Sigma-endliche Maße

Neue Frage »

frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-endliche Maße
Hi,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Vielleicht kann mir ja hier jemand helfen. Ich würde mich sehr freuen!

Zeigen Sie folgenden beiden Aussagen:

a) Sei eine Folge von endlichen Maßen auf so, dass die auf paarweise disjunkte Mengen konzentriert sind:

Dann wird durch:

ein sigma-endliches Maß auf definiert.

b) Umgekehrt lässt sich jedes gegebene sigma-endliche Maß auf in der Form

darstellen mit geeigneten und Wahrscheinlichkeitsmaßen , die auf paarweise disjunkten Mengen konzentriert sind.


Also zur a)
Dass hier ein Maß definiert wird lässt sich leicht überprüfen (sigma-Additivität und leere Menge hat Maß Null).
Bleibt also noch zu zeigen, dass es auch sigma-endlich ist... Und genau da hänge ich.
Das ist doch alles viel zu allgemein um da so eine Mengenfolge zu finden die gegen die volle Menge geht und deren Maß immer endlich ist.
Noch weniger kann ich mir vorstellen den Beweis zu führen ohne die Folge zu kennen.
Hatte überlegt mir über die B_n auf denen die Maße konzentriert sind eine Folge zu definieren, aber ich weiß nicht wie man da sicherstellen kann dass sie gegen die volle Menge geht denn wir wissen ja nichts über die B_n

zur b) hab ich noch keine Idee, ich dachte vll kommt mir die Idee wenn ich bei der a) weiter weiß.
giles Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sigma-endliche Maße
Zitat:
Original von frischfisch
Hatte überlegt mir über die B_n auf denen die Maße konzentriert sind eine Folge zu definieren, aber ich weiß nicht wie man da sicherstellen kann dass sie gegen die volle Menge geht denn wir wissen ja nichts über die B_n

Genau die richtige Idee! Augenzwinkern

Wenn gelten würde (*) könntest du die Aussage sicher zeigen.
Maßtheorie-Beweise sind ja sehr tricklastig, also hier ist der Trick:



jetzt gilt



Welches Maß hat die Menge ? Kannst du jetzt zeigen dass sigma-endlich?


Wenn ich das richtig sehe ist b) der leichte Teil. Konstruier dir einfach die endlichen Maße über die sigma-endlichkeit von


(*) (ich schreib mal statt , verstehe auch nicht ganz warum hier nur der Spezialfall betrachtet (benötigt?) wird verwirrt )
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sigma-endliche Maße
Danke für den Tipp!
So einfach und doch so genial...

Nun kann man sich eine Folge definieren.
Die geht gegen die volle Menge und es gilt
Tanzen

und nun zur b)
Hier haben wir ein sigma-endl. Maß, also wissen wir, dass es eine Folge gibt (ich nenn sie mal C_n) die gegen die volle Menge geht und deren Maß immer endlich ist.
Wir brauchen paarweise disjunkte Mengen, also definieren wir:

Dann nehmen wir uns noch:

Nun haben wir Maße die auf den paarweise sinjunkten Mengen B_n konzentriert sind.
Es handelt sich um endliche Maße denn

Und dadurch, dass man noch durch a_n teilt erhält man W-Maße.

Bleibt die Frage ob denn nun auch gilt, aber auch das lässt sich nun eigentlich ganz einfach nachprüfen.
(Logisch war mir das gleich klar aber an der Notation musste ich ne Weile rumdoktorn bis sie mir gefallen hat.)

smile Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig was du geschrieben hast.

Der Vollständigkeit halber solltest du bei a) natürlich noch angeben warum messbar ist (naja, "trivial." würde wohl eigentlich genügen Augenzwinkern ) und dass die Menge auch wirklich ein endliches Maß hat (kann man ja leicht ausrechnen, hast du wahrscheinlich auch schon gemacht).

Wink
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »

Bedeutet messbar im Bezug auf Mengen, dass sie in der sigma-Algebra auf der das alles passiert liegen muss?
Dann ist natürlich klar dass messbar ist denn die übrigen sind es, also auch ihre Vereinigung, also auch Omega ohne die Vereinigung...

Naja weil die auf den konzentriert sind...
Hab ein paar Schritte weggelassen deswegen kam das hier nicht mehr so klar rüber.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von frischfisch
Bedeutet messbar im Bezug auf Mengen, dass sie in der sigma-Algebra auf der das alles passiert liegen muss?


Jep, so ist zumindest die sprechweise Augenzwinkern


Jetzt ist alles vollständig, gute Arbeit Freude
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »