Lineare Abbildung / Kern

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frik Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung / Kern
Hi Leute,

nun hat es mich auch erwischt und ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe.

Ich soll zeigen, dass folgende Abbildung linear ist und anschließend auch noch ihren Kern bestimmen.

[attach]15776[/attach]

Ich weiß, dass ich, um nachzuweisen, dass es sich um eine lineare Abb handelt, die Verträglichkeit der Abb. bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation nachweisen muss, doch leider komme ich bei der Aufgabe iwie nicht so richtig voran.

Würde mich über baldige Denkanstöße freuen!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

1. Das Bild ist nicht zu erkennen

2. Externe Bildhoster sind ungern gesehen, bitte lade das Bild hier im Forum hoch

3. Wie weit bist du selbst gekommen, wo genau hängst du?
 
 
frik Auf diesen Beitrag antworten »

So hoffe jetzt funktioniert es.

Hänge bereits am Anfang, mich verwirrt anscheinend die Schreibweise mit der Summe, obwohl eigentlich genau das gleiche gemacht werden muss wie sonst auch immer.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so sieht das schon besser aus.

Schreib dir die Summe mal für ein kleines n (n=2 reicht) aus, erinnert dich diese Darstellung an etwas, was noch aus der Schule bekannt ist/sein sollte?

Sei , wie sieht dann aus?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Ausgeschrieben scheint es eine Polynomfunktion zu sein.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte eigentlich, dass du die Abbildung auf ein Polynom zweiten Grades anwenden sollst.
frik Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
Jetzt bin ich vollkommen verwirrt.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Für n=2 ist und , schreib es dir einfach mal aus, was macht die Abbildung also?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Sie verschiebt das Polynom um einen Koeffizienten zieht aber den Exponenten als Faktor davor.
Somit handelt es sich um die Ableitung!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du jetzt mit dem Wissen die Linearität nachweisen? Fang mit an, das sollte nicht allzu schwer sein.
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube die skalare Multipilkation hab ich jetzt bestätigt.

Habe den Faktor Lamda in die Summe gezogen, anschließend die Funktionsvorschrift angewandt,dann befinde ich mir wieder auf R, kann also das lambda wieder vor die Summe ziehen, und habe dann wieder die Abbildungsvorschrit rückgängig gemacht.

Genau das gleiche wie sonst auch immer - nur wieso kam ich nicht direkt darauf ? ^^
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Linearität der Summe ermöglich das rausziehen.

Wie sieht es mit der Addition aus?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Die konnte ich soeben auch beweisen.

habe mir eine 2. Summe definiert in Abhängigkeit von b.
Anschließend habe ich beide Summen zusammenaddiert und die Funktionsvorschrift benutzt. Aufgrund der Linearität konnte ich dann wiederrum beide Summen seperat betrachten und dann musste ich nur noch die Abbildungsvorschrift rückgängig machen.

P.S. Dein f + g entspricht meinem a + b
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt soweit ganz richtig.

Wie würdest du den Kern der linearen Abbildung bestimmen?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kern der Abbildung ist definiert als Die Menge aller Elemente aus dem Vektorraum, für die das homogene LGS Ax = 0 erfüllt wird.
Das vorweg.
Hatten aber bisher nur ein Beispiel zum Kern, wo mit Matrizen gerechnet wurde, deswegen fällt mir das schwer.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du die zugehörige Abbildungsmatrix aufstellen? Darüber geht das sehr schnell.
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Hm das sagt mir auf Anhieb nichts :s
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ihr hattet noch keine Abbildungsmatrizen? Wie habt ihr denn sonst den Kern von linearen Abbildungen bestimmt?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Hab gerade noch eine weitere Rechnung wo wir folgendes gemacht haben.

Wir hatten eine Abbildung aus dem
T : R² -> R
[x,y] -> y-x

dann hatten wir den Kern wie folgt bestimmt

{ [x,y] € R² | T ( [x,y] ) = 0 }

anschließend haben wir auf der rechten Seite die Abbildungsvorschift benutzt und haben herausbekommen, dass y=x ist. Folglich haben wir x als s definiert und erhielten:

{ [s,s] € R² | s € R }

das war dann der Kern der Abbildung T
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ok. Wir haben ja hier den Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner/gleich n, was ist in diesem Vektorraum das Nullellement?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Naja alle Koeffizienten müssen halt 0 sein, oder versteh ich dich falsch?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, das stimmt schon, das Nullpolynom ist das Nullelement in diesem VR. Wenn du dir jetzt noch überlegst, für welche das Bild unter der Abbildung das Nullpolynom ist, hast du den Kern bestimmt.
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich doch für k=0 oder ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, k ist dein Laufindex.

Nimm dir wieder n=2 und überleg dir wie die Funktionen aussehen, wenn die Ableitung die Nullfunktion ist.
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Ableitung die Nullfunktion ist, dann muss ja a1, a2, ... , an 0 sein.

dann bleibt ja nur a0 übrig

sry dass ich gerade nicht so ganz mitkomme, ist halt alles iwie neu, hatten es in der form noch gar nicht
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, es muss gelten. Wie sieht also unser Kern aus?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Der muss ja dann auch 0 sein
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wäre er 0, wäre nur das Nullpolynom im Kern, es sind aber noch mehr Polynome im Kern enthalten.
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sind doch alle Polynome im Kern oder ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein...

Im Kern sind alle Polynom(funktionen) deren "Ableitung die Nullfunktion" ist.
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Also die ursprüngliche Summe ab k=1?

Wahrscheinlich seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr traurig

Hab ich ja am WE was nachzuholen
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch eben schon gesagt, was gelten muss, , was für Polynome sind das denn wenn das gilt?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

na nullpolynome
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein!

ist alles andere als die Nullpolynomfunktion und liegt trotzdem im Kern, wie sieht der Kern also aus?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt gelesen dass der Kern alle konstanten Polynome enthält ?! Stimmt das ? Wenn ja was ist damit gemeint ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du meinen letzten Beitrag gelesen? Da steht ein Beispiel für eine konstante Polynomfunktion, was ist dann wohl ein konstantes Polynom?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Oh... Polynome 0. Grades.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was liegt also alles im Kern und wie könnte man das jetzt aufschreiben?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Naja es handelt sich somit um reele Zahlen also könnte man den Kern(D) = a € R bezeichnen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Es handelt sich um konstante Polynome, also mit welcher Eigenschaft? Also musst du es auch so aufschreiben.
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