Gewinnfunktion / Ableitung der e-Funktion (Produ.-, Ketten- und Quot.-Regel)

20.08.2010, 11:09

m4rc1

Gewinnfunktion / Ableitung der e-Funktion (Produ.-, Ketten- und Quot.-Regel)

Meine Frage:
Folgende Aufgabe habe ich zu lösen:
Eine Kostenfunktion in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x sei
$\begin{eqnarray*} K(x)=x(2-e^{-\frac{x}{100} }) \end{eqnarray*}$
Der Verkaufspreis für eine Einheit sei 2 ?.
a) Bei welcher Produktionsmenge x ist der Gewinn maximal?
b) Wie hoch ist dieser maximale Gewinn?

Meine Ideen:
Was habe ich bis jetzt gemacht:
1. Ich habe zunächst die Gewinnfunktion gebildet:
$\begin{eqnarray*} G(x)=E(x)-K(x) E(x)=p*x = 2x K(X)=x(2-e^{-\frac{x}{100} }) => G(x) = 2x*(x(2-e^{-\frac{x}{100} }) => G(x) = e^{-\frac{x}{100}}*x \end{eqnarray*}$
2. So nun muss ich ableiten. Dazu benutze ich die Produktregel:
$\begin{eqnarray*} u(x) = e^{-\frac{x}{100}} v(x) = x G'(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) \end{eqnarray*}$
Leider muss aber wegen der e-Funktion an dieser Stelle eine Nebenrechnung mit der Kettenfunktion gemacht werden:
NR:
$\begin{eqnarray*} => e^{-\frac{x}{100}} t(x)= -\frac{x}{100} s(t) = e^{s} \end{eqnarray*}$
Erst die Quotientenregel anwenden und dann die Kettenregel:
$\begin{eqnarray*} =s'*t' u'(x)= e^{-\frac{x}{100}}*-\frac{x}{100} \end{eqnarray*}$
Nun habe ich den Spass in die Produktregel eingesetzt und bekomme folgendes:

$\begin{eqnarray*} G'(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) G'(x)= e^{-\frac{x}{100}}*-\frac{x}{100}*x + e^{-\frac{x}{100}}*1 \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle komme ich gerade nicht weiter. Wie kann ich jetzt diese Funktion auflösen? Ich habe diese Aufgabe schon einmal im Mai gemacht, kann mich aber nicht erinnern, wie ich auf diesen Schritt gekommen bin:
$\begin{eqnarray*} = e^{-\frac{x}{100}}*(\frac{e^{-\frac{x}{100}}*(-\frac{x}{100})*x}{ e^{-\frac{x}{100}} }+\frac{ e^{-\frac{x}{100}}*1 }{ e^{-\frac{x}{100}} }) \end{eqnarray*}$
Jemand dazu eine Idee?

20.08.2010, 11:12

m4rc1

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sry falsches Forum, bitte schieben unglücklich

20.08.2010, 11:43

Cel

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RE: Gewinnfunktion / Ableitung der e-Funktion (Produ.-, Ketten- und Quot.-Regel)
Also, deine Notation überzeugt mich teilweise nicht wirklich. Was ich aber sehe, was wohl falsch ist, ist das hier:

Wenn $\begin{eqnarray*} u(x) = e^{-\frac{x}{100}} \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} u'(x) \neq e^{-\frac{x}{100}} \cdot -\frac{x}{100} \end{eqnarray*}$ .

20.08.2010, 12:01

m4rc1

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Nee das ist m.E. nix falsch, da ich ja wie oben beschrieben eine Nebenrechung mache.

NR:
$\begin{eqnarray*} => e^{-\frac{x}{100}} t(x)= -\frac{x}{100} s(t) = e^{s} s'(t) = e^{s} t'(x)= \frac{1*100-x*0}{100²} t'(x)= -\frac{1}{100} u'(x)=s'*t' u'(x)= e^{-\frac{x}{100}}*-\frac{x}{100} \end{eqnarray*}$

20.08.2010, 12:11

Cel

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Zitat:

Original von m4rc1
$\begin{eqnarray*} s(t) = e^{s} s'(t) = e^{s} t'(x)= -\frac{1}{100} u'(x)=s'*t' u'(x)= e^{-\frac{x}{100}}*-\frac{x}{100} \end{eqnarray*}$

Ich denke, du meinst das richtige. Das hier $\begin{eqnarray*} s'(t) = e^{s} \end{eqnarray*}$ macht wenig Sinn, die Funktion hat sich selbst als Parameter? Du schreibst doch selber: $\begin{eqnarray*} t(x) = -\frac{x}{100} \end{eqnarray*}$ . Schön und gut, dann ist

$\begin{eqnarray*} u(x) = e^{t(x)} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} u'(x) = e^{t(x)}\cdot t'(x) \end{eqnarray*}$ . Irgendwie schreibst du das ja auch alles. Aber was ist mit den letzten beiden Zeilen?

Wenn u'(x) = s'*t' ist, wo zauberst du dann das x her?

$\begin{eqnarray*} s'(t) = e^{s}; t'(x)= -\frac{1}{100} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das multipliziere, komme ich nicht auf $\begin{eqnarray*} u'(x)= e^{-\frac{x}{100}}*-\frac{x}{100} \end{eqnarray*}$

Noch mal: Das ist falsch. Du musst nur die Kettenregel sauber anwenden, das ist alles.

20.08.2010, 12:22

m4rc1

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Also ich habe ja oben das hier stehen:

Zitat:

2. So nun muss ich ableiten. Dazu benutze ich die Produktregel: $\begin{eqnarray*} u(x) = e^{-\frac{x}{100}} v(x) = x G'(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) \end{eqnarray*}$

Daher muss ich ja irgendwie das u(x) ableiten. Da es sich aber um eine e-funktion mit einer hochzahl irgendwas handelt, muss ich doch die kettenregel und die quotionenregel anwenden.
Also:
$\begin{eqnarray*} u(x) = e^{-\frac{x}{100}} u(x) = s^{t} u'(x)=s'(t)*t'(x) \end{eqnarray*}$
oder habe ich hier jetzt einen gedankenfehler?

20.08.2010, 12:32

Cel

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Zitat:

Original von m4rc1
Daher muss ich ja irgendwie das u(x) ableiten. Da es sich aber um eine e-funktion mit einer hochzahl irgendwas handelt, muss ich doch die kettenregel und die quotionenregel anwenden.
Also:
$\begin{eqnarray*} u(x) = e^{-\frac{x}{100}} u(x) = s^{t} u'(x)=s'(t)*t'(x) \end{eqnarray*}$
oder habe ich hier jetzt einen gedankenfehler?

Die Quoteintenregel für $\begin{eqnarray*} -\frac{x}{100} \end{eqnarray*}$ nehmen zu wollen, ist ein bisschen viel des Guten. Es ist einfach ein linearer Term: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{100}x \end{eqnarray*}$ . Ganz einfache Ableitung. Deine Rechnung diesbezüglich ist aber richtig. Es geht vielmerhr um das hier: $\begin{eqnarray*} u(x) = s^{t} \end{eqnarray*}$ . Das verstehe ich kein bisschen. Was machst du da? Noch mal: $\begin{eqnarray*} u(x) = e^{t(x)} \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} t(x) = -\frac{1}{100}x \end{eqnarray*}$ . Dann Kettenregel. Du meinst das richtige, aber es ist von der Notation her ziemlich schief. Deine Rechnungen stimmen auch, aber du hast einfach falsch multipliziert. Lies dir noch mal meinen letzten Beitrag durch.

20.08.2010, 12:32

m4rc1

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Ach jetzt sehe ich den Fehler
$\begin{eqnarray*} => e^{-\frac{x}{100}} t(x)= -\frac{x}{100} s(t) = e^{s} s'(t) = e^{s} t'(x)= \frac{1*100-x*0}{100²} t'(x)= -\frac{1}{100} u'(x)=s'*t' u'(x)= e^{-\frac{x}{100}}*-\frac{x}{100} \end{eqnarray*}$

natürlich darf es hier nicht
$\begin{eqnarray*} s'(t) = e^{s} \end{eqnarray*}$
sondern muss hoch t(x) heißen. Du hast recht...

20.08.2010, 12:33

Cel

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Die Ableitung stimmt immer noch nicht.

Zitat:

Original von Cel
$\begin{eqnarray*} s'(t) = e^{s}; t'(x)= -\frac{1}{100} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das multipliziere, komme ich nicht auf $\begin{eqnarray*} u'(x)= e^{-\frac{x}{100}}*-\frac{x}{100} \end{eqnarray*}$

Es stimmt rechnerisch alles und die Notation wird ja auch besser. Du muss aber eben nur richtig (!) multiplizieren.

20.08.2010, 12:41

m4rc1

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und das kommt daher, dass ich das falsch vom meinem zettel abgeschrieben habe:

$\begin{eqnarray*} u'(x)=e^{-\frac{x}{100}} * (-\frac{1}{100}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G'(x)= u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) G'(x)= e^{-\frac{x}{100}}*(-\frac{1}{100})*x + e^{-\frac{x}{100}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = e^{-\frac{x}{100}}*(\frac{e^{-\frac{x}{100}}*(-\frac{1}{100})*x}{ e^{-\frac{x}{100}} }+\frac{ e^{-\frac{x}{100}}*1 }{ e^{-\frac{x}{100}} }) \end{eqnarray*}$

so müsste es jetzt stimmen...

20.08.2010, 13:38

Cel

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Richtig so weit. Wie du auf diesen Schritt gekommen bist? Du hast erweitert und zwar mit dem e-Term. Das ist aber nicht notwendig. Klammere einfach den e-Term aus, so wie auf deinem Zettel. Setze die letzte Zeile auf deinem Zettel gleich Null und löse nach x auf.

25.08.2010, 23:14

m4rc1

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$\begin{eqnarray*} = e^{-\frac{x}{100}}*(1-\frac{1}{100}x) 0 = e^{-\frac{x}{100}}*(1-\frac{1}{100}x) \end{eqnarray*}$

so nach x auf auflösen, mhhh...

26.08.2010, 07:45

Stefan03

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Du hast jetzt hier ein Produkt. Wann ist denn ein Produkt 0? Ich hoffe, das hilft.

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