Kettenregel

19.08.2010, 14:11

Gerda

Kettenregel

Guten Tag,

ich soll mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung der Funktion f o g an der Stelle x berechnen.

Dabei sind gegeben: $\begin{eqnarray*} f(y_1,y_2)=\begin{pmatrix} y_1^2+y_2^2 \\ y_1\cdot y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} g(x)=\begin{pmatrix} \sin(x) \\ \cos(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Ich habe schon ein wenig im Internet geschmökert, habe aber kein deppensicheres Beispiel einer solchen Aufgabe0 gefunden. Könnt ihr mit bitte Hinweise sagen, damit ich auf den rechten Weg komme?

Schöne Grüße Freude

Gerda

19.08.2010, 14:21

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kettenregel kennst du?

Dann benötigst du erst mal $\begin{eqnarray*} f'(y_1, y_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x) \end{eqnarray*}$ .

Dann bildest du $\begin{eqnarray*} f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$ , fertig. smile

19.08.2010, 14:51

Gerda

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kettenregel
Okay, hier die erstmal die beiden Ableitungen. Ich habe einfach beide Funktionen komponentenweise abgeleitet.

$\begin{eqnarray*} f'(y_1,y_2)=\begin{pmatrix} 2y_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} g'(x)=\begin{pmatrix} \cos(x) \\ \-sin(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich: f'(g(x)) bilden, wobei ich mir unsicher bin und würde mich über ein paar Worte über die Vorgehensweise bei dem SChritt freuen:

Mein Ansatz: Ich setze g(x) in f'(y_1) ein:

f'(y_1,y_2)=\begin{pmatrix} 2cos(x) \\ sin(x) \end{pmatrix}

19.08.2010, 14:58

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kettenregel

Zitat:

Original von Gerda
$\begin{eqnarray*} f'(y_1,y_2)=\begin{pmatrix} 2y_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies ist nicht die Ableitung von f. Beachte, dass du jede Komponentenfunktion nach beiden Variablen ableiten musst. Auf deutsch:

$\begin{eqnarray*} f = (f_1, f_2)^T \Rightarrow f'(y_1, y_2) = \begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial y_1} & \frac{\partial f_1}{\partial y_2} \\ \frac{\partial f_2}{\partial y_1} & \frac{\partial f_2}{\partial y_2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Edit: Eventuell kennst du die Ableitung einer vektorwertigen Funktion auch als $\begin{eqnarray*} Df \end{eqnarray*}$ , kommt auf eure Notation an.

19.08.2010, 15:21

Gerda

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, danke für den Hinweis:

Ich komeme jetzt auf folgende Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2y_1 & 2y_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)=\begin{pmatrix} \cos(x) \\ \sin(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt brauch ich noch die verkettete Funktion $\begin{eqnarray*} f'(g(x)) \end{eqnarray*}$ , leider weiß ich nicht wie ich die bilden darf.

Wäre lieb, wenn du mir noch einmal helfen könntest.

lg

19.08.2010, 15:32

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gerda
Gut, danke für den Hinweis:

Ich komeme jetzt auf folgende Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2y_1 & 2y_2 \\ y_1 & y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt fast richtig. Die untere Zeile ist falsch. Für den Eintrag unten links musst du $\begin{eqnarray*} f_2(y_1,y_2) = y_1 \cdot y_2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ ableiten.
Für den Eintrag unten rechts das gleiche nach $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Gerda
$\begin{eqnarray*} g'(x)=\begin{pmatrix} \cos(x) \\ \sin(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch das ist falsch. $\begin{eqnarray*} (\cos x)' \neq \sin x \end{eqnarray*}$

19.08.2010, 15:38

Gerda

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Ableitungen von Sinus und Cosinus ist mir ja schon fast peinlich unglücklich

Ich hoffe so stimmts:

$\begin{eqnarray*} f'(y_1,y_2\begin{pmatrix} 2y_1 & 2y_2 \\ y_2 & y_1 \end{pmatrix} \text{und} g'(x)=\begin{pmatrix} \cos(x) \\- \sin(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.08.2010, 15:45

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar! Freude

So, jetzt ist es eigentlich nur noch Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.

Du brauchst dazu $\begin{eqnarray*} f'(g(x)) = f'(\sin x, \cos x) \end{eqnarray*}$

Einfach statt $\begin{eqnarray*} y_1 \text{und } y_2 \end{eqnarray*}$ Sinus und Kosinus einsetzen.

19.08.2010, 16:02

Gerda

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön! Ich hoffe es stimmt so: Gott

Ich hab jetzt einfach mal für y_1 den Sinus und für y_2 den Cosinus eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} f'(g(x))=\begin{pmatrix} 2\sin(x) & 2\cos(x) \\\cos(x) & \sin(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt das Matrix-Vektor-Produkt berechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\sin(x) & 2\cos(x) \\ \cos(x) & \sin(x) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos(x) \\- \sin(x) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ \cos(x)^2-\sin(x)^2 \end{pmatrix}=(fog)'(x) \end{eqnarray*}$

19.08.2010, 16:04

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar! Und was lernst du aus dieser Aufgabe? Lieber zuerst $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ bilden und dann ableiten.

Neue Frage »

Antworten »

Kettenregel

Verwandte Themen