Steigung der Gerade bestimmen durch die Schnittpunkte S1 S2 der Parabeln mit der Länge 6,25

19.08.2010, 21:44

Thison

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Steigung der Gerade bestimmen durch die Schnittpunkte S1 S2 der Parabeln mit der Länge 6,25

Guten Abend,
ich muss mich an dieses Forum wenden wenn ich heute noch einschlafen will! Big Laugh

Big Laugh

Es geht um folgende Aufgabe in dem Lambach Schweizer Mathematikbuch der Jahrgangstufe 11 für NRW. Seite 39 Aufgabe 16:

Eine Gerade durch den Brennpunkt der Parabel y²=4x schneidet die Parabel in den Punkten S_1 und S_2.

a) Welche Steigung muss diese Gerade haben, damit die Strecke (S_1S_2), die Länge 6,25 hat?

Meine Rechnungen:

F(1;0)

y=mx+b

0=1m+b

-b=m

y=mx-m

Darüberhinaus weiß man ja:

S_1 (x1;y1) , S_2 (x2;y2)

(y2-y1)/(x2-x1)=m=(0-y1)/(1-x1)

Ich weiß aber nicht recht wie ich das verbinden soll. Mit dem Einsetzungsverfahren erziel ich kein Ergebnis.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Danke!

Gruß,
Thison

19.08.2010, 22:30

Cheftheoretiker

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Probier doch mal die Steigung mit
$\begin{eqnarray*} m=\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} \end{eqnarray*}$
zu berechnen.

19.08.2010, 22:35

Thison

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Das habe ich doch versucht.

Wie soll man aber bitte Delta y und Delta x mit jeweils nur einem y und x Wert berechnen?

(y-0)/(x-1)=m

Weiter weiß ich mit den gegebenen Werten nicht.

Gruß,
Thison

19.08.2010, 22:37

Cheftheoretiker

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Wenn die gerade abgebildet ist, such dir einfach zwei Punkte raus und setz sie einfach mal ein.

19.08.2010, 22:42

Thison

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Da ist keine Abbildung. Nur das was ich oben geschrieben habe. Es geht darum das es nur eine Gerade gibt die genau 6,25 LE lang ist, die Parbael y²=4x in zwei Punkten S_1, S_2 schneidet und durch den Brennpunkt F(1;0) geht.

19.08.2010, 22:56

corvus

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RE: Steigung der Gerade bestimmen durch die Schnittpunkte S1 S2 der Parabeln mit der Länge 6,25

Zitat:

Original von Thison
heute noch einschlafen will! Big Laugh

Big Laugh

Eine Gerade durch den Brennpunkt der Parabel y²=4x
schneidet die Parabel in den Punkten S_1 und S_2.

a) Welche Steigung muss diese Gerade haben, damit die Strecke (S_1S_2), die Länge 6,25 hat?

$\begin{eqnarray*} y^{2} = 4x<br /> \end{eqnarray*}$

nimm mal an, deine zwei Punkte seien so beschriftet, dass x2>x1 ist.

und mach dir dann eine Skizze

dein m kannst du nun so ablesen:

$\begin{eqnarray*} m= \frac{y_{2} }{\left(x_{2} -1\right) } = \frac{-y_{1} }{\left(1-x_{1} \right) } <br /> \end{eqnarray*}$

und ausserdem weisst du, dass dies gelten soll:

$\begin{eqnarray*} \left(y_{2} - y_{1}\right) ^2 + \left(x_{2} - x_{1}\right) ^2 = 6,25^2<br /> \end{eqnarray*}$

zusammen mit mit
$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{1}{4} \cdot y_{1}^2<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} = \frac{1}{4} \cdot y_{2}^2 \end{eqnarray*}$

hast du dann damit schnell nur noch 2 Gleichungen zB für y1 und y2
usw..

probiers mal..
.

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19.08.2010, 22:58

mYthos

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Der Ansatz y = mx - m ist richtig. Stelle diese Beziehung zunächst nach x um und setze dieses in die Parabelgleichung ein. Die dabei entstehende quadratische Gleichung wird nach y gelöst.

Da in der Distanzformel für die beiden Schnittpunkte S1, S2 nur die Koordinatendifferenzen in deren Quadraten vorkommen, werden wir aus diesem Grunde nur die Differenz der beiden Lösungen y1 und y2 berechnen. Dies geht leicht.

Was wir nun noch brauchen, ist die Differenz der x-Werte, x1 - x2. Zu diesen gelangen wir folgendermaßen:

Aus der Parabelgleichung:

$\begin{eqnarray*} y_1^2 = 4x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_2^2 = 4x_2 \end{eqnarray*}$ | subtrahieren
_________________

$\begin{eqnarray*} (y_1+y_2)(y_1-y_2) = 4(x_1-x_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 - x_2 = \frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)} 4 \end{eqnarray*}$

Den Ausdruck y1 + y2 berechnen wir ebenfalls aus den bereits erhaltenen Lösungen der quadratischen Gleichung für y.

Somit können wir nun beide Koordinatendifferenzen in die Distanzformel einsetzen und in der Folge m ermitteln.

Es ergeben sich zwei (symmetrische) Lösungen [ $\begin{eqnarray*} m = \pm \frac 4 3 \end{eqnarray*}$ ]

mY+

@hangman
Worauf willst du bitte hinaus?

20.08.2010, 09:48

Thison

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Guten Morgen!
Ich danke euch beiden für eure Unterstützung. Eine Lösung konnte ich jedoch noch nicht erzielen.

Corvus, hier sind meine Rechnungen:

m= y2/(0,25*y2^2-1)
$\begin{eqnarray*} m= y_2/(1/4 y_2^2-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m= y_2/(1/4 y_2^2-1) \end{eqnarray*}$
Schön und gut. Aber nach welcher Variablen sollen ich das auflösen. Den wenn ich es versuche nach y2 aufzulösen kommt folgendes dabei raus.
$\begin{eqnarray*} m-y_2/(1/4 y_2^2-1)=0 \end{eqnarray*}$
oder,
$\begin{eqnarray*} m(1/4 y_2^2-1)=y_2 \end{eqnarray*}$
Weiter weiß ich bis jetzt noch nicht. Des Weiteren wolltest du glaub ich das ich:
$\begin{eqnarray*} x_1=1/4 y_1^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1/4 y_2^2 \end{eqnarray*}$

In diese Formel einsetzte: $\begin{eqnarray*} (x_2-x_1 )+(y_2-y_1 )=39,0625=6,25² \end{eqnarray*}$
Auch hier habe ich so meine Probleme bei der Umformung.
$\begin{eqnarray*} (1/4 y_2^2-1/4 y_1^2 )+ (y_2-y_1 )=6,25² \end{eqnarray*}$
Hier wird mir deutlich dass wenn ich die oberste Formel
$\begin{eqnarray*} m=y_2/(1/4 y_2^2-1) \end{eqnarray*}$
nach y2 bzw. y1 ich nur eine Variable, nämlich m hätte. Wie das geht weiß ich nicht. Ich habs auch schon in einen Rechner auf Mathepower.de eingegeben. Auch da kann keine Lösung erzielt werden. Ich weiß jetzt aber nicht genau ob das ein technisches oder ein mathematisches Problem ist.

Nun zu mYthos. Geh ich recht davon aus das du mit der Distanzformel: $\begin{eqnarray*} d=&#8730<img src="images2/smilies/mecry.gif" border="0" alt="traurig" title="traurig" /> ((x_2-x_1 )+(y_2-y_1 ) ) ) \end{eqnarray*}$ meinst? Tut mir leid ich kenne den Begriff nicht das Thema hier lerne ich gerade in den Ferien deswegen geh ich davon aus das der Begriff so erst in der Klasse 11 kommen wird.
So nun zu deinem ersten Satz. Wenn ich die Geradengleichung nach x auflöse folgt das:
$\begin{eqnarray*} (y+m)/m=x \end{eqnarray*}$
Jetzt kommen wir zum nächsten Schritt oder besser gesagt Problem.
$\begin{eqnarray*} y^2=4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2=4((y+m)/m) \end{eqnarray*}$
Das Problem ist ähnlich wie jenes welches ich bei corvus auch hatte.
$\begin{eqnarray*} y^2=(4y+4m)/m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2 m=4y+4m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2 m-4m=4y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (y^2 m-4m)/4=y \end{eqnarray*}$
Das hilft mir nicht weiter schließlich habe ich auf beiden Seiten ein y und keine Ahnung wie ich es auf nur eine Seite bekomme.

Des weiteren benutzt du eine Formel die ähnlich dieser ist:
$\begin{eqnarray*} y*y_1=p/2 (x-x_1 ) \end{eqnarray*}$
Das wäre die Formel um eine Tangente an einer Parabel durch den Punkt B(x_1 ; y_1) zu bestimmen. Wie wird deine Formel hergeleitet?

Danke sehr!

Gruß,
Thison

20.08.2010, 10:09

corvus

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Zitat:

Original von Thison
Guten Morgen!
Ich danke euch beiden für eure Unterstützung. Eine Lösung konnte ich jedoch noch nicht erzielen.

In diese Formel einsetzte: $\begin{eqnarray*} (x_2-x_1 )+(y_2-y_1 )=39,0625=6,25² \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

du hast die Quadrate an den Klammern wohl vergessen?

also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{y_{2} }{\left(x_{2} -1\right) } = \frac{-y_{1} }{\left(1-x_{1} \right) } <br /> \end{eqnarray*}$
zusammen mit mit
$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{1}{4} \cdot y_{1}^2<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} = \frac{1}{4} \cdot y_{2}^2 \end{eqnarray*}$

gibt dies die erste Gleichung für y1 und y2:

$\begin{eqnarray*} \frac{y_{2} }{\left(y_{2}^2 - 4\right) } = \frac{y_{1} }{\left(y_{1}^2-4 \right) } <br /> \end{eqnarray*}$

die zweite bekommst du, wenn du wieder für x1 und x2 einsetzt in:

$\begin{eqnarray*} \left(y_{2} - y_{1}\right) ^2 + \left(x_{2} - x_{1}\right) ^2 = 6,25^2<br /> \end{eqnarray*}$

aus dem System der beiden dann vorliegenden Gleichungen kannst du anschliessend
y2 und y1 relativ leicht ermitteln..
die zugehörenden x hast du sofort, weil die Punkte ja auf der Parabel herumliegen

und dann hast du auch m
.. zB aus m= y2 / (x2 - 1)
usw.

20.08.2010, 10:47

Thison

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Relativ leicht...da ist relativ das passende Wort Big Laugh

Big Laugh

Ich habe jetzt das hier soweit:
$\begin{eqnarray*} sqr((0,25y_2²-0,25y_1²)-6,25²)+y_2=y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2(y_1²-4)/(y_2²-4)=y_1 \end{eqnarray*}$

Spontan würde ich sagen ich setzte es gleich aber das klappt bei mir nicht. Wäre es vll möglich das mir das jemand vorrechnet. Es geht ja nicht darum das ich meine Hausaufgaben nicht machen will. Ich habe eig. Ferien und wollte mich aus reiner Interesse schonmal mit dem Stoff der 11 Klasse beschäftigen. Aber an dieser Aufgabe verzweifle ich!

Gruß,
Thison

20.08.2010, 12:11

mYthos

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@corvus

Du hast zwar deinen Post um 2 Minuten früher abgesendet als ich, aber wir haben gleichzeitig daran gearbeitet. Deshalb mögest du Thison weiterhin auf deinem Rechenweg begleiten (ich finde allerdings, dass dein Gleichungssystem nicht so leicht aufzulösen ist) und ich erkläre ihm meinen.

@Thison
Das, was du geschrieben hast, ist zum Teil unleserlich.
Ausserdem benutze ich nirgends eine Tangentengleichung.
---------------------
Die Distanzformel beschreibt den Abstand d zweier Punkte. Das Quadrat dieses Abstandes ist

$\begin{eqnarray*} d^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \end{eqnarray*}$

Die Indices 1 und 2 sind durchaus vertauschbar. Danach brauchst du nur meinen Post aufmerksam durchlesen und so verfahren, wie dort beschrieben.

Hast du nun die Geradengleichung nach x freigestellt [ x = (y + m)/m ] und in die Parabelgleichung eingesetzt? Dabei bekommst du zwei Lösungen für y, deren Differenz y1 - y2 (darin steht nur noch die Variable m) leicht berechenbar ist. Um nun dieses m aus dem gegebenen Abstand zu berechnen, braucht man noch die Differenz x1 - x2. Und diese berechnet man auf dem beschriebenen Weg über die Parabelgleichung.

EDIT: Jetzt ist mir ein schönerer und einfacher Weg eingefallen, um x1 - x2 zu ermitteln:

Es gilt ja, dass man die Steigung m direkt in den Koordinaten zweier Punkte der Geraden ausdrücken kann, somit ist

$\begin{eqnarray*} m = \frac{y_1 - y_2}{x_1-x_2} \end{eqnarray*}$ [Die Indices sind auch hier vertauschbar]

So kommen wir also aus y1 - y2 direkt zu x1 - x2, es gilt

$\begin{eqnarray*} x_1 - x_2 = \frac{y_1 - y_2} m \end{eqnarray*}$

Man kann sich daher den Weg über die Parabelgleichung ersparen und es wird wirklich einfach.

Teilergebnisse:

$\begin{eqnarray*} y_1 - y_2 = \frac{4 \sqrt{1+m^2}} m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1 + y_2 = \frac 4 m \end{eqnarray*}$ <-- nicht erforderlich
$\begin{eqnarray*} x_1 - x_2 = \frac {4 \sqrt{1+m^2}}{m^2} \end{eqnarray*}$

mY+

20.08.2010, 12:52

Thison

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Hallo mYthos,
Ich danke dir nochmals für die Eklärung.
Hier meine Rechnungen:

Als erstes löse ich y=mx-m nach x auf.

x=(y+m)/m

Das setzte sich in die Parabelgleichung ein.

y²=((y+m)/m) *4
y²=(4y+4m)/m

Ich bekomme also keine zwei Lösung für y in welchen nur die Variable m vorkommt. Ich habs jetzt auch schon in etlichen OnlineRechnern versucht.

Gruß,
Thison

20.08.2010, 13:05

mYthos

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Die Online-Rechner sollten doch in der Lage sein, eine quadratische Gleichung aufzulösen. Vielleicht hängt's an der Eingabe. Überdies solltest du lieber selbst die quadratische Gleichung auflösen, anstatt dich auf ein CAS zu verlassen. Zur Kontrolle deines Ergebnisses und zur Beruhigung kann man ja dann das nochmals nachrechnen lassen.

Die Gleichung lautet also:

$\begin{eqnarray*} my^2 - 4y - 4m = 0 \end{eqnarray*}$

Deren zwei Lösungen werden nun mittels der Auflösungsformel ermittelt. Bitte selbst rechnen, mittels CAS nur zur Kontrolle.
Ja?

mY+

20.08.2010, 14:10

Thison

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Ach du Schande! Das ich so etwas übersehen habe ist mir total peinlich. So etwas simples wie die PQ-Formel sollte ich schon im Kasten haben Ups

Ups

!

Nun ja ich erhalte nun auch für y1-y2=(4*sqr(1-m))/m.

Und mit der Punkt-Steigungs-Form kann man natürlich auch x1-x2 berechnen.
x1-x2=(4*sqr(1-m))/m².

Das habe ich alles soweit verstanden danke dafür! Wirklich vielen Dank! Gott

Gott

Freude

Ich rechne grundsätzlich nie mit einem Online Rechner. Es geht ja darum das ich es versthe! Nur manchmal hilft mir die Lösung, wenn ich nicht weiter komme, das ganze besser nachzuvollziehen.

Jetzt kommen wir zum einsetzten der Koordinatendifferenzen:

(4*sqr(1-m)/m)²+(4*sqr(1-m)/m²)²=6,25²

(16-16m)/m²+(16-16m)/m^4=6,25²

(16-16m)+(16-16m)/m²=6,25²m²

16m²-16m³+16-16m=6,25²m^4

16m²-16m³+16-16m=39,0625m^4

Dabei handelt es sich doch um eine symetrische Gleichung oder? Wie berechne ich die? Den Link habe ich gefunden: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch...viertergrad.pdf

Aber ich bin sicher, dass das auch einfach gehen kann. Oder ich mich verrechnet habe!

Danke für die Mühe!

Gruß,
Thison

20.08.2010, 14:28

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Thison

Nun ja ich erhalte nun auch für y1-y2=(4*sqr(1-m))/m.
...

Bei mir ist allerdings

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{m^2 + 2 \pm 2\sqrt{m^2+1}}{m^2} \end{eqnarray*}$

Unter der Wurzel sollte also ein PLUS stehen. Die letzte Gleichung für m lautet dann

$\begin{eqnarray*} \frac{16(1+m^2)}{m^2} + \frac{16(1+m^2)}{m^4} = \frac {625}{16} \end{eqnarray*}$

Da kann man nun schön zusammenfassen und die Wurzel ziehen ...

mY+

P.S.: Ich bin heute erst abends erreichbar.

20.08.2010, 14:58

Thison

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Dummer rechen Fehler! Ich muss jetzt mal ne Pause machen! Forum Kloppe

Forum Kloppe

Ich habs aber raus Big Laugh

Big Laugh

m=4/3

Vielen vielen Dank! Das war echt super genial! Danke sehr. Jetzt hab ichs kapiert. Ich weiß nicht wie ich mich bedanken kann! Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Danke!

Gruß,
Thison

20.08.2010, 19:06

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Achtung! Es gibt zwei Lösungsgeraden, deren Steigungen sich nur im Vorzeichen unterscheiden.

Ich will eine andere Lösung der Aufgabe zeigen, die mehr charakteristische Eigenschaften der Parabel verwendet. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit betrachte ich den Fall, daß die Gerade positive Steigung hat. Es seien dann $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ die Schnittpunkte der Parabel mit der gesuchten Geraden und $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ die Abstände von $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ zu Brennpunkt oder Leitgerade, wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ weiter links liegen möge (siehe Zeichnung).

[attach]15788[/attach]

Nach Aufgabenstellung gilt zunächst

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ u + v = \frac{25}{4} \end{eqnarray*}$

Mit dem Strahlensatz bekommt man $\begin{eqnarray*} \frac{v-u}{v-2} = \frac{u+v}{v} \end{eqnarray*}$ , und wenn man mit den Nennern durchmultipliziert, ausmultipliziert und vereinfacht, schließlich $\begin{eqnarray*} uv = u + v \end{eqnarray*}$ , nach $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ uv = \frac{25}{4} \end{eqnarray*}$

Nach Pythagoras und $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ hat die vertikale Kathete im eingezeichneten Steigungsdreieck den Wert

$\begin{eqnarray*} \Delta y = \sqrt{(u+v)^2 - (v-u)^2} = 2 \sqrt{uv} = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5 \end{eqnarray*}$

und die horizontale den Wert

$\begin{eqnarray*} \Delta x = \sqrt{\left( \frac{25}{4} \right)^2 - 5^2} = \frac{15}{4} \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Steigung ist somit

$\begin{eqnarray*} m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

20.08.2010, 19:37

Thison

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Leopold,
das ist ebenfalls eine echt klasse Lösung! Ich konnte wirklich alles nachvollziehen bis auf den Strahlensatz. Ansonsten ist die Lösung wirklick klasse! Ich danke dir dafür!

Gruß,
Thison

20.08.2010, 20:10

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Strahlensatz: Steigungsdreiecke sind immer ähnlich, d.h. Quotienten sich entsprechender Strecken sind gleich.

Man kann die Lösung verallgemeinern. Wenn man für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ die Parabel

$\begin{eqnarray*} y^2 = ax \end{eqnarray*}$

nimmt und sich die Sehnenlänge $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ für die Sehne durch den Brennpunkt vorgibt, dann sind

$\begin{eqnarray*} m = \pm \sqrt{\frac{a}{s-a}} \end{eqnarray*}$

die Steigungen der Sehne.

20.08.2010, 20:25

Thison

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Echt genial! Die letzte Formel ist echt der Hammer und ich verstehe jetzt auch was du mit der Strahlensatz gemeint hast! Vielen vielen dank auch dir! Das Forum und vorallem die User sind spitze!

Tausend Dank!

Gruß,
Thison

20.08.2010, 21:31

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Leopolds Lösung beruht auf geometrischen Zusammenhängen, die meine und auch die von corvus ist "typisch analytisch", d.h. man beginnt mit der (noch unbekannten) Lösung und rechnet sich von dort aus zurück bis zu den Angaben, so in etwa.

Schön, dass man auf allen Wegen zu der Lösung kommt!

mY+

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