Zulaufratenfunktion - Überprüfung der Randwerte

21.08.2010, 01:33

Whitis

Zulaufratenfunktion - Überprüfung der Randwerte

Meine Frage:
Ein Wasserbecken wird mit Wasser gefüllt. Die Zulaufratenfunktion ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} z(t)=t³-12t²+35t \end{eqnarray*}$
Dabei ist z gemessen in $\begin{eqnarray*} \frac{m³}{h} \end{eqnarray*}$ und t in h. Betrachtet wird das Zeitintervall [0;8].
Eine negative Zulaufrate bedeutet dabei, dass Wasser aus dem Becken heraus fliesst.

Zum Zeitpunkt 0 befinden sich $\begin{eqnarray*} 4m³ \end{eqnarray*}$ Wasser im Becken.

d) Bestimme den Zeitpunkt, an dem sich die Zulaufrate besonders stark ändert.

h) Bestimme die maximale Wassermenge im Becken. Berechne den Zeitpunkt, an dem diese erreicht wird.

Meine Ideen:
d)
Wendepunkt
$\begin{eqnarray*} z''(t)=6t-24 t=4 Z(4)=12 WP(4|12) \end{eqnarray*}$

Überprüfung der Randwerte
$\begin{eqnarray*} z'(4)=-13 z'(0)=35 z'(8)=35 \end{eqnarray*}$

Neben dieser Überprüfung habe ich folgendes stehen:
"An den Rändern kann die Steigung auch am größten sein, daher Anfang & Ende vom Intervall überprüfen."

Und als Antwortsatz:
"Zu Beginn und am Zeitpunkt 5=4 nimmt die Änderungsrate am stärksten ab."

Da habe ich jetzt nur fragen zu den Textteilen.
Ich verstehe nämlich nicht, wieso an den Rändern die Steigung am größten sein kann.

Genauso wenig versteh ich wieso ich die Werte 4, 0 und 8 dafür nehme.

Und letztendlich versteh ich die Schlussfolgerung nicht, woran sehe ich das zu Beginn und am Zeitpunkt t=4 die Änderungsrate am stärksten abnimmt. Warum ist es z.B. bei 8 nicht, da kommt doch wie beim Wert "0" 35 raus?

__________________________________________________________

h)
$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{4} t^{4} -4t³+17,5t²\right]_{0}^{x} \frac{1}{4} x^{4} -4x³+17,5x² \end{eqnarray*}$

Bestimmung der Extremstellen

$\begin{eqnarray*} A'(x)= x³-12x²+35x A''(x)= 3x²-24x+35 \end{eqnarray*}$

Notwendige Bedingung:
$\begin{eqnarray*} x³-12x²+35x=0 x_{1} =0 x_{2} =5 x_{3} =7 \end{eqnarray*}$

Hinreichende Bedingung

$\begin{eqnarray*} A''(0)=35 A''(5)=-10 A''(7)=14 \end{eqnarray*}$

Als nächsten Punkt habe ich jetzt:

Überprüfung der Randwerte

Wie überprüfe ich die denn? Und wieso muss ich das überhaupt machen?

22.08.2010, 19:03

Whitis

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Da ich meinen Beitrag leider nicht editieren kann:

Zur ersten Aufgabe
Die Nullstellen des Graphen liegen bei 0, 5 und 7.
Hat das vielleicht zusammen mit dem Intervall von 0 bis 8 etwas damit zu tun, wieso die Überprüfung bei 4, 0 und 8 vorgenommen wird?

Und der Antwortsatz sollte eigentlich lauten:
"Zu Beginn und am Zeitpunkt t=4 nimmt die Änderungsrate am stärksten ab."

Verstehe aber immer noch nicht warum das so ist.

Und bei dem Rest (somit der zweiten Aufgabe) bin ich mittlerweile leider auch noch nicht schlauer.

22.08.2010, 20:13

mYthos

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1.
Die Extremwertberechnung liefert nur ein relatives Extremum, daher sind noch die Ränder des angegebenen Intervalls [0; 8] zu untersuchen.

Über die Ab- oder Zunahme der Änderungsrate gibt z''(t) = 6t - 24 Auskunft, nicht z'(t) .
Wegen z''(0) = -24, z''(4) = 0 und z''(8) = 24 befindet sich die (wegen des negativen Vorzeichens) stärkste negative Änderung an der Stelle t = 0.

2.
Die Funktion der Wassermenge w(t) lautet

$\begin{eqnarray*} w(t) = \frac{t^4} 4 - 4t^3 + \frac{35} 2 t^2 +4 \end{eqnarray*}$

Die 4 (das ist die Konstante) muss am Ende deswegen geschrieben werden, weil w(0) = 4 angegeben ist.

Auch hier muss aus demselben Grund wie bei (1.) die Wassermenge zu dem Zeitpunkt t = 8 betrachtet werden, weil sich an den Stellen 0, 5 und 7 nur relative Extrema befinden. Bei den Stellen 0 und 7 kann noch entschieden werden, welches das (kleinere) absolute Minimum ist.

mY+

22.08.2010, 20:15

tobsen02

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Ich rolle die Sache mal von hinten (mit der h)) auf.
Soweit hast du da ja alles richtig gemacht und musst nur noch die Randwerte überprüfen. Ich versuche mal, dir ein Beispiel zu geben, wieso man die auch noch überprüfen muss.

Zuerst einmal: Über die Ableitungen überprüfst du eine Funktion nur auf lokale Extrema, nicht aber an ihren Randbereichen. Wenn du die absoluten Extrema untersuchen willst, musst du die Randwerte einbeziehen. Absolute Extrema sind die höchsten bzw. niedrigsten Funktionswerte, die es in der Funktion gibt.

Ein Beispiel: Klick
Wenn du von dieser Funktion mittels der Ableitung die Extrema bestimmst, kommst du auf x=0 als Maximum und x=2/15 als Minimum. Wenn du jetzt aber wissen willst, welche Werte der Funktion die ABSOLUT größten/kleinsten sind, musst du noch die Randbereiche anschauen, z.B. für $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , oder aber wie bei deiner Funktion, die nur für x=0 bis x=8 defininiert ist, x=0 und x=8. Zwar ist bei der oben in Wolfram angezeigten Funktion bei x=0 ein lokales Maximum mit dem Funktionswert 0, aber es gibt eben auch noch Werte die größer sind, und die liegen (in diesem Fall) am Rand der Funktion.

22.08.2010, 20:45

Whitis

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Zitat:

Original von mYthos2.
Die Funktion der Wassermenge w(t) lautet

$\begin{eqnarray*} w(t) = \frac{t^4} 4 - 4t^3 + \frac{35} 2 t^2 +4 \end{eqnarray*}$

Die 4 (das ist die Konstante) muss am Ende deswegen geschrieben werden, weil w(0) = 4 angegeben ist.

mY+

Dazu eine Frage:

Wie komme ich denn auf diese Funktion der Wassermenge w(t)? Hab die jetzt zuvor nie gesehen und wüsste nicht woraus die stammt.

______________________________________

Und zu Aufgabe h)
Also habe ich das jetzt richtig verstanden, dass ich bei der Überprüfung jetzt einfach
A'(0)=0
A'(8)=24
rechnen muss, weil das die Ränder des Intervalls sind?

Und ich weiß jetzt dass dort bei 8 das Maximum ist, weil das Ergebnis einfach die größte Zahl ist, oder warum?

22.08.2010, 21:36

mYthos

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z(t) stellt die Zuflussrate dar, daher ist das Integral dieser Funktion die insgesamt aufgelaufene Wassermenge w(t).

Bei t = 8 hat w(t) den absolut größten Funktionswert. Das relative Maximum bei t = 5 ist doch (allerdings nur geringfügig) kleiner ... . Das sollte deine Frage beantworten.

mY+

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