Integralrechnung mit gegebener Fläche

21.08.2010, 00:24

Whitis

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Integralrechnung mit gegebener Fläche

Meine Frage:
Vorweg: Hoffe der Titel passt, mir ist nichts konkreteres eingefallen.

Welche Gerade $\begin{eqnarray*} g(x)=c \end{eqnarray*}$ schließt mit der Parabel $\begin{eqnarray*} f(x)=x² \end{eqnarray*}$ eine Fläche von 36 FE ein?

Meine Ideen:
Ansich hatte ich keine Probleme auf eine Lösung zu kommen, doch scheinbar ist sie falsch.

Zuerst habe ich die Schnittstellen berechnet:

$\begin{eqnarray*} <br /> c=x²<br /> x_{1} =-c<br /> <br /> x_{2} =c<br /> \end{eqnarray*}$

Nun habe ich folgende Rechnungen vollzogen )mit 2 Multipliziert, wegen der Achsenymmetrie von x²):

$\begin{eqnarray*} <br /> 2\times \int_0^c \! x²-c \, dx =36<br /> <br /> 2\times \left[\frac{1}{3} x³-cx\right]_{0}^{c} =36<br /> <br /> 2\times (\frac{1}{3} c³-2c²) = 36<br /> <br /> \frac{2}{3} c³-2c = 36<br /> <br /> \frac{2}{3} c³-2c-36 = 0<br /> <br /> c = 4,043927983<br /> \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese $\begin{eqnarray*} ~4,04 \end{eqnarray*}$ in aber in die erste Zeile mit Integral einsetze, kommt da ein Wert um die 11 heraus, nicht 36.

$\begin{eqnarray*} <br /> 2\times \int_0^4,04 \! x²-4,04 \, dx <br /> \end{eqnarray*}$

€ War ja klar, ich habe ausversehen das Hoch 2 in der 4. Zeile vergessen.
Jetzt passt es, kann von einem Mod gelöscht werden, wenn es geht und erwünscht ist.

21.08.2010, 00:37

Calvin

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RE: Integralrechnung mit gegebener Fläche

Zitat:

Original von Whitis
Zuerst habe ich die Schnittstellen berechnet:

$\begin{eqnarray*} <br /> c=x²<br /> x_{1} =-c<br /> <br /> x_{2} =c<br /> \end{eqnarray*}$

Die Schnittstellen sind falsch.

21.08.2010, 00:38

Whitis

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Wieso sind denn die Schnittstellen falsch?

Ich bin mit diesen Schnittstellen auf das richtige Ergebnis gekommen.

21.08.2010, 00:40

Calvin

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Nein, du hast ein c gefunden, so dass mit diesem c und den falschen Grenzen die richtige Fläche rauskommt.

Aber die Grenzen (und somit das ermittelte c) sind falsch.

21.08.2010, 00:55

Whitis

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Was ist denn an diesem c falsch?

Was hätte ich da anders machen sollen?
Einfach nur die Aussage dass es falsch ist hilft mir nämlich nicht, da ich es ja als richtig ansehe.

21.08.2010, 01:02

Iorek

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2,~g(x)=c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \Leftrightarrow x^2=c~|\sqrt{ ~ } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=? \end{eqnarray*}$

Darum ist dein c falsch.

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21.08.2010, 01:13

Whitis

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Oh, dann brauche ich jetzt um so mehr Hilfe bei dieser Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} <br /> 2\times (\frac{1}{3} \times (\sqrt{c} )³ - c\times (\sqrt{c} )) = 36<br /> <br /> 2\times (\frac{1}{3} \times \sqrt{c} \times c - c\times \sqrt{c}) = 36<br /> 2\times (-\frac{2}{3} \times \sqrt{c} \times c) = 36<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Wie lös ich etwas derartiges auf?
Auch wenn ich es nun mit 2 multipliziere, komme ich nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} <br /> -\frac{4}{3} \times 2\sqrt{c} \times 2c = 36<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

21.08.2010, 01:16

Iorek

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Verwende $\begin{eqnarray*} \sqrt a = a^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a^b\cdot a^c=a^{b+c} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Beachte aber, dass du $\begin{eqnarray*} 2|\int_0^{\sqrt{c}} f(x)-g(x)\dx| \end{eqnarray*}$ bilden musst.

21.08.2010, 01:39

Whitis

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Zitat:

Original von Iorek
Verwende $\begin{eqnarray*} \sqrt a = a^{\frac 12} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a^b\cdot a^c=a^{b+c} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Beachte aber, dass du $\begin{eqnarray*} 2|\int_0^{\sqrt{c}} f(x)-g(x)\dx| \end{eqnarray*}$ bilden musst.

$\begin{eqnarray*} a^b\cdot a^c=a^{b+c} \end{eqnarray*}$

Soetwas hatten wir noch nicht, wie gehe ich im Folgenden denn damit um?
Bzw. gibt es noch einen anderen Weg (denn wir sollten das schon einmal lösen, und ein Hoch b+c oder ähnliches hatten wir noch nie?

21.08.2010, 01:42

Iorek

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Also wenn ihr gerade die Integralrechnung behandelt, hattet ihr auch diese Regeln. Das sind die Potenzgesetze, die man in der Mittelstufe lernt.

21.08.2010, 01:45

Whitis

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Zitat:

Original von Iorek
Also wenn ihr gerade die Integralrechnung behandelt, hattet ihr auch diese Regeln. Das sind die Potenzgesetze, die man in der Mittelstufe lernt.

Nein, mit so einem + hatten wir das noch nie, schon gar nicht in der Mittelstufe.

Geht das dann so?
$\begin{eqnarray*} a^2\cdot a^3=a^{2+3} \end{eqnarray*}$

Und dieses

$\begin{eqnarray*} a^{2+3} \end{eqnarray*}$

Ist dann das gleiche wie

$\begin{eqnarray*} a^{5} \end{eqnarray*}$

?

21.08.2010, 01:46

Iorek

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Ja

smile

Das kannst du jetzt auf das c in deiner Gleichung übertragen.

21.08.2010, 01:49

Whitis

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Ah, dann wird mir alles klar.

Dieses Hoch b+c hatte mich einfach verwirrt, ich dachte das darf man nicht so einfach zusammenzählen.

Das hatten wir natürlich schon früh, aber wir haben da halt nie dieses Hoch b+c oder ähnliches geschrieben.

21.08.2010, 14:30

Whitis

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Ok, jetzt bin ich am letzten Schritt angekommen, nur weiß ich nicht wie ich da weiter komme.

$\begin{eqnarray*} <br /> 2\times (-\frac{2}{3} \sqrt{c} \times c) = 36<br /> <br /> 2\times (-\frac{2}{3} c^{1,5} ) = 36<br /> <br /> -\frac{4}{3} c^{1,5} = 36<br /> <br /> c^{1,5} = -27<br /> \end{eqnarray*}$

Wie komme ich nun von den $\begin{eqnarray*} ^{1,5} \end{eqnarray*}$ auf ein einfaches c?

21.08.2010, 14:37

Iorek

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Mit dieser (falschen) Rechnung wird das nicht möglich sein unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Iorek
Edit: Beachte aber, dass du $\begin{eqnarray*} 2|\int_0^{\sqrt{c}} f(x)-g(x)\dx| \end{eqnarray*}$ bilden musst.

Wenn du das berichtigt hast, verwende die Potenzgesetze um den Exponenten als Wurzel umzuschreiben.

21.08.2010, 14:47

Whitis

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Wie, genau das habe ich doch gemacht?

Wie ich das Integral aufgelöst habe, habe ich ja etwas weiter oben schon geschrieben.

$\begin{eqnarray*} <br /> 2\times (\frac{1}{3} \times (\sqrt{c} )³ - c\times (\sqrt{c} )) = 36<br /> <br /> 2\times (\frac{1}{3} \times \sqrt{c} \times c - c\times \sqrt{c}) = 36<br /> 2\times (-\frac{2}{3} \times \sqrt{c} \times c) = 36<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Dann habe ich es weiter geführt wie in meinem letzten Post.

Und ich verstehe auch nicht was ich da beachten soll mit dem Integral, das hab ich doch gemacht?

Und wieso ist die Rechnung nun falsch? Bzw. was ist daran falsch?

21.08.2010, 14:50

Iorek

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Du liest meine Posts anscheinend nicht richtig...du musst den Betrag bilden, es geht hier um einen Flächeninhalt, der kann nicht negativ sein! Also: $\begin{eqnarray*} 2|\int_0^{\sqrt{c}} f(x)-g(x)\dx | \end{eqnarray*}$ .

21.08.2010, 15:11

Whitis

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Aber das ändert doch nichts an den Rechnungen?
Einzig am Ende würde da dann doch z.B. Folgendes (einfach irgendeine Zahl genommen) stehen:

$\begin{eqnarray*} <br /> | c |= | -5 | = 5<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Sehe jetzt nicht was das an meiner Rechnung ändert, es kehrt doch nur das Endergebnis in das Positive?

21.08.2010, 15:13

Iorek

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Wenn es für dich keinen Unterschied macht, dann lass es halt sein und rechne weiter wie du es für richtig hältst.

Zitat:

Original von Iorek
verwende die Potenzgesetze um den Exponenten als Wurzel umzuschreiben.

21.08.2010, 15:21

Whitis

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Ich habe doch alle deine Ratschläge befolgt, nur weiß ich teilweise nicht was ich falsch mache und da frage ich dich das doch.

Du hast mich da offenbar total falsch verstanden.

Ich habe nicht geschrieben dass es für mich keinen Unterschied macht, so wie du es verstanden hast, sondern dass ich den Unterschied, den du offenbar kennst, wiederum nicht kenne.

Und ich hab das doch mit den Potenzgesetzen umschrieben?

$\begin{eqnarray*} <br /> -\frac{2}{3} \sqrt{c} \times c<br /> <br /> -\frac{2}{3} c^{\frac{1}{2}} \times c^{1}<br /> <br /> -\frac{2}{3} c^{1,5}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

21.08.2010, 15:24

Calvin

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Der Unterschied liegt in den beiden Aufgabenstellungen "Berechnen Sie das Integral" und "Berechnen Sie die Fläche".

Ein Integral kann durchaus negativ sein, eine Fläche nicht.

So wie du es gerechnet hast, wird das Integral negativ. Damit wird (egal mit welchem c) niemals ein Flächeninhalt von 36 erreicht.

Warum wird dein Integral negativ? Mach dir mal eine Skizze. Zeichne die Parabel und eine Gerade mit beliebigen c. Überlege dir dabei, ob c>0 oder c<0 ist.

Wenn du die Fläche zwischen zwei Kurven bestimmen willst, ist es sinnvoll, im Integral 'obere Funktion' minus 'untere Funktion' zu rechnen. Du hast es andersrum gemacht.

21.08.2010, 15:28

Iorek

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Du sollst jetzt den Exponenten wieder so umschreiben, damit du eine Wurzel da stehen hast, dann wird relativ schnell klar, wieso du den Betrag nehmen musst.

Nehmen wir jetzt mal als Beispiel die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2,~g(x)=1 \end{eqnarray*}$ und bestimmen die Flächen zwischen diesen zwei Funktionen, Schnittpunkte sollten klar sein. Wir integrieren: $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 f(x)-g(x)\dx=\int_{-1}^1 x^2-1\dx=\left[\frac 13x^3-x\right]_{-1}^1=(\frac 13-1)-(-\frac 13+1)=-\frac 23-\frac 23=-\frac 43 \end{eqnarray*}$ , also ist der Flächeinhalt negativ? Das Problem ist, dass wir die größere von der kleineren Funktion subtrahiert haben, $\begin{eqnarray*} 1\geq x^2~\forall x\in[-1;1] \end{eqnarray*}$ . Umgehen kann man das Problem, indem man $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 g(x)-f(x)\dx \end{eqnarray*}$ bildet, oder eben den Betrag benutzt.

21.08.2010, 15:35

Whitis

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Hmm ok.

Hab das jetzt andersherum gemacht und folgendes am Ende raus:

$\begin{eqnarray*} <br /> c^{1,5} = 27<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Wie forme ich das denn um, dass da wieder eine Wurzel steht?
Da besteht ja u.a. mein Problem.

Ist das dann einfach

$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt[1,5]{c} <br /> \end{eqnarray*}$

?

21.08.2010, 15:45

Iorek

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Nein, das ist wieder ein Potenzgesetze (welche du mal wiederholen solltest, die sind wichtig und werden häufig gebraucht): $\begin{eqnarray*} a^{\frac bc}=\sqrt[c]{a^b} \end{eqnarray*}$

21.08.2010, 15:56

Whitis

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Dann hätte ich da folglich

$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt[3]{c^{2}} = 27<br /> \end{eqnarray*}$

Bekomme ich das dann durch mein gepostetes $\begin{eqnarray*} \sqrt[1,5]{ } \end{eqnarray*}$ weg?
Hatte nämlich vorhin Folgendes probiert:

$\begin{eqnarray*} <br /> c^{1,5} = 27 | \sqrt[1,5]{ } <br /> <br /> c = 9<br /> \end{eqnarray*}$

Eingesetzt käme dann auch 36 heraus.

Oder war das der falsche Weg wieder?
Wie käme ich denn von

$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt[3]{c^{2}} = 27<br /> \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} <br /> c = 9<br /> \end{eqnarray*}$

?

21.08.2010, 16:01

Iorek

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Ok, wenn dir ein Taschenrechner zur Verfügung steht, wäre $\begin{eqnarray*} \sqrt[1{,}5]c \end{eqnarray*}$ auch eine Möglichkeit, wenn auch sehr unüblich. Mit der anderen Umformung, lässt sich das von Hand lösen. Allerdings hast du falsch eingesetzt: $\begin{eqnarray*} c^{1{,}5}=c^{\frac 32}=\sqrt{c^3} \end{eqnarray*}$

21.08.2010, 16:11

Whitis

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Aber du hattest doch geschrieben

$\begin{eqnarray*} a^{\frac bc}=\sqrt[c]{a^b} \end{eqnarray*}$

In diesem Beispiel wäre dann $\begin{eqnarray*} b=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$

Dann müsste es doch (ok, ich hab es versehentlich verwechselt gehabt vorhin) folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sqrt[2]{c³} <br /> \end{eqnarray*}$

Aber ob nun $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{c³} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sqrt{c³} \end{eqnarray*}$ , ich weiß bei keinem wie ich dann auf ein glattes c komme (ohne Taschenrechner).

Aber schon einmal vielen Dank für die Hilfe und vorallem Mühe.

21.08.2010, 16:19

Iorek

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Wurzel entfernen, dann nach c auflösen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{c^3}=27~|^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c^3=729~|\sqrt[3]{~} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=? \end{eqnarray*}$

21.08.2010, 16:24

Whitis

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Achso, naja für den letzten Schritt von 729 bräuchte ich persönlich wieder einen Taschenrechner.

Und das mit der "fehlenden" 2 hab ich jetzt auch verstanden.

Das war es dann soweit, danke dir sehr Iorek!
Ach und natürlich danke ich auch dir sehr, Calvin

21.08.2010, 18:29

mYthos

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Zitat:

Original von Whitis
Achso, naja für den letzten Schritt von 729 bräuchte ich persönlich wieder einen Taschenrechner.
...

Nein, es geht auch ohne.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{c^3} = 27 \end{eqnarray*}$

Jetzt ziehe zuerst die dritte Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{c} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 9 \end{eqnarray*}$

mY+

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