pentagon - phi

05.11.2006, 23:17

The Rob

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pentagon - phi

hallo,
ich habe da eine sehr kniffelige aufgabe:
zu berechnen ist das Verhältnis der Flächen des großen pentagons(rot) zum kleinen Pentagon(blau).

das verhältnis der seitenlängen $\begin{eqnarray*} \frac{kantenlaenge rot}{kantenlaenge blau} = \phi^{2} \end{eqnarray*}$

(wgn blau und rot siehe anhang)

ich werde hier wahrscheinlich erst morgen meinen ansatz vorstellen, weil es etwas länger dauern wird ihn im latex zu schreiben, ich wollte ihn nur schon einmal heute ins netz gestellt haben, und euch schlaflose nächte beschaffen Big Laugh

Big Laugh

außerdem muss da ein fehler sein, denn da kommt eine unwahrscheinliche lösung, ich finde jedoch den fehler nicht, und mein mathelehrer, mit dem ich es gemacht habe, ebenfalss nicht LOL Hammer

LOL Hammer

bis dann

the rob

06.11.2006, 00:01

bishop

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mhm, Wikipedia gibt für die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks die Formel
$\begin{eqnarray*} A=\frac{5}{4}\cdot a^2 \cdot tan(54°) \end{eqnarray*}$ mit der Seitenlänge a. Das verhältnis zw der äußeren und der inneren Kantenlänge kennst du ja bereits, somit reduziert sich deine Frage auf die Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Fünfecks, und dazu sagt Wikipedia

Zitat:

Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge a ist das Fünffache der Fläche eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks.

Jetzt ist die Frage ob du weisst, dass die Bindungswinkel zweier Kanten zweimal 54° sind, das ergibt sich (wie wikipedia auch sagt) aus einer allgemeinen Formel, was das Ganze deutlich einfacher macht. Aber auch nur mit Hilfe der Trigonometrie. Also ist die erste Frage auf welchen Kenntnisstand wir uns beziehen müssen?

06.11.2006, 00:12

mYthos

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Damit meine Nacht nicht schlaflos wird:

Die Winkel im 5-Eck sind 108°, die in den Teildreiecken sind 36° bzw. 54°. Der Winkel an der Spitze des kleinen Dreieckes (gegenüber der kleineren 5-Eckseite) ist ebenfalls 36°, dessen Hälfte 18°.

Somit ist das Verhältnis

$\begin{eqnarray*} a_{gr~rot} : a_{kl~blau} = sin(54°) : sin(18°) \end{eqnarray*}$

Ausrechnen darfst du es bitte selber ... (Hinweis: Das Verhältnis kann auch auch in algebraischer Form angegeben werden).

Uaahh, gn8

Edit: Fertige Formeln aus Wikipedia sind zwar zur Information ganz nützlich, aber rechnen sollte man das einmal selber. Übrigens ist das Verhältnis der Flächen gleich dem Quadrat des Verhältnisses der Seiten, weil die beiden Fünfecke ähnlich sind.

mY+

06.11.2006, 00:21

bishop

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mhm @Mythos: hast du was falsch verstanden, oder stehe ich gerade auf dem Schlauch? Das Verhältnis der Kanten ist bereits bekannt und wurde als $\begin{eqnarray*} {\Phi}^2 \end{eqnarray*}$ entlarvt mit $\begin{eqnarray*} \Phi = 1,61805 \end{eqnarray*}$ alias Goldener schnitt. Das Verhältnis der Flächen ist übrigens dann $\begin{eqnarray*} {\Phi}^4 \end{eqnarray*}$ , was sich ja aus der Formel für die Fläche ergibt, aber die soll er ja nun selbst zeigen^^

06.11.2006, 11:37

mYthos

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Zitat:

Original von bishop
mhm @Mythos: hast du was falsch verstanden, ...

Sieht so aus, sorry; aber schauen wir mal, was er/sie dazu sagt ...

Gr
mY+

06.11.2006, 20:00

Mathespezialschüler

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Es ist $\begin{eqnarray*} \Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,61803 \end{eqnarray*}$ und außerdem:

$\begin{eqnarray*} \sin 54^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin 54^{\circ}}{\sin 18^{\circ}}=\Phi^2 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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06.11.2006, 23:34

The Rob

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$\begin{eqnarray*} A_G : Flaeche großes Pentagon (rot) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_K : Flaeche kleines Pentagon (blau) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_D : Flaeche Dreieck \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_S : Flaeche Dreieck (Pentagrammspitze) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_M : Flaeche Pentagramm \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_G = A_K + 5 \cdot A_D \end{eqnarray*}$
______________________________________________

$\begin{eqnarray*} A_D = \frac{1}{5} (A_G - A_K) = \frac{1}{5} (A_G - \frac{A_G}{\phi^4}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{A_S}{A_D} = \frac{1}{\phi^2} \Rightarrow A_S = A_D \cdot \frac{1}{\phi^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_S = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\phi^2} (A_G - \frac{A_G}{\phi^4}) = \frac{1}{5} (A_G \frac{1}{\phi^2} - A_G \frac{1}{\phi^6}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_M = A_K + 5 \cdot A_S = \frac{A_G}{\phi^4} + A_G \frac{1}{\phi^2} - A_G \frac{1}{\phi^6} = A_G (\frac{1}{\phi^2} + \frac{1}{\phi^4} - \frac{1}{\phi^6} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{A_G}{A_M} = \frac{1}{ \frac{1}{\phi^2} + \frac{1}{\phi^4} - \frac{1}{\phi^6}} = \frac{1}{ \frac{\phi^2 + \phi^4 - 1}{\phi^6}} = \frac{\phi^6}{\phi^2 + \phi^4 -1} \end{eqnarray*}$

EDIT: und hier muss ein fehler enthalten sein. denn laut dieser berechnung wäre das verhältnis ungefähr 2.1 es scheint mir nicht so...oder doch?!?

06.11.2006, 23:37

The Rob

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Und mir ist grade aufgefallen, dass ich euch die aufgabe falsch gestellt habe LOL Hammer

LOL Hammer

tut mir wirklich leid, ich war gestern abend erschöpft. es soll das verhältniss zw. großem Pentagon und dem Pentagramm berechnet werden.
Kleines Pentagon zu großem Pentagon ist ja trivial:
$\begin{eqnarray*} Grundseite^2 = (\phi^2)^2 = \phi^4 \end{eqnarray*}$
wie ihr es ja bereits geschrieben habt.

06.11.2006, 23:43

The Rob

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hier nochmal bildliche darstellung:
zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \frac{Flaeche rot + Flaeche blau}{Flaeche blau} \end{eqnarray*}$

06.11.2006, 23:48

The Rob

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und euch ist sicherlich aufgefallen, dass wir es versuchen ohne trigonometrie zu lösen, da es einige in unserem Kurs noch nicht hatten...

07.11.2006, 02:53

Poff

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... $\begin{eqnarray*} = {\frac {\left (\sqrt {5}+1\right ){\Phi}^{2}}{{\Phi}^{2}+5+\sqrt {5}\,(1-{\Phi}^{2})}} = \frac {1}{16}(\sqrt{5}+1)^{3} = \frac {1}{2}{\Phi^{3}} \end{eqnarray*}$

kommt mir zwar etwas viel vor, aber das bleibt jetzt mal so stehen.

07.11.2006, 17:05

The Rob

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oh, die letzte vereinfachung habe ich nicht gesehen...
vielen dank ^^

07.11.2006, 17:42

Poff

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Hast du sauber gelöst !

EDIT: und hier muss ein fehler enthalten sein. denn laut dieser berechnung wäre das verhältnis ungefähr 2.1 es scheint mir nicht so...oder doch?!?

Nein kein Fehler, ich hab das geometrisch nochmal überprüft,
das Ergebnis stimmt, auch wenn mans kaum glauben mag.

Genau in deinem Alter hab ich an dem selben Ding auch schon
'wüste' Berechnungen durchgeführt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2006, 17:45

The Rob

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dann hoffe ich mal, dass ich in die richtigen fußstapfen trete Big Laugh

Big Laugh

nochmals vielen dank

08.11.2006, 16:13

Poff

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The Rob,

das Ergebnis lässt sich nochmal vereinfachen *g*, wenngleich für
mich das Obere schöner bleibt ...

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \Phi^{3} = \Phi + \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$

16.11.2006, 00:49

The Rob

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ich habe mir eine elegante formel zur flächenberechnung eines pentagons überlegt, wobei nur die seitenlänge gegeben sei (x), ich weiss nur nicht wie ich sie vereinfachen soll, hoffe dass es möglich ist... LOL Hammer

LOL Hammer

$\begin{eqnarray*} 5 \cdot (\frac{x}{\phi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x^2 - (\frac{x}{2\phi})^2 }) + 5 \cdot (\frac{\frac{x}{\phi^2} }{\phi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(\frac{x}{\phi^2})^2 - (\frac{\frac{x}{\phi^2}}{2\phi})^2 }) + 5 \cdot (\frac{\frac{\frac{x}{\phi^2} }{\phi^2} }{\phi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(\frac{\frac{x}{\phi^2} }{\phi^2})^2 - (\frac{\frac{\frac{x}{\phi^2} }{\phi^2}}{2\phi})^2 }) \end{eqnarray*}$ ...

dieser kettenbruch sollte nun nach möglichkeit verkürzt/vereinfacht werden. ich komme nicht darauf.

mich würde das ergebnis sehr interessieren.

16.11.2006, 04:01

Poff

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Hi, gg

deine Formel ist richtig, hab jetzt nur keine Zeit um weiter darauf einzugehen, nur soviel

$\begin{eqnarray*} \frac {5}{4}\,x\left (\frac {1}{\phi} \sqrt {4\,{x}^{2}-{\frac {{x}^{2}}{{\phi}^{2}}}}\,+\,\frac {1}{\phi^{3}}\sqrt {4\,{\frac {{x}^{2}}{{\phi}^{4}}}-{\frac {{x}^{2}}{{\phi}^{6}}}}\, +\,\frac {1}{\phi^{5}}\sqrt {4\,{\frac {{x}^{2}}{{\phi}^{8}}}-{\frac {{x}^{2}}{{\phi}^{10}}}}\, +\, ...\right ) \end{eqnarray*}$

und das lässt sich weiter vereinfachen, x rausziehen usw.

19.11.2006, 15:02

The Rob

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ist es denn möglich, diesen term so umnzuformen, dass es kein kettenterm mehr ist?

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