muss das Ergebnis einer Linearkombination von n und b sein, daher muss vor beiden Vektoren (n, b) ein Faktor stehen, vor dem Vektor v aber nicht.

Hast du den anderen Weg jetzt auch (grundsätzlich) verstanden? Mir gefällt der auch.

mY+

06.11.2006, 20:41

beachboy

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was ist denn eine linearkombination? und warum deshalb eine variable davor nötig ist verstehe ich auch nicht?!

und warum muss der gesuchste zu a senkr. vektor in der ebene v,b liegen?

06.11.2006, 21:41

Poff

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und warum muss der gesuchste zu a senkr. vektor in der ebene v,b liegen?

Anschaulich:
v und die anteilige b-Komponente der Zerlegung (also auch b selbst)
definieren für sich eine Ebene. Würde der 2. Komponentenvektor
nun nicht in diese Ebene 'passen' dann könnte er den Endpunkt
der 1.Komponente nicht mit dem Endpunkt von v verbinden, weil
er 'seitlich' dran vorbeizielen müsste.

06.11.2006, 22:19

mYthos

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Eine Linearkombination von Vektoren ist ganz allgemein ein Vektor, der das Ergebnis einer Summe von mit einem Skalar (= beliebige reelle Zahl) multiplizierten beliebig vielen Einzelvektoren ist.

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} + ... + \lambda_i \cdot \vec{a_i} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe bestand ja darin, einen Vektor in zwei Komponenten zu zerlegen. Komponenten sind im Allgemeinen Vektoren, deren Linearkombination wiederum diesen Vektor ergibt. Für diese Komponenten gelten eben die in der Aufgabenstellung beschriebenen Bedingungen (Richtungen $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ ).

Daher sind in:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die beiden rechten Summanden bereits die Komponenten in der Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ . Da diese Vektoren noch nicht die zur Summation erforderliche Länge haben, müssen sie eben noch mit den entsprechenden Skalaren multipliziert werden.

mY+

17.01.2007, 10:07

MarkusEL

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Eine analoge Aufgabe:

Zerlege den Vektor $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in eine Parallelkomponente $\begin{eqnarray*} b' \end{eqnarray*}$ und eine Normalkomponente $\begin{eqnarray*} b'' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...hab das mal über den Ansatz mit dem Gleichungssystem gelöst und erhalte dabei folgende 4 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} (I.) 3r + s*n1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (II.) r + 2s = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (III.) s * n3 =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (IV.) 3n1 + 2 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

...wobei ich $\begin{eqnarray*} n2 = 2 \end{eqnarray*}$ gesetzt habe!

Als zu a senkrechten Vektor erhalte ich nun

$\begin{eqnarray*} b''= \begin{pmatrix} -2/3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Frage, stimmt das soweit und wie komme ich jetzt auf den zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ parallelen Vektor $\begin{eqnarray*} b' \end{eqnarray*}$ ?
Über das Skalarprodukt ?

Danke im Vorraus

17.01.2007, 11:19

riwe

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ich mache das genau umgekehrt.
aus dem skalarprodukt kann man die parallele komonente ableiten zu
$\begin{eqnarray*} \vec{b}_p=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{a²}\vec{a} \end{eqnarray*}$
und damit bekommst du die senkrechte komponente zu:
$\begin{eqnarray*} \vec{b}_s=\vec{b}-\vec{b}_p \end{eqnarray*}$

damit habe ich:

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_p=\frac{7}{10} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_s=\frac{11}{10} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zur info ein bilderl dazu
werner

18.01.2007, 12:56

MarkusEL

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Wäre mein Weg, wenn auch etwas komplizierter, grundsätzlich möglich?

Und wie kommt man bei dem senkrechten Vektor auf den Faktor $\begin{eqnarray*} 11/10 \end{eqnarray*}$

18.01.2007, 14:43

riwe

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ja klar ist dein weg - oder so ein ähnlicher - auch gangbar, hast halt irgendwo einen fehler

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\4 \\0 \end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\mu\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt sofort $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{x}=0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ bekommst du

$\begin{eqnarray*} \lambda=\frac{7}{10} \end{eqnarray*}$ Freude

die $\begin{eqnarray*} \frac{11}{10} \end{eqnarray*}$ bekommst du aus der subtraktion der beiden vektoren,
bzw. hier direkt für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ (mit umgekehrte vz. wegen der richtung des vektors)

werner

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