Wann Jacobi-Determinante berechnen?

20.08.2010, 09:22	Egon E	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann Jacobi-Determinante berechnen? Hallo, ich hatte mir zum integrieren über einen Raumbereich "Ellipsenkoordinaten aufgestellt" $\begin{eqnarray} x=a\cdot r \cdot \cos \varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=b\cdot r \cdot \sin \varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=z \end{eqnarray}$ Nun hatte ich eine Obere und untere Begrenzungsfläche gegeben. Mit z in Abhängigkeit von jeweils x,y. Dort habe ich die Ellipsenkoordinaten eingesetzt und von der Ersten zur 2. Fläche über z integriert. Aber wieso muss man jetzt für das Integral noch die Jacobi-Determinante berechnen? Ich habe das z.B. von den Oberflächenintegralen in Erinnerung, wenn man da die Fläche gleich mit Kugelkoordinaten o.ä beschreibt, dass dann auf die Funktionaldeterminante verzichtet werden kann. Vielen Dank
20.08.2010, 09:36	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Will man z.B. in xy-Koordinaten die Fläche A eines Kreises berechnen, dann überdeckt man diesen Kreis mit einem "Netz" kleiner Rechtecke mit der differenzielle Länge dx und Breite dy. Beim Integrieren werden die Flächen dieser kleinen Rechtecke aufsummeiert, also $\begin{eqnarray} A=\int_{Kreis}dxdy \end{eqnarray}$ Das Integralzeichen erinnert an den Buchstaben S und wurde von Leipniz als Abkürzung für "Summe" eingeführt. Wenn man Polarkoordinaten r, phi benutzt, kann man aber NICHT einfach schreiben $\begin{eqnarray} A=\int_{Kreis}drd\phi \end{eqnarray}$ Das liegt daran, dass die Fläche eines kleinen Rechtecks in einem rechtwinkligen r-phi-Koordinatensystem nicht einfach das Produkt aus Länge r und Breite phi ist. Man muss deshalb einen Verzerrungsfaktor J einführen, der diese Verzerrung korrigiert. Die Fläche eines Rechteckes im r-phi-Koordinatensystem ist also A=Jrphi. Der Korrekturfaktor J ist gerade die Jacobideterminante. Das transformierte Integral lautet dann $\begin{eqnarray} A=\int_{Kreis}J\,drd\phi \end{eqnarray}$ Man kann natürlich exakt beweisen, dass der Verzerrungsfaktor J gerade die Jacobideterminente ist. Leider wird das in vielen Lehrbüchern nicht bewiesen, weil es ziemlichaufwendig ist, wenn man es exakt machen will.
20.08.2010, 09:41	Egon E	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut das ist klar. Nur hatten wir bei den Oberflächenintegralen, als es um die Beschreibung der Fläche ging, also des Vektors. Da haben wir direkt in den Vektor die Kugelkoordinaten eingesetzt, und dann musste beim Integrieren die Jacobi-Determinante nicht mehr berücksichtigt werden. Wieso braucht man das in dem Fall nicht. Hat man jedoch den Normalenvektor kartesisch berechnet also das Kreuzprodukt etc, dann musste man die Jacobi-Determinante anwenden.
20.08.2010, 10:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen, du sollst mit einem Oberflächenintegral den Fluss einer Fussdichte $\begin{eqnarray} \vec F \end{eqnarray}$ durch eine gekrümmte Fläche $\begin{eqnarray} \vec A \end{eqnarray}$ berechnen. Dann hast du das Oberflächenintegral wie folgt $\begin{eqnarray} Fluss=\int\int \vec F d\vec A \end{eqnarray}$ Man überdeckt die gekrümmte Fläche in Gedanken mit einem Netz kleiner Parallelogramme, die von den tangentialen Vektoren $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec f}{\partial u}\,du \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec f}{\partial u}\, dv \end{eqnarray}$ aufgespannt werden. Das vektorielle Flächenelement ist gerade ein Vektor dA, dessen Richtung die Flächennormale ist und dessen Betrag der Flächeninhalt des kleinen Parallelogrammes ist. Letzterer ist bekanntlich der Betrag des Kreuzproduktes der Seitenkanten, also $\begin{eqnarray} d \vec A=\vec N \,\,dA= \underbrace{\frac{\frac{\partial \vec f}{\partial u} \times \frac{\partial \vec f}{\partial v}} {\left \|\frac{\partial \vec f}{\partial u} \times \frac{\partial \vec f}{\partial v}\right \|}}_{Normalvektor\,\,\vec N} \underbrace{\left \|\frac{\partial \vec f}{\partial u} \times \frac{\partial \vec f}{\partial v}\right \|\,\,dudv}_{Parallelogrammfl\ddot ache\,\,dA}= \frac{\partial \vec f}{\partial u} \times \frac{\partial \vec f}{\partial v} \,\,dudv \end{eqnarray}$ Der Ausdruck in den Betragsstrichen ist die Jacobideterminante (=Fläche des differntiellen Parallelogrammes). Offensichrlich kürzt sich dieser Ausdruck heraus, weshalb du annimmst, dass die Jacobidetreminante "verschwunden" ist. Das obige Oberflächenintergal lautet dann $\begin{eqnarray} Fluss=\int\int \vec F \cdot \left (\frac{\partial \vec f}{\partial u} \times \frac{\partial \vec f}{\partial v}\right ) dudv \end{eqnarray}$

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