Beweise für Ungleichungen

15.06.2004, 19:18	Holzfrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise für Ungleichungen Hallo Leute, ich hoffe ihr könnt mir bei folgenden Aufgaben helfen. Sei q Element IR mit 0<q<=0,5 beliebig, aber fest gewählt. Zeigen Sie: a) Für alle n Element IN gilt: q^n<=1/(2^n). b) Für alle n Element IN, n ungleich 3, gilt: nq^n<=1/n. Wär gut, wenn mir das jemand mit vollständiger Induktion zeigt. Den Induktionsanfang kriege ich hin, aber beim Schluß von n gegen n+1 komme ich nicht weiter.
15.06.2004, 19:50	Gugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich beginne mal ohne vollständige Induktion, da ich diese mit Ungleichungen noch nie geübt habe: Für a.) $\begin{align} q^n\leq \frac{1}{2^n} \end{align}$ $\begin{align} q^n\leq \(\frac{1}{2}\)^n \end{align}$ Wenn du für q $\begin{align} \frac{1}{2} \end{align}$ einsetzt, dann sind beide Seiten gleich. Für jedes q kleiner einhalb folgt die Behauptung daher rein logisch, da durch Potenzieren der Abstand zwischen 2 Zahlen nur größer werden kann ( wenn sie beide das gleiche Vorzeichen haben ). Für b.) $\begin{align} nq^n\leq \frac{1}{n} \end{align}$ Auch hier kannst du wieder den höchsten Wert für q einsetzen, nämlich 0,5: $\begin{align} \frac{n}{2^n}\leq\frac{1}{n} \end{align}$ Multplikation mit n ergibt: $\begin{align} \frac{n^2}{2^n}\leq 1 \end{align}$ Jetzt schaust du, wann diese Ungleichung zutrifft und stellst fest, dass dies für alle n>3 der Fall ist. Da auch hier das q nur noch kleiner werden kann, ist die Aufgabe gelöst.
15.06.2004, 20:07	Holzfrei	Auf diesen Beitrag antworten »
So gehts natürlich auch. Besten Dank für Deinen Lösungsvorschlag. Gruß Holzfrei

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