Integralrechnung - Beweis der Teilung in flächengleiche Teilung

20.08.2010, 22:50	Whitis	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung - Beweis der Teilung in flächengleiche Teilung Meine Frage: Hierbei bräuchte ich im zweiten Teil Hilfe (sprich Teil b) ). Gegen ist die funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=x³ \end{eqnarray}$ a) Eine Gerade der Form $\begin{eqnarray} y=mx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m>0 \end{eqnarray}$ schließt im 1. Quadranten mit dem Graphen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Fläche ein. Bestimme $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ so, dass der Inhalt dieser Fläche $\begin{eqnarray} 2,25FE \end{eqnarray}$ beträgt. b) Zeige, dass die Parabel das gefärbte Dreieck für jedes $\begin{eqnarray} m>0 \end{eqnarray}$ in zwei flächengleiche Teile teilt. Meine Ideen: Bei der a) habe ich vorweg, falls das für die Lösung von b) nötig ist, 3 und -3 heraus bekommen, was sich nach dem Einsetzen auch als richtig ergeben hat. Die Schnittstellen der Graphen sind außerdem bei $\begin{eqnarray} 0<br /> \sqrt{m} <br /> -\sqrt{m} \end{eqnarray}$ Nur für Aufgabe b) habe ich keinerlei Idee, was ich denn überhaupt machen soll. Ich habe weder eine Idee für einen Ansatz noch für irgendeinen anderen Schritt. Da ihr das Dreieck nicht sehen könnt, habe ich es einfach fix fotografiert. [attach]15791[/attach] Bitte lade Deine Bilder immer mit "Dateianhänge" hoch. Danke, Gualtiero
20.08.2010, 23:26	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Da nur der 1. Quadrant betrachtet wird, fällt die Lösung $\begin{eqnarray} -\sqrt m \end{eqnarray}$ heraus. Nun, bei Aufgabe b) sollst du zeigen, dass das eingefärbte Dreieck von f in zwei gleiche Flächenteile unterteilt wird. Zu zeigen ist also folgende Beziehung: Sei $\begin{eqnarray} F(m) \end{eqnarray}$ die von der Geraden $\begin{eqnarray} g_m(x)=mx \end{eqnarray}$ und der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^3 \end{eqnarray}$ eingeschlossene Fläche und $\begin{eqnarray} F_{\Delta}(m) \end{eqnarray}$ die Fläche des grau eingefärbten Dreiecks. Dann gilt $\begin{eqnarray} F_{\Delta}(m)=2F(m) \end{eqnarray}$ .
21.08.2010, 16:20	Whitis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie schreibe ich das denn dann? Muss ich dann erst einmal die beiden einzelnen Teile des Dreiecks ausrechnen (und addieren) und dann diesen Dreiecksinhalt mit 2mal irgendeine der beiden Flächen gleichsetzen? Ich hab auch einmal Folgendes gerechnet, würde gerne wissen ob das so auch ein Beweis ist, der anerkannt wird: $\begin{eqnarray} <br /> \int_0^{\sqrt{m} } \! (mx-x³) \, dx - \int_0^{\sqrt{m} } \! (x³) \, dx = 0<br /> <br /> \left[\frac{m}{2} x² - \frac{1}{4} x^{4}\right]_{0}^{\sqrt{m}} - \left[\frac{1}{4} x^{4}\right]_{0}^{\sqrt{m}}= 0<br /> <br /> \frac{m}{2} (\sqrt{m})² - \frac{1}{4} (\sqrt{m})^{4} - \frac{1}{4} (\sqrt{m})^{4} = 0<br /> <br /> \frac{m}{2}m - \frac{1}{4}m² - \frac{1}{4}m² = 0<br /> <br /> \frac{1}{2}m² - \frac{1}{4}m² - \frac{1}{4}m² = 0<br /> <br /> 0=0<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Damit hab ich doch im Prinzip bewiesen, dass die eine Fläche Minus die ander Fläche für m>0 immer gleich 0 ist, und damit doch indirekt, dass der Graph das Dreieck halbiert. Oder stimmt das nicht, bzw wird so ein "indirekter" Beweis überhaupt akzeptiert?
21.08.2010, 19:03	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein indirekter Beweis ist ein Beweis. Allerdings ist dein Beweis kein indirekter Beweis. Du hast direkt gezeigt, dass für alle m>0 die Fläche des Dreiecks von dem Funktionsgrafen von f halbiert wird.
21.08.2010, 19:35	Whitis	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu, danke dir Mathewolf!

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