Ableitung einer Integrationsfunktion

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Foomy Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Integrationsfunktion
Hallo,

ich habe ein Problem mit folgenden Typen von Aufgaben:

Gegeben ist eine Funktion:


(soll int [0,x²] heißen)

Die Frage dieser Aufgabe ist nun:

"Welchen Wert hat die zweite Ableitung dieser Funktion an der Stelle x=1?"

Mein "Plan" war, erstmal das Integral einfach auszurechnen Grenzen einsetzen, und dann vom ausgerechneten Integral zwei mal die Ableitung zu bilden, und danach für x 1 einzusetzen.
Nur irgendwie schaffe ich es nicht 1/(1+t^4) (sieht ja fast wie die Ableitung von arktan(t) aus..., aber nur fast) aufzuleiten... Habe schon die wildesten Substituionen versucht, aber irgendwie hau ich mir so immer mehr Variablen rein, als vorher da waren.
Gibt es da irgendeinen Trick, den ich nicht kenne?

Wäre für Hilfe/Tipps dankbar.

mfg, Foomy
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Stammfunktion bilden zu wollen ist hier wohl ... unschön. Tu mal vielmehr so, als würdest du eine Stammfunktion H von der Funktion unter dem Integral kennen. Wie kannst du F dann darstellen - mit dem Hauptsatz?
Foomy Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm also ich versuchs mal..
Wenn ich die Funktion F(x) so wie sie dort steht integrieren würde, bekäme ich irgendeine neue Funktion H(x). Soweit ich jetzt diesen Hauptsatz verstanden habe (wahrsch. falsch), müsste doch, wenn ich diese neue Funktion H(x) einmal ableite wieder genau das rauskommen, was bei F(x) unter dem Integral stand, nur mit x statt t.
Ist dieser Gedanke falsch?

So 100% verstehe ich deinen Hinweis auch nicht, um ehrlich zu sein...
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht um die Funtion F, die du integrieren sollst, sondern um die unter dem Integral. OK, noch einen Tipp.

Es gilt doch offenbar:



Dabei ist H die unsägliche Stammfunktion aus meinem Link, die du gar nicht zu berechnen brauchst.

Na ja, du musst jetzt nur noch die Grenzen einsetzen. Dann hast du deine Darstellung, die du schön nach x ableiten kannst (mit Kettenregel).
Foomy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Es geht nicht um die Funtion F, die du integrieren sollst, sondern um die unter dem Integral. OK, noch einen Tipp.

Es gilt doch offenbar:



Dabei ist H die unsägliche Stammfunktion aus meinem Link, die du gar nicht zu berechnen brauchst.

Na ja, du musst jetzt nur noch die Grenzen einsetzen. Dann hast du deine Darstellung, die du schön nach x ableiten kannst (mit Kettenregel).


Hmm.. also ja, ich kann dir erstmal soweit folgen, die Funktion = .
Das ist ja wiederum (oder nicht?)

Wie kann ich das wieder ableiten? Da steht ja quasi irgendeine Funktion, die nicht genau beschrieben ist, in Abhängigkeit von x² (und 0). Aber zum Ableiten brauch ich doch eine "richtige" Funktion verwirrt

(Ich hätte jetzt einfach in 1/(1+t^4) für einmal x² und einmal 0 eingesetzt, aber das kann doch nicht richtig sein?)

Ich habe das Gefühl, dass ich mich sehr dumm anstelle...
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Foomy
Hmm.. also ja, ich kann dir erstmal soweit folgen, die Funktion = .
Das ist ja wiederum (oder nicht?)


Vollkommen richtig.

Zitat:
Original von Foomy
Wie kann ich das wieder ableiten? Da steht ja quasi irgendeine Funktion, die nicht genau beschrieben ist, in Abhängigkeit von x² (und 0). Aber zum Ableiten brauch ich doch eine "richtige" Funktion verwirrt


ist irgendeine Konstante. Wenn man eine Konstante ableitet, dann ... ? Das ist also kein Problem.

leitest du mit der Kettenregel ab. Das heißt: Äußere Ableitung mal innere. Wenn du H ableitest, was bekommst du dann? Und kannst du ganz sicher ableiten.

Zitat:
Original von Foomy
Ich habe das Gefühl, dass ich mich sehr dumm anstelle...


Mach dir keine Sorgen. Das Forum ist dafür da, dass du Hilfe bekommst. smile
 
 
Foomy Auf diesen Beitrag antworten »

hmm..
Also wenn ich H(x²) mit der Kettenregel ableite, heißt das doch quasi, dass die äußere Ableitung wieder 1/(1+t^4) ist nur mit t=x², oder?
Also quasi:

?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und jetzt das ganze an der gewünschten Stelle ausrechnen, fertig. smile
Foomy Auf diesen Beitrag antworten »

Ok scheint tatsächlich mit dem (mir bereits bekannten) richtigen Ergebnis übereinzustimmen.
Danke für die geduldige Hilfe Gott , jetzt wird mir dieser "Aufgabentyp" endlich klar(er)
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