Lagrange

19.08.2010, 18:14	Lagrange	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Hallo, ich habe gerade bei einer Aufgabe Probleme: Man bestimme den Kürzesten Abstand des Punktes $\begin{eqnarray} P_0(2,2\sqrt 7,\frac 1 2) \end{eqnarray}$ vom Rotationsparaboloid $\begin{eqnarray} z=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ Mir geht es jetzt darum bei der Abstandsbildung rechnet man da mit $\begin{eqnarray} z-\frac 1 2 \end{eqnarray}$ oder mit $\begin{eqnarray} x^2+y^2-\frac 1 2 \end{eqnarray}$ oder geht beides?
19.08.2010, 18:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man rechnet mit $\begin{eqnarray} (x - 2), \ (y - 2\sqrt 7), \ (z - \frac 1 2) \end{eqnarray}$ und setzt dies für die Hauptbedingung in die bekannte Abstandsformel ein (die Summe der Differenzenquadrate muss minimal werden). mY+
19.08.2010, 19:09	Lagrange	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut so habe ich das auch gemacht. Aber wieso kann man das z nicht durch x^2+y^2 ersetzen? EDIT (mY+): Schreibfehler korrigiert, du meintest ja ... x^2 + y^2
19.08.2010, 20:34	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man schon (du meinst x^2+y^2): Es resultiert eine Zielfunktion mit nur noch 2 Variablen x und y, ohne weitere Nebenbedingung. (Dieses Vorgehen führt zwar zum Ziel, entspricht aber nicht der klassischen Lagrange-Methode.)
19.08.2010, 20:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin für 'straight forward', also die Lagrange-Methode von Anfang an klassisch abhandeln und die Nebenbedingung erst zum Schluss für die Berechnung des $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ aufzuheben: $\begin{eqnarray} L(x, y, z, \lambda) = (x-2)^2+(y-2\sqrt7)^2+(z-\frac 1 2)^2 + \lambda (x^2+y^2-z) \end{eqnarray}$ Nun die drei partiellen Ableitungen Null setzen und jeweils nach x, y und z in $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ lösen: $\begin{eqnarray} x = \frac 2 {1+\lambda} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = \frac {2\sqrt7} {1+\lambda} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = \frac {1+\lambda} 2 \end{eqnarray}$ ____________________________ Das Ganze jetzt in die Nebenbedingung eingesetzt liefert recht einfach den Multiplikator $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ (=3) mY+

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