Problem bei Lp-Räumen

18.08.2010, 16:05

Excubo

Problem bei Lp-Räumen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Gegeben sei eine L-integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f: [1,2] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie:

$\begin{eqnarray*} f \in L^p([1,0]) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \le p < 2 \end{eqnarray*}$

Mir fehlt ein bisschen der Ansatz um das zu zeigen. Mein erster Gedanke wäre über die Norm $\begin{eqnarray*} \|f\|_p \end{eqnarray*}$ zu gehen, aber da komme ich nicht weiter.

Wäre nett wenn mir jemand einen Gedankenanstoß geben könnte.

Vielen Dank und schönen Gruß,
Excubo

18.08.2010, 18:59

giles

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$\begin{eqnarray*} [1,0] = \emptyset \end{eqnarray*}$ es ist also nichts zu zeigen, da alle Integrale 0 sind.

Ich nehme mal an: es ist der Lebesgue Standardfall und du meinst $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ja?

Du hast hier einen endlichen Maßraum (sogar ein W'maß) $\begin{eqnarray*} \lambda(\Omega)=\lambda([0,1])=1<\infty \end{eqnarray*}$ .
Zeige die allgemeinere Aussage: Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, \mu) \end{eqnarray*}$ ein endlicher Maßraum also $\begin{eqnarray*} \mu(\Omega)<\infty \end{eqnarray*}$ dann gilt für $\begin{eqnarray*} p<q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L^q(\Omega) \subset L^p(\Omega) \end{eqnarray*}$

Strategie: $\begin{eqnarray*} |f|^p = |f|^p \cdot 1 \end{eqnarray*}$ und Hölder-Ungleichung mit geeigneten Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1 \end{eqnarray*}$ so dass rechts das $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ auftaucht.

19.08.2010, 02:41

gonnabphd

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Aus persönlichem Interesse und eigener Unwissenheit:

Zitat:

Gegeben sei eine L-integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f: [1,2] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie:

$\begin{eqnarray*} f \in L^p([1,0]) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \le p < 2 \end{eqnarray*}$

Wie kann eine Funktion, welche nur auf $\begin{eqnarray*} [1,2] \end{eqnarray*}$ definiert zu sein scheint, in $\begin{eqnarray*} L^p([0,1]) \end{eqnarray*}$ (bei geeigneter Auslegung der Voraussetzungen) sein? verwirrt

Das bedarf meiner Ansicht nach schon mal einer kleinen Erklärung?

19.08.2010, 11:45

Excubo

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Ja, natürlich.

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann gebe ich noch eine Beispielfunktion an. Vielleicht ist das dann leichter erklärbar.
Sei $\begin{eqnarray*} f=sin(x)^6 \end{eqnarray*}$

19.08.2010, 12:17

Excubo

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Edit des letzten Beitrags:
Richtig sind: $\begin{eqnarray*} f: [1,2] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f \in L^p([1,2]) \text{ für } 1 \le p \end{eqnarray*}$ (für die Beispielfunktion).

Also ein vorsichtiger Versuch.

$\begin{eqnarray*} f=sin(x)^6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g=1 \end{eqnarray*}$

Mit der Hölder-Ungleichung gilt:

$\begin{eqnarray*} \|sin(x)^6*1\|_1 \le \|sin(x)^6\|_p * \|1\|_q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 p + \frac 1 q = 1 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} p = \frac 1{1- \frac 1q} \end{eqnarray*}$

Wie mache ich jetzt die Abschätzung für p?

19.08.2010, 12:23

giles

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Hast du meinen Beitrag überhaupt gelesen? unglücklich

19.08.2010, 12:47

Excubo

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Ich merk schon, ich verenne mich hier.
Also nochmal von vorne. Wir haben jetzt $\begin{eqnarray*} [1,2] \ne \emptyset \end{eqnarray*}$

Und jetzt bin ich mir nicht sicher, wie ich die allgemeinere Aussage zeigen soll.

19.08.2010, 13:52

giles

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Zitat:

Strategie: $\begin{eqnarray*} |f|^p = |f|^p \cdot 1 \end{eqnarray*}$ und Hölder-Ungleichung mit geeigneten Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1 \end{eqnarray*}$ so dass rechts das $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ auftaucht.

Du hast noch *nichts* davon umgesetzt. Ich schreibe dir einmal den Ansatz aus:

$\begin{eqnarray*} \int |f|^p d\mu \leq \left( \int |f|^{p \alpha} d\mu \right) ^{\frac{1}{\alpha}} \cdot \mu(\Omega)^{\frac{1}{\beta}} \end{eqnarray*}$

Wie ist jetzt $\begin{eqnarray*} \alpha>1 \end{eqnarray*}$ zu wählen dass für $\begin{eqnarray*} p<q \end{eqnarray*}$ rechts die $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ -Norm steht? (Du willst ja die Abschätzung $\begin{eqnarray*} ||f||_p \leq ||f||_q \end{eqnarray*}$ )

Die allgemeine Aussage zeigt sich genau so wie die spezielle, nur dass halt statt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ dort steht und dass $\begin{eqnarray*} [1,2] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ersetzt wird, darum sehe ich nicht ein dass man diese albern-spezielle Aussage zeigen sollte.

edit: Außerdem: Wenn es dir nur um den spezialfall für $\begin{eqnarray*} \sin^6(x) \end{eqnarray*}$ geht, dann ist es trivial, denn die Funktion ist beschränkt d.h. auch jede p-te Potenz ist beschränkt und jede beschränkte Funktion ist über einem endlichen Maßraum integrierbar

19.08.2010, 22:26

Sly

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@ giles: Jetzt verschreck ihn doch nicht so. Er ist doch eigentlich schon auf dem richtigen Weg.

Zitat:

Original von Excubo
Edit des letzten Beitrags:
Richtig sind: $\begin{eqnarray*} f: [1,2] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f \in L^p([1,2]) \text{ für } 1 \le p \end{eqnarray*}$ (für die Beispielfunktion).

Also ein vorsichtiger Versuch.

$\begin{eqnarray*} f=sin(x)^6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g=1 \end{eqnarray*}$

Mit der Hölder-Ungleichung gilt:

$\begin{eqnarray*} \|sin(x)^6*1\|_1 \le \|sin(x)^6\|_p * \|1\|_q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 p + \frac 1 q = 1 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} p = \frac 1{1- \frac 1q} \end{eqnarray*}$

Wie mache ich jetzt die Abschätzung für p?

Das ist doch genau der richtige Ansatz. Nur entferne dich jetzt vom Beispiel und ersetze überall diese Sinusfunktion durch ein f. Dann Überlege dir mal, was die q-Norm von der 1 ist...

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