Geradengleichung aus zwei einzelnen Gleichungen bestimmen

19.08.2010, 01:06

fischkopp

Geradengleichung aus zwei einzelnen Gleichungen bestimmen

Hallo zusammen,
ich bin mal wieder seit einer Weile auf dem Holzweg unterwegs...

Also die komplette Aufgabe lautet:
Zeichnen Sie die Ebene x=z und die Gerade x=-z+1, y=2 und errechnen Sie ihren Schnittpunkt bzw. den Winkel zwischen ihnen.

Soweit so gut, die Ebenengleichung kann man ja mit Hilfe der angegebenen Gleichung herausbekommen (korrigiert mich, fals ich falsch liege Augenzwinkern

) und ich habe die Normalenform:
$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Nur was muss ich jetzt tun um eine Gerade in irgendeiner Form zu bekommen? Wahrscheinlich sehe ich mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht...

Vielen Dank schonmal!

19.08.2010, 01:40

tobsen02

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Mhm es ist zwar schon spät und ich weiß nicht, ob ich richtig liege, aber ich hätte die Ebenengleichung erst einmal umgeformt:

$\begin{eqnarray*} x = z x + 0y - z = 0 \end{eqnarray*}$

Damit hast du ja die Ebene in Koordinatenform und kannst den Normalenvektor direkt ablesen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Dann hast du zwei Gleichungen für die Gerade, die ich untereinander schreiben würde:
$\begin{eqnarray*} x = -z + 1 y = 2 z = z \end{eqnarray*}$
Damit hast du die drei Komponenten einer Geradengleichung und kannst jetzt die Geradengleichung aufstellen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsstest du theoretisch nur noch den Normalenvektor der Ebene mit dem Richtungsvektor der Gerade in die Formel für das Skalarprodukt einsetzen und den sich ergebenden Winkel von 90° abziehen, weil du ja so den Winkel zwischen Normalenvektor und Gerade, nicht aber zwischen Ebene und Gerade berechnest.
Allerdings gebe ich keine Garantie Augenzwinkern

19.08.2010, 12:54

fischkopp

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Moin moin,
zunächst mal vielen Dank für die Antwort, aber so richtig kommt das mit der Geradengleichung nicht hin, wenn ich damit weiterrechne und mit den gegebenen Ergebnissen vergleiche...
Außerdem hat sich in der Aufgabenstellung ein kleiner Tippfehler eingeschlichen, es muss heißen:

Zitat:

Zeichnen Sie die Ebene y=z (...)

Daher habe ich auch meine Ebenengleichung zum Weiterrechnen verwendet...
Also irgendwie muss sich die Koordinantengleichung der Geraden umstellen lassen, aber leider habe ich nicht den geringsten Schimmer...
Irgendwelche Ansätze/Hinweise?

Beste Grüße

19.08.2010, 15:01

fischkopp

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So,
dank eines kleinen Geistesblitzes hat sich mir die Lösung dann doch noch erschlossen...
Im Prinzip steht die Lösung direkt dort! Als Richtungsvektor muss einer gewählt werden, bei dem die y-Komponente = 2 ist und die x-Komponente den negativen Wert der Z-Komponente -1 hat. Zwei Beispiele für entsprechende Richtungsvektoren wären:
$\begin{eqnarray*} \vec{r1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
oder eben
$\begin{eqnarray*} \vec{r2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wink

19.08.2010, 15:50

mYthos

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Da bist du schwer im Irrtum. Der Geistesblitz hat irgendwie falsch gezündet, denn der Richtungsvektor der von den beiden Ebenen x = -z + 1 und y = 2 gebildeten Geraden lautet keinesfalls so, wie von dir angegeben.

Ausserdem sollte dir klar sein, dass die gesuchte Gerade nichts anderes ist, als der Schnitt der beiden Ebenen

x = -z + 1
y = 2
-------------

Daraus ermitteln wir die Parameterform der Geraden, indem wir beispielsweise z = t setzen (t .. Parameter):

z = t
x = 1-t
y = 2
----------

Sogleich ist die Geradengleichung ersichtlich:

g:_ x:= (1;2;0) + t (-1; 0; 1)

Übrigens, wo sind der Schnittpunkt und der Schnittwinkel?

mY+

19.08.2010, 17:20

fischkopp

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Moin,
ja, also meine unten als "Richtungsvektoren" bezeichneten "Vektoren" sind eigentlich beliebige Punkte. zudem habe ich mich bei deren Werten vertan....
Aber nochmal der Reihe nach:
1.) Zwei beliebige Punkte suchen, die die Kriterien x = -z+1 und y = 2 erfüllen, ich entschied mich für P(0/2/1) und Q(-1/2/2)
2.) Aus diesen Punkten kann man sich seine Parameterform zusammenzimmern, indem man die "Punkte" als "Vektoren" nimmt:
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1-0 \\ 2-2 \\ 2-1 \end{pmatrix} \Rightarrow g: \vec{x} =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3.) Diese Gerade dann komplett in die Ebenengleichung (s.o.) einsetzen, und Lambda berechnen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \left[\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = 0 \Rightarrow \lambda =1 \end{eqnarray*}$

4.) Lambda in die Geradengleichung eingesetzt liefert uns den Schnittpunkt:
$\begin{eqnarray*} P_{s} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...und der Schnittwinkel ergibt sich aus:
$\begin{eqnarray*} \alpha =\arcsin(\frac{| \vec{n} \cdot \vec{a} |}{|\vec{n}|\cdot |\vec{a}|} ) \end{eqnarray*}$
wobei a der Richtungsvektor der Geraden ist und n der Normalenvektor der Ebene. Als Schnittwinkel ergeben sich somit:
$\begin{eqnarray*} \alpha =30° \end{eqnarray*}$

mYthos: der von dir genannte Ansatz wäre sicherlich richtig, wenn es um eine Ebene ging, die durch die beiden Gleichungen gegeben wäre - ist es aber nicht.

Fazit: Mein Geistesblitz hat wohl nur bedingt ein wenig "falsch gezündet" ;-)

19.08.2010, 18:09

mYthos

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Soweit ist alles richtig! smile

Zitat:

Original von fischkopp
...
mYthos: der von dir genannte Ansatz wäre sicherlich richtig, wenn es um eine Ebene ging, die durch die beiden Gleichungen gegeben wäre - ist es aber nicht.

Der von mir genannte Ansatz IST richtig. Denn es ist umgekehrt: Es ist eine Gerade durch zwei Ebenen gegeben. Daraus kann man - wie gezeigt - ebenfalls eine Parametergleichung der Geraden ermitteln!
Du siehst doch, dass wir beide für die Gerade (bis auf den Stützpunkt, denn da gibt es ja unendlich viele Möglichkeiten) das gleiche Resultat haben!

mY+

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