Schnittstellen und Extremwertproblem

19.08.2010, 16:02

Whitis

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Schnittstellen und Extremwertproblem

Meine Frage:
Moin moin,

hier verzweifel gerade etwas an folgender Aufgabe:

Gegeben sind die beiden Funktionenscharen f_{t} (x) = x² + t und g_{t} (x) = x²/t +t²
t>0

Bestimme t so, dass der Flächeninhalt die von den beiden Graphen eingeschlossene Fläche extremal wird. Gib Art und Wert des Extremums an.

Meine Ideen:
Dann habe ich erst einmal versucht die Schnittstellen zu berechnen, wobei ich aber kläglich gescheitert bin:

Schnittstellen der Graphen

x² + t = x²/t +t²
tx² + t² = x² + t³
tx² - x² = t³-t²

Soweit so gut, nur was jetzt?
Ich hab keinerlei Idee wie ich das jetzt nach x auflösen soll.

Und wie ich den Teil mit dem Extremum mache ist mir auch ein absolutes Rätsel.

19.08.2010, 16:18

Dorika

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Hey,

es gibt, dass
$\begin{eqnarray*} tx²-x²=x²(t-1) \end{eqnarray*}$

Dann einfach durch den Klammerausdruck divicieren, damit das x² isoliert ist.
Danach den Ausdruck recht vereinfachen und scnhließend die Wurzel ziehen, um deine Schnittpunkte zu erhalten.

Liebe Grüße

19.08.2010, 16:43

mYthos

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Bei der Division gilt:

$\begin{eqnarray*} t \neq 1 \end{eqnarray*}$

Der Fall t = 1 muss allerdings auch noch diskutiert werden.

mY+

19.08.2010, 16:56

Eierkopf

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Zitat:

Original von Dorika

$\begin{eqnarray*} tx²-x²=x²(t-1) \end{eqnarray*}$

Doch wohl eher: $\begin{eqnarray*} tx²-x²=t²(t-1) \end{eqnarray*}$

Beachte auch, dass $\begin{eqnarray*} t\neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss (aus der ersten Umformung), wenn man auf Umformungen von Whitis zurückgreift.

Gruß
Ei

19.08.2010, 19:53

Whitis

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Zitat:

Original von Eierkopf

Zitat:

Original von Dorika

$\begin{eqnarray*} tx²-x²=x²(t-1) \end{eqnarray*}$

Doch wohl eher: $\begin{eqnarray*} tx²-x²=t²(t-1) \end{eqnarray*}$

Beachte auch, dass $\begin{eqnarray*} t\neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss (aus der ersten Umformung), wenn man auf Umformungen von Whitis zurückgreift.

Gruß
Ei

Und was mache ich dann damit? Weiß damit leider auch nicht mehr anzufangen.

19.08.2010, 21:20

mYthos

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Es muss ohnehin $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten, denn sonst wäre gt(x) gar nicht definiert.
Weiters werden wir auch $\begin{eqnarray*} t \neq 1 \end{eqnarray*}$ setzen, denn sonst wären die beiden Funktionen identisch und die von ihnen eingeschlossene Fläche Null.

Also können wir die beim Gleichsetzen entstehende Gleichung mit t multiplizieren und anschließend durch (t - 1) dividieren. Welche Gleichung bleibt dann übrig und wie lauten deren beide Lösungen?

Die Lösungen sind nun die Grenzen des bestimmten Integrals der Differenz der beiden Funktionen. Dieses Integral bezeichnet die von den beiden Graphen eingeschlossene Fläche A(t) und ist eine Funktion des Parameters t. Die Fläche soll nun maximiert werden. Was machen wir daher mit der Funktion A(t)?

mY+

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19.08.2010, 22:00

Whitis

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Ja, soweit war ich auch schon.
Nur habe ich keine Ahnung was ich dann mit diesem bruch (tx²-x²)/(t-1)=t² anfangen soll.
Kürzen kann man da doch nicht und sonst weiß ich nicht was man damit machen kann.

19.08.2010, 23:06

mYthos

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Das habe ich dir doch geschrieben:

Zitat:

Original von mYthos
...
Also können wir die beim Gleichsetzen entstehende Gleichung mit t multiplizieren und anschließend durch (t - 1) dividieren.
...

Setze also die beiden gegebenen Funktionsterme gleich und verfahre so, wie beschrieben.

mY+

20.08.2010, 00:03

Whitis

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Zitat:

Original von mYthos
Das habe ich dir doch geschrieben:

Zitat:

Original von mYthos
...
Also können wir die beim Gleichsetzen entstehende Gleichung mit t multiplizieren und anschließend durch (t - 1) dividieren.
...

Setze also die beiden gegebenen Funktionsterme gleich und verfahre so, wie beschrieben.

mY+

Also dann (t²x²-tx²)/(t-1)=t³ und das dann durch (t-1) dividieren?
Tut mir Leid aber ich verstehe absolut nicht was Sie meinen.

20.08.2010, 00:10

mYthos

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Du solltest nochmals von der Angabe ausgehen.

$\begin{eqnarray*} x^2 + t = \frac{x^2} t + t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2t + t^2 = x^2 + t^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2t-x^2 = t^3-t^2 \end{eqnarray*}$

Nun links $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und rechts $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern und letzendlich dividieren ...
Oder?

mY+

20.08.2010, 00:18

tobsen02

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Vielleicht wird es so deutlicher:
1. Du setzt die Funktionen gleich und willst dann nach x auflösen.

$\begin{eqnarray*} <br /> x^{2} + t = \frac{x^{2}}{t} + t^{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung multiplizierst du mit t:

$\begin{eqnarray*} <br /> tx^{2} + t^{2} = x^{2} + t^{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Dann bringst du die Terme mit x auf eine Seite, den Rest auf die andere:

$\begin{eqnarray*} <br /> tx^{2} - x^{2} = t^{3} - t^{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} <br /> x^{2}*(t-1) = t^{3} - t^{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Durch (t-1) teilen:

$\begin{eqnarray*} <br /> x^{2} = \frac{t^{3} - t^{2}}{(t-1)}<br /> \end{eqnarray*}$

Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} <br /> x^{2} = \frac{t^{2}(t-1)}{(t-1)}<br /> \end{eqnarray*}$

Kürzen:

Edit (mY+): Teil der Lösung entfernt! Sh. Boardprinzip!

Womit du jetzt die x-Werte hast, für die sich die Funktionen schneiden. Die Schnittpunkte kannst du jetzt für's erste selbst berechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du die Umformung verstanden?

20.08.2010, 00:22

mYthos

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@tobsen02

Not amused!

Das hätte ich lieber von Whitis gesehen. Ausserdem sollst du keine Komplettlösungen angeben.

mY+

20.08.2010, 00:33

Whitis

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Zitat:

Original von mYthos
Du solltest nochmals von der Angabe ausgehen.

$\begin{eqnarray*} x^2 + t = \frac{x^2} t + t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2t + t^2 = x^2 + t^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2t-x^2 = t^3-t^2 \end{eqnarray*}$

Nun links $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und rechts $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern und letzendlich dividieren ...
Oder?

mY+

Ah! Allerherzlichsten Dank!
Jetzt macht das für mich auch Sinn.

20.08.2010, 00:37

mYthos

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Gut.

Kommst du nun auch mit dem der weiteren Behandlung der Aufgabe zurecht? Wie lauten nun die Schnittstellen und die zu maximierende Flächenfunktion in t?

mY+

20.08.2010, 00:42

Whitis

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Zitat:

Original von mYthos
Gut.

Kommst du nun auch mit dem der weiteren Behandlung der Aufgabe zurecht? Wie lauten nun die Schnittstellen und die zu maximierende Flächenfunktion in t?

mY+

Soweit ich das gerade auf meinem kleinen Schmierzettel gelöst habe nun, liegen die Schnittstellen bei t und -t.

Den Rest werde ich morgen (oder eher heute, nur nach dem Schlaf) lösen, denn ich arbeite momentan das ganze Thema Integralrechnung durch seit ende letzter Woche, und habe gerade die 100. Seite meines Rechenblocks beschrieben.
D.h. im Klartext, ich muss mir erst einen neuen Block kaufen, da der momentane schon voll mit Integralrechnung ist.

Wird aber nicht mein letzter Hilfegesuch sein, in den 100 Seiten sind noch 4, 5 Sachen bei denen ich kleine Probleme hab, aber Eile mit Weile.

20.08.2010, 01:07

mYthos

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Ok, die Schnittstellen stimmen. Den Rest werden wir dann von dir wohl noch sehen.
Gn8!

mY+

20.08.2010, 22:39

Whitis

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Ok, dann poste ich mal was ich weiter gemacht habe:

Da die beiden Funktionen achsensymmetrisch sind, habe ich das Ganze veroppelt.

$\begin{eqnarray*} A(t) = 2\times \int_0^t \! (x²+t) - (\frac{1}{t} x²+t²) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\times \left[(\frac{1}{3} x³+tx)-(\frac{1}{3t}x³+t²x)\right]_{0}^{t} \end{eqnarray*}$

Meine daraus entstandene Zielfunktion lautet:

$\begin{eqnarray*} -\frac{4}{3} t³ + \frac{4}{3} t² \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die Extremstellen bestimmt (halte ich mal kurz)

$\begin{eqnarray*} t_{1} = \frac{2}{3} <br /> <br /> t_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Dann einfach in die Hinreichende Bedingung gesetzt und herausbekommen, dass $\begin{eqnarray*} t_{1} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ mein Maximum ist.

Nun die (hoffentlich) abschließende Frage zu der Aufgabe:

Ist dieser Wert für $\begin{eqnarray*} t_{1} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ nun der gesuchte Wert für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und die Aufgabe damit in dem Bereich beendet?

Als Fläche würde ich da dann übrigens ~0,1975 herausbekommen.
Hier dann auch einmal für diesen Wert der Plotter:

Edit (mY+): Keine Links zu externen Uploadseiten, diese werden entfernt. Die Datei ist an den Beitrag anzuhängen!

[attach]15793[/attach]

20.08.2010, 22:52

tobsen02

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Jup, der Wert stimmt und die Aufgabe ist damit fertig Freude

Freude

21.08.2010, 13:04

mYthos

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@Whitis

Du kannst auch den boardeigenen Plotter einsetzen.

mY+

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