Wurzelziehen aus Brüchen

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Ela5 Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelziehen aus Brüchen
Meine Frage:
Hallo Zusammen,
im Zusammenhang mit dem Lösen von Gleichungen, treffe ich immer wieder auf ein Problem beim Wurzelziehen. Ich mach mal drei Beispiele und versuch zu erklären, was ich glaube verstanden zu haben und wo ich nicht weiter komme.

1. Ziel ist die Lösungsmenge der Gleichung: x²+7x-60 = 0

pq-Formel -
Probleme hab ich mit dem was unter der Wurzel steht, nach langem überlegen und probieren bin ich auf folgende Lösung gekommen - muss dazu sagen, dass ich wusste was herauskommen sollte aber nicht den Weg.
Hier mein Weg:



Soweit so gut - dachte hätt nun verstanden, dass ich versuchen muss die beiden Brüche unter der Wurzel gleichnamig zu machen und möglichst im Zähler eine 2er Potenz und im Nenner etwas zum ganzzahligem radizieren. Geht das leichter gibt es einen Trick oder besseren Weg?

2. Wieder Lösungsmenge einer Gleichung:
x²-5x+6 = 0

grübel, grübel was in aller welt ist - geht das nur mit probieren oder habt Ihr auch hier eine Tipp, Weg oder oder?
kam dann auf:

3. Nun der ungelöste Weg :-(



und jetzt? hab keine Idee, wie ich weiter machen kann. Ich weiß es muss herauskommen.
im weiteren Teil muss die Lösungsmenge in eine Wurzelgleichung eingesetzt werden und wieder mein Problem:


Wie komm ich auf ? Wäre toll, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich solche Aufgaben lösen kann. Ich vermute es gibt ein paar Regeln, die ich nicht verstanden habe oder nicht anwenden kann.

Übrigens der Formeleditor ist klasse, kann der auch für andere Anwendungen benutzt werden?

Vorab schon mal vielen Dank
Grüße Manuela





Meine Ideen:
Ideen sind ja schon im Text eingearbeitet.
Ich versuchs mal - bei 3. müsste herauskommen um die Lösungsmenge zu erhalten - aber wie.
Beim letzten Teil kann ich mir so einiges vorstellen, aber vielleicht versuche ich erst mal bis dahin zu verstehen, was ich offensichtlich nicht verstehe - hä?

EDIT von Calvin
Zeilenumbruch in LaTeX eingefügt, um überlange Zeilen zu vermeiden
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelziehen aus Brüchen
Zitat:
Original von Ela5
grübel, grübel was in aller welt ist - geht das nur mit probieren oder habt Ihr auch hier eine Tipp, Weg oder oder?

Ziehe einfach die Wurzel aus Zähler und Nenner, oder was hast du bei gerechnet?

Zitat:
Original von Ela5
3. Nun der ungelöste Weg :-(


Hier hast du bei Quadrieren von 3/2 einen Fehler gemacht. Du mußt Zähler und Nenner quadrieren.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelziehen aus Brüchen
Richtig, du musst



Zähler und Nenner der Diskriminante potenzieren, so sollte es eigentlich klappen. smile
Ela5 Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal Danke, bin jetzt etwas weiter.

Zitat:
Ziehe einfach die Wurzel aus Zähler und Nenner, oder was hast du bei gerechnet?


ok, hab ich verstanden

zur 2. Ups
Nachdem ich mich noch dreimal verrechnet habe, hab ich es jetzt hin bekommen.

oh je, oh je

Dann dann die übrigen Probleme:



Könnte mir vorstellen, dass das folgendermaßen geht:


hmm wenn ich dann (versuche) die Wurzel zu ziehen könnte:
dabei herauskommen.
Ha, ich habs - nix viertel:
Aus mache ich , dann addieren und alles wird gut.

Die letzte Aufgabe müsste so ähnlich gehen, ich ziehe die Wurzel aus dem Zähler und im Nenner lasse ich sie stehen.

Passt das so? oder habe ich was übersehen?

Noch mal danke für die super schnelle Antwort.
Meine Schulzeit ist über 20 Jahre her und irgendwie muss ich das wieder reaktivieren. Toll, dass es hier die Möglichkeit zum Fragen zur Selbsthilfe gibt.

Gruß Manuela
Ela5 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelziehen aus Brüchen
Was in aller Welt ist eine Diskriminante?

Der gesamte Radikand oder q aus der quadratischen Gleichung?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »



Das ist schonmal richtig, versuche nun per Wurzelgesetz die Wurzeln zu vereinfachen.

smile
 
 
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelziehen aus Brüchen
Zitat:
Original von Ela5
Was in aller Welt ist eine Diskriminante?

Der gesamte Radikand oder q aus der quadratischen Gleichung?


Der gesamte radikand.
Ela5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hangman


Das ist schonmal richtig, versuche nun per Wurzelgesetz die Wurzeln zu vereinfachen.

smile




so könnts gehen oder?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Schon, du hast nur nicht die Wurzelgesetze angewendet bzw. einfach unterschlagen.



smile
Ela5 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe, hätte schreiben sollen:



Macht Sinn, dann weiß ich auch später noch was ich gemacht habe.

Danke für die Hilfe, find's nicht so einfach immer die richtige Regel zur rechten Zeit zu finden. Da hilft wahrscheinlich nur üben und immer genau aufschreiben was und warum.

Hat auf jeden Fall den Effekt, dass ich jetzt weiß was ich gemacht habe und sicher bin, dass es stimmt. smile
Booker Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man jetzt noch weiß, dass das gleiche ist wie kann man sogar noch einfacher ausdrücken.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ela5
Dann dann die übrigen Probleme:



Vielleicht verrätst du gelegentlich, wie du dahin gekommen bist.
Ela5 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Ela5
Dann dann die übrigen Probleme:



Vielleicht verrätst du gelegentlich, wie du dahin gekommen bist.


Hmm - mach ich. Zu lösen war die Wurzelgleichung
Nachdem ich das gute Stück soweit bearbeitet habe bis ich eine Quadratische Gleichung in der Normalform hatte - siehe hier:

Zitat:
Original von Ela5


war die gefundene Lösungsmenge zur Überprüfung der o.a. Gleichung einzusetzen. Wobei ich hier nur Probleme bei der Lösung hatte.

In meinem Skript habe ich dann die Lösung gefunden, aber leider nicht den Weg dorthin. Da habt ihr mir jetzt geholfen.

Zitat:
Original von Booker
Wenn man jetzt noch weiß, dass das gleiche ist wie kann man sogar noch einfacher ausdrücken.


So ist das, eben hab ich noch was verstanden nun wirds schon wieder nebelig.
Hast Du einen Tipp, wie ich darauf kommen könnte, dass das das gleiche ist? Und wie mit dieser Erkenntnis einfacher auszudrücken ist?
Mir geht zwar ne Menge abenteuerliches durch den Kopf aber ich glaub ich brauch bitte einen Ansatz verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe immer noch nicht, was die Lösung von mit zu tun haben soll. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen x1 = 1 und x2 = 1/2. Punkt. Aus. Ende.

Und wie ich oben schon erwähnte, hast du in der pq-Formel beim Quadrieren von 3/2 einen Fehler gemacht.
Ela5 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann versuch ich es etwas ausführlicher:

Ursprünglich hatte ich die Gleichung zu lösen.
Um das zu tun hab ich diese quadriert:
minus 5 ergibt.
/2:
5x-x² abziehen:

diese hat, die Lösung x1 =1 und x2 =1/2

Um zu überprüfen, ob die Lösungen die Ursprüngliche Gleichung lösen müssen sie eingesetzt werden. Daraus ergeben sich folgende Aufgaben:





Da ich schon die erste nicht lösen konnte, hab ich in dem Skript nach der Lösung geschaut und das Ergebnis gefunden nur leider nicht den Weg dahin.

Hatte bei dieser Aufgabe also zwei Probleme. Das mit dem Quadrieren in der pq-Formel hab ich gleich nach Deinem Hinweis gefunden.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ersthelfer scheinen OFF zu sein.

Die Lösung x2 = 1/2 eingesetzt in die ursprüngliche Gleichung ergibt:



Linke Seite: Verwandle den Ausdruck unter der zweiten Wurzel in einen (unechten) Bruch.

Rechte Seite: Unter der Wurzel kommt 8 raus; da kannst Du vereinfachen, indem Du in Primfaktoren zerlegst und einen Faktor aus der Wurzel rausziehst.
Ela5 Auf diesen Beitrag antworten »

Linke Seite hatten wir weiter oben schon, denke das hab ich verstanden.

Rechte Seite müsste so aussehen:



Die unteren beiden sind klar ergeben beide 3

Interessant wäre noch eine Erklärung/Hilfe zu dieser Aussage, das hab ich nicht verstanden

Zitat:
Original von Booker
Wenn man jetzt noch weiß, dass das gleiche ist wie kann man sogar noch einfacher ausdrücken.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Formuliere die erste Behauptung als Gleichung und forme um, bis Du eine Aussage treffen kannst.



Bedenke: oder erweitere links mit
tobsen02 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Bruch kann man in Zähler und Nenner jeweils mit erweitern.

Dementsprechend kann man auch mit erweitern. Dadurch erhälst du . Im Zähler kannst du zudem noch die 4 auseinanderziehen:

Jetzt kannst du die 2 rauskürzen und hast noch da stehen. Die 2 kannst du noch als Wurzel darstellen:
Und das entspricht
Fertig Augenzwinkern
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Die einfachere Methode wäre doch



Nun brauch nur noch gekürzt werden und du hast



smile
Ela5 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo hier bin ich wieder musste ne Nacht drüber schlafen Augenzwinkern

Also ich versuch mal alle Hinweise umzusetzen:

Ich will wissen warum das gleiche wie ist.

Ich folge mal dem Vorschlag von Gualtiero mit der Gleichung:



Der nächste Schritt wäre das ganze



Zusammengefasst

noch rechts kürzen


Damit würde ich behaupten die Gleichung stimmt.

Mit diesem Wissen hätte ich jetzt zwei Möglichkeiten zu vereinfachen:

1. erweitern mit :


2. Oder



Nun noch eine Frag zu dem Tipp geht ja nicht immer so. Hat das was damit zu tun, dass 2 eine Primzahl ist?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ela5
Nun noch eine Frag zu dem Tipp geht ja nicht immer so. Hat das was damit zu tun, dass 2 eine Primzahl ist?


Wieso sollte das nicht immer gehen? verwirrt

Für gilt:
Ela5 Auf diesen Beitrag antworten »

Fürchte da habe ich mich verirrt Ups


Ich werde weiter üben und hoffe, dass ich es irgendwann schaffe zur rechten zeit zu sehen, welche Regeln wann anzuwenden sind. Wenn mir dann noch die relevanten einfallen und ich sie auch richtig anwende....

bis dahin frage ich einfach - danke für Eure Hilfe smile
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