Funktionenschar

18.08.2010, 22:29

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

Funktionenschar

Meine Frage:
Hallo Leute,
hab hier ne Mörder Analysis Aufgabe, bei der ich absolut auf keinen grünen Zweig komme. Bitte dringend um Hilfe!!
Dachte eigentlich wir wären endlich durch mit dem Thema und jetzt bekommen wir direkt zum Schulanfang sowas als Hausaufgabe, welche benotet wird zum "Abschluss".

6. Gegeben sind die Funktionen fa durch fa(x) = -x * ln(ax²); a element R+.

a)
Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich dfa an. Zeigen Sie, dass die Funktionen fa ungerade sind. Untersuchen sie auf Asymptoten, Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion, auf deren Graph alle Extrempunkte der Schaubilder Ga liegen.
Zeigen Sie, dass die Schaubilder Ga keine gemeinsamen Punkte besitzen.
Zeichnen Sie für a = 0,1.
b)
Es gibt genau eine Gerade y = c (c element R+), die mit G0,1 genau zwei Punkte P1 und P2 gemeinsam hat. Ermitteln Sie die Länge der Strecke P1P2.
c)
Es sei ta die Tangente an Ga im Punkt N (xn / 0), wobei xn > 0. Darüber hinaus sei ga die Gerade durch den Ursprung und den Hochpunkt von Ga.
Durch die x-Achse, die Tangente ta und die gerade ga wird für jedes a element R+ ein Dreieck begrenzt. Weisen Sie nach, dass alle so gebildeten Dreiecke zueinander ähnlich sind.

Weiterhin sind die Funktionen ht gegeben durch ht(x) = 2x/x²+t² ; t element R \{0}.
d)
Durch die Graphen der Funktionen f0,1 , h2 und die Geraden x= 1 und x= 2 wird eine Fläche begrenzt. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.
e)
Die Punkte O(0 / 0), P(u / 0), Q(u / ht(u)) mit u>0 sind die Ecken eines Dreiecks, welches um die x-Achse rotiere. Bestimmen sie u in Abhängigkeit von t so, dass der dabei entstehende Kegel ein maximales Volumen hat. Wie groß ist dieses?

Meine Ideen:
Ich komme nicht einmal auf die Ableitund, bzw. weis nicht ob sie stimmt.
Den Rest hab ich auch absolut kein Plan.

18.08.2010, 22:53

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionenschar
Wink

Wink

welcome am matheboard,

betrachten wir erst einmal die aufgabe a).

die funktion ist $\begin{eqnarray*} f_a(x)=-x\cdot ln(ax^2) \end{eqnarray*}$ .

wie ist denn der definitionsbereich der funktion, also für welche x nimmt die funktion y-werte an bzw. für welche x nicht?

um die 1. ableitung zu bestimmen benötigen wir die produktregel und die kettenregel.

es liegt eine funktion vom typ $\begin{eqnarray*} g(x) \cdot h(u(x)) \end{eqnarray*}$ vor.

kennst du ketten- und produktregel?

18.08.2010, 23:16

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionenschar
$\begin{eqnarray*} f_a(x)=-x\cdot ln(ax^2) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich komme nicht einmal auf die Ableitund,
bzw. weis nicht ob sie stimmt.

tja.. wenn du auf die Ableitung nicht "kommst",
wie willst du dann wissen, ob sie stimmt? verwirrt

verwirrt

und wenn du doch etwas hast, dann solltest du es hier mal anbieten..
dann kann man ja weitersehen

vielleicht kannst du ja eher dies ableiten? ->

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=-x\cdot ln(a) -2x\cdot ln| x | \end{eqnarray*}$

versuchs mal..

19.08.2010, 13:09

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

sieht die Ableitung so aus?

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -ln(a)+x/a-2*ln(x)+2 \end{eqnarray*}$

Für x kann ich doch jede Zahl außer Null einsetzen oder?

19.08.2010, 13:21

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach x abgeleitet

1.
$\begin{eqnarray*} ---> ln(a) = Konstante \end{eqnarray*}$

2. Klammersetzung..

3. Vorzeichen beachten..

19.08.2010, 13:24

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das die richtige Ableitung?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-ln(ax²)-2 \end{eqnarray*}$

Stimmt der Definitionsbereich? (alle positiven Zahlen ohne Null)
Asymptoten besitzt die Funktion keine oder?
Denn die Grenzwerte sind für x gegen minus unendlich-----------unendlich
und für x gegen plus unendlich------------minus unendlich ?!

Nullstelle ist bei (0/0) oder?

Für Extrem- und Wendepunkte bräuchte ich ja die 2. und 3. Ableitung, müsste halt wissen ob die 1. stimmt und die noch vereinfacht haben.

Bei den letzten beiden Fragen der Aufgabe a hab ich dann wieder keinen Plan.

Anzeige

19.08.2010, 16:51

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=-x\cdot ln(ax^2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Danielneedshelp
Ist das die richtige Ableitung? ja

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-ln(ax²)-2 \end{eqnarray*}$

Stimmt der Definitionsbereich? (alle reellen Zahlen ohne Null)
Asymptoten besitzt die Funktion keine ja
Denn die Grenzwerte sind für x gegen minus unendlich-----------unendlich
und für x gegen plus unendlich------------minus unendlich ?!

Nullstelle ist bei (0/0) geschockt

geschockt

oder? nein - ist doch für x=0 gar nicht definiert - oder?

ach ja .. auch das fehlt noch:
"Zeigen Sie, dass die Funktionen fa ungerade sind." Wink

Wink

.

19.08.2010, 18:47

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

gibt es dann überhaupt nullstellen?
wie zeige ich das eine funktionenschar ungerade ist?

och man ich bekomm das nie fertig bis montag....

19.08.2010, 18:58

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Danielneedshelp
gibt es dann überhaupt nullstellen?
wie zeige ich das eine funktionenschar ungerade ist?

och man ich bekomm das nie fertig bis montag....

Wie ist die Def. von ungerade Funktionen?

Tipp:

mit $\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray*}$

Zeige allgemein, daß es zum Widerspruch führt.. bzw. daß der Fall nicht nicht eintreten kann.

19.08.2010, 20:12

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=-x\cdot ln(ax^2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Danielneedshelp
gibt es dann überhaupt nullstellen?
wie zeige ich das eine funktionenschar ungerade ist?

klar gibt es Nullstellen (zwei)
dein f (siehe oben) hat die Form eines Produktes
.. wann hat ein Produkt den Wert 0 ?
.. der erste Faktor x darf hier aber nicht 0 sein..(siehe Def)
..und wie sieht es aus mit dem zweiten Faktor?
- also?

ungerade? .. wenn für alle x aus D gilt : f(-x)=- f(x)
überprüfe doch einfach, ob das für deine Funktionen zutrifft.

ok?

19.08.2010, 23:42

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Danielneedshelp

Denn die Grenzwerte sind für x gegen minus unendlich-----------unendlich

das wurde übersehen, die funktion ist im negativen, wie richtig gesagt wurde, nicht definiert, warum wird hier der grenzwert gegen -unendlich betrachtet?

19.08.2010, 23:56

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lgrizu

.. die funktion ist im negativen nicht definiert .. geschockt

geschockt

@lgrizu

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=-x\cdot ln(ax^2) \end{eqnarray*}$

diese Funktionen sind "im negativen" sehr wohl definiert !

wieder alles klar?

20.08.2010, 10:13

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar, voll der denkfehler, hab das quadrat im ln übersehen....

sorry...

20.08.2010, 11:20

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

so dann wären die nullstellen bei 1 und minus 1 ?!

meine 2. ableitung: $\begin{eqnarray*} f''(x)=-2/x \end{eqnarray*}$

meine 3. ableitung: $\begin{eqnarray*} f'''(x)=2/x² \end{eqnarray*}$

somit hab ich keine extrem- und wendepunkte, darf ja für x nicht null einsetzen?!

20.08.2010, 11:31

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Danielneedshelp
so dann wären die nullstellen bei 1 und minus 1 ?!

wie kommst du darauf?
das stimmt nur, wenn du a=1 vorraussetzt....

Zitat:

Original von Danielneedshelp
meine 2. ableitung: $\begin{eqnarray*} f''(x)=-2/x \end{eqnarray*}$

das stimmt

Zitat:

Original von Danielneedshelp
meine 3. ableitung: $\begin{eqnarray*} f'''(x)=2/x² \end{eqnarray*}$

stimmt auch

Zitat:

Original von Danielneedshelp
somit hab ich keine extrem- und wendepunkte, darf ja für x nicht null einsetzen?!

setz mal die erste ableitung gleich 0, welche möglichen kandidaten erhälst du dann für extrema?

20.08.2010, 11:46

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

dann sind die nullstellen und die extremwerte von a abhängig nur wie drücke ich das aus oder schreib das hin?
weis es leider nicht welche das sein könnten =(
wendepunkte gibt es aber dann keine?!

20.08.2010, 12:03

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

zuerst einmal zu den nullstellen:

$\begin{eqnarray*} ln(ax^2)=0 \Rightarrow ax^2=1 \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$ .

die extremstellen kann man dann ähnlich darstellen.

und stimmt, wendestellen gibt es keine

20.08.2010, 12:12

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

sind die extremwerte dann:

$\begin{eqnarray*} sqrt(3/a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -sqrt(3/a) \end{eqnarray*}$

wie finde ich die gleichung auf der die extremwerte liegen und wie zeige ich das die keine gemeinsamen punkte haben?

20.08.2010, 12:18

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

schreib mal auf, was du gemacht hast damit wir den fehler finden können.
die ableitung ist $\begin{eqnarray*} f_a'(x)=-(ln(ax^2)+2) \end{eqnarray*}$ .

nun $\begin{eqnarray*} -(ln(ax^2)+2)=0 \end{eqnarray*}$ nach x auflösen...

20.08.2010, 12:32

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

muss doch ne -2 sein bei der ableitung?!

wie bekomm ich das ax² aus dem ln?
muss da nicht stehn:

$\begin{eqnarray*} ax²-2=1 \end{eqnarray*}$

20.08.2010, 12:37

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Danielneedshelp
muss doch ne -2 sein bei der ableitung?!

bei meinem letzten post steht ein negatives vorzeichen vor der klammer und die summe in der klammer

Zitat:

Original von lgrizu
die ableitung ist $\begin{eqnarray*} f_a'(x)=-(ln(ax^2)+2) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Danielneedshelp
wie bekomm ich das ax² aus dem ln?
muss da nicht stehn:

$\begin{eqnarray*} ax²-2=1 \end{eqnarray*}$

wenn du zuerst potenzierst dann bitte die ganze summe:

$\begin{eqnarray*} -(ln(ax^2+2)=0 \Rightarrow e^{-(ln(ax^2)+2)}=e^0=1 \end{eqnarray*}$ und nicht einen teil der summe potenzieren und den anderen nicht....

20.08.2010, 12:42

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

aber vor der 1. ableitung steht doch sowieso schon ein minus?!

also wenn ich potenzier hab ich noch da stehn :

$\begin{eqnarray*} ax²+e² \end{eqnarray*}$

würde bedeuten die extremwerte sind bei + und - :

$\begin{eqnarray*} wurzel(e²/a) \end{eqnarray*}$

20.08.2010, 12:50

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Danielneedshelp
aber vor der 1. ableitung steht doch sowieso schon ein minus?!

multiplizier mal $\begin{eqnarray*} -(ln(ax^2)+2) \end{eqnarray*}$ aus, dann erhälst du was?
genau: $\begin{eqnarray*} -ln(ax^2)-2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Danielneedshelp
also wenn ich potenzier hab ich noch da stehn :

$\begin{eqnarray*} ax²+e² \end{eqnarray*}$

geschockt

geschockt

nein, potenzier die gesamte summe (siehe auch meinen letzten post)

Zitat:

Original von Danielneedshelp
würde bedeuten die extremwerte sind bei + und - :

$\begin{eqnarray*} wurzel(e²/a) \end{eqnarray*}$

nein, wenn ich deinen (falschen) ansatz weiterrechne bekomme ich das nichteinmal:
$\begin{eqnarray*} ax^2+e^2=0 \Rightarrow ax^2=-e^2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{-e^2}{a}} \notin \mathbb R \end{eqnarray*}$

jetzt konzentrier dich mal.
wir haben:

$\begin{eqnarray*} -ln(ax^2)-2=0 \end{eqnarray*}$ , jetzt addiere beide seiten der gleichung erst einmal mit 2, was erhälst du dann?
dann beide seiten mit (-1) multiplizieren und dann potenzieren und nach x auflösen.

20.08.2010, 12:58

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

sooooo, hoffe mal das stimmt:

$\begin{eqnarray*} x²=-e^-2/a \end{eqnarray*}$

aber wurzel ziehen geht nicht oder? darf ja nichts negatives in der wurzel stehn

20.08.2010, 13:05

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

wo hast du das negative vorzeichen her?
also:
$\begin{eqnarray*} -ln(ax^2)-2=0 \Rightarrow -ln(ax^2)=2 \Rightarrow ln(ax^2)=-2 \Rightarrow <br /> e^{ln(ax^2)}=e^{-2} \Rightarrow ax^2=e^{-2} \Rightarrow x^2=\frac{e^{-2}}{a} \end{eqnarray*}$
und nun kann man die wurzel ziehen.

20.08.2010, 13:07

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

och man bin ich blöd echt!!

so jetzt gehts weiter mit den letzten beiden fragen wo ich überhaupt nicht weis was ich machen muss.

20.08.2010, 13:10

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

hast du schon gezeigt, dass die funktion ungerade ist und warum die definitionslücke hebbar ist?
das machen wir zuerst, dann zum weiteren teil.

20.08.2010, 13:15

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich denn zeigen das die definitionslücke behebbar ist?

die funktion ist ungerade hab einfach die formel benutzt f(-x)=-f(x)

$\begin{eqnarray*} f(-x)=-(-x)*ln(a(-x)²)=x*ln(ax²)=-f(x) \end{eqnarray*}$

20.08.2010, 13:24

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Danielneedshelp
muss ich denn zeigen das die definitionslücke behebbar ist?

solltest du, ist die lücke nicht hebbar, also die funktion an ihrer definitionslücke nicht stetig fortsetzbar, so könnte dort eine asymptotet vorliegen.

Zitat:

Original von Danielneedshelp
die funktion ist ungerade hab einfach die formel benutzt f(-x)=-f(x)

$\begin{eqnarray*} f(-x)=-(-x)*ln(a(-x)²)=x*ln(ax²)=-f(x) \end{eqnarray*}$

ist richtig.

nun zu der funktion, auf der die extrema liegen:
du hast die extrema in abhängigkeit von a errechnet.
wir haben $\begin{eqnarray*} x=\pm\sqrt{\frac{1}{e^2a}}=\pm \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$ .

wie könnte die funktion aussehen, auf der die extrema liegen?

20.08.2010, 13:29

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

könnte das ne gerade sein?
aber wie sieht die aus?

20.08.2010, 13:30

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

neee, ne gerade wohl eher nicht.

wir haben die extrema x, x=f(a) sollte helfen.

edit: muß gleich los, schaue heut abend noch mal rein, vielleicht hilft ja wer anderes weiter

20.08.2010, 13:33

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

also ist meine kurve der x-wert des extremwertes in abhängigkeit von a?
vielen dank schon mal für die hilfe, auch wenns noch bisschen arbeit ist^^

20.08.2010, 14:24

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

mein chef hat mich wieder nach hause geschickt böse

böse

also weiter im text, was uns jetzt zu aufg. 1 noch fehlt ist zu zeigen, dass es keine gemeinsamen punkte gibt.

betrachte hier zwei funktionen der schar, also $\begin{eqnarray*} -x \cdot ln(ax^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x \cdot ln(bx^2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ und bestimme die schnittpunkte.

20.08.2010, 14:27

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie lautet jetzt die gleichung der extremwerte?
bzw. wie komm ich genau da drauf?
is mir nämlich noch nicht ganz klar!

und die beiden gleichungen setze ich jetzt gleich und lös die nach x auf um die schnittpunkte zu bestimmen oder?

20.08.2010, 14:32

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

zu den extremwerten:

wir haben:
$\begin{eqnarray*} x=\pm \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}}=f(a) \end{eqnarray*}$ .
und auf dieser funktion f(a) liegen alle extrema.
man kann sie auch als f(x) schreiben und das a durch x ersetzen.

zu den schnittpunkten:
richtig, gleichsetzen, die vorraussetzung $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ ist jedoch recht wichtig.

20.08.2010, 14:37

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

also das kann ich dann auch einfach als gleichung der extremwerte als antwort hinschreiben, auch mit dem + und - vorne dran?

so wenn ich die beiden gleichungen gleichsetze steht irgendwann:

$\begin{eqnarray*} ax²=bx² \end{eqnarray*}$

kann man ja nach x nicht mehr auflösen, d.h. keine schnittpunkte?!

20.08.2010, 14:45

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst auch schreiben, dass sich alle maxima auf der funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{e}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ befinden und alle minima auf der funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{e}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ .

du hast $\begin{eqnarray*} ax^2=bx^2 \end{eqnarray*}$ , division durch x^2 führt zu a=b, es war aber nach vorraussetzung $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ , also wiederspruch.
durch x^2 darf man dividieren, da x=0 außerhalb des definitionsbereichs liegt.

edit: die aufgabe a) wäre damit erledigt, noch fragen?

wenn nicht dann machen wir bei b) weiter.....

20.08.2010, 14:48

Danielneedshelp

Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab ich alles geschnallt =).
so teil a haben wir geschafft, jetzt geht es weiter zum teil b.

ich müsste wohl irgendwie die 2 punkte finden und kann dann mit 2-punktform die gerade ermitteln oder?

nur weis ich mal wieder nicht wie ich die finde.

20.08.2010, 21:41

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Danielneedshelp

nur weis ich mal wieder nicht wie ich die finde.

schau zB mal da:

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/269753,0.html?sid=

nebenbei: und wo sonst noch ?

Teufel

Teufel

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »