Skalarprodukt beweisen

18.08.2010, 18:22	apollon	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt beweisen Guten Tag, ich habe Schwierigkeiten zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \langle A,B \rangle = Spur(A^{T} B), A,B \in \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray}$ ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray}$ ist. Es gilt: $\begin{eqnarray} Spur(A) := \sum\limits_{i=1}^n a_{i,i} = a_{1,1}+a_{2,2}+...+a_{n,n} \end{eqnarray}$ Bisher habe ich gezeigt, dass für $\begin{eqnarray} A,B,C \in \mathbb R^{n,n}, \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ 1) $\begin{eqnarray} \langle A,B \rangle = \langle B,A \rangle \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \langle A, B+C \rangle = \langle A,B \rangle + \langle A,C \rangle \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} \langle A, \lambda B \rangle = \lambda \langle A,B \rangle \end{eqnarray}$ gilt. Zu zeigen, dass auch 4) $\begin{eqnarray} \langle A,A \rangle \geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \langle A,A \rangle \Leftrightarrow A = \vec{0} \end{eqnarray}$ gilt, bereitet mir Schwierigkeiten. Was ich bisher zu 4) habe: $\begin{eqnarray} \langle A,A \rangle = \langle [a_{i,j}],[a_{i,j}] \rangle = Spur([a_{j,i}][a_{i,j}]) = Spur(\sum\limits_{i=1}^n (a_{j,i}a_{i,j})) = \sum\limits_{j=1}^n (\sum\limits_{i=1}^n (a_{j,i}a_{i,j})) \end{eqnarray}$ Wie kann ich jetzt aber zeigen, dass diese Summe stets größer oder gleich 0 ist? Freue mich über jede Antwort. Danke im Voraus. Gruß
18.08.2010, 18:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast bei <A,A> hast du einen Fehler, als du es in die Matrixmultiplikation einsetzt. Momentan steht da du multiplizerst eine Matrix, die Einträge einer Zeile aufaddierst.
18.08.2010, 18:47	apollon	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort, aber sie hilft mir nicht weiter. Ich sehe den Fehler nicht.
18.08.2010, 18:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachten wir mal den i,j-ten Eintrag von AA^T. $\begin{eqnarray} c_{i,j} = \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} \cdot (a_{k,j})^T \end{eqnarray*}$ Das wäre die allgemeine Definition dafür. Nun, welche Einträge interessiert die Spur nur, und was macht das Transponieren der zweiten Matrix?
18.08.2010, 19:03	apollon	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Spur brauchen wir die Einträge auf der Diagonalen von AA^T. Das Transponieren vertauscht die Indizes. Ich muss zugeben, dass mir es mir noch ziemlich schwer fällt mich in die Indizes "hineinzudenken". Ich verstehen bei der Definition zum Beispiel nicht, wieso $\begin{eqnarray} (a_{k,j})^T \end{eqnarray*}$ . A soll quadratisch sein. Müssten dann nicht die Indizes von A und A^T nur vertauscht sein? Ich glaube, dass ist das, was du davor geschrieben hast. Ich sehe aber nicht, das dort die Einträge der Zeilen aufaddiert werden.
18.08.2010, 19:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, und Diagonaleinträge haben ein "schönes Verhältnis" von i und j Die ganzallgemeine Definition für quadratische Matrizen $\begin{eqnarray} c_{i,j} = \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} \cdot b_{k,j} \end{eqnarray}$ Nun setzt du da erstmal ein. Im Gegensatz zu eben wäre A * A (ohne Transponieren): $\begin{eqnarray} c_{i,j} = \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} \cdot a_{k,j} \end{eqnarray}$ Was ich im ersten Post meinte: Denk dir einfach mal eine 3x3 Matrix für A aus und benutz die Definitionen und schau was es anschaulich bedeutet. Du kannst es dann auch mal mit AA^T probieren, dann wirst du auch sehen worin der Witz liegt, das Skalarprodukt so zu definieren. [<A,B> = Spur(AB) hingen wäre übrigens kein Skalarprodukt].
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18.08.2010, 19:32	apollon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank. Ich werde mir das ganze jetzt erstmal an einem Beispiel klarmachen und dann später nochmal meine Fortschritte posten. Bis dann und Gruß

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