parameterabhängige Integration mit log(x)

21.08.2010, 14:47

pablosen

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parameterabhängige Integration mit log(x)

Hallo liebes Forum

Ich habe folgendes parameterabhängiges Integral zu integrieren:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_0^1 log(x-y) dy \end{eqnarray*}$

Soweit ich das verstanden habe, muss da nach y integriert werden, wobei die resultierende Funktion dann von x abhängt. Ich hab das so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 log(x-y) dy = \int_0^1 log(x)*\frac{1}{log(y)}dy \end{eqnarray*}$ ... ja und dann könnte ich es lösen. Nur ist das falsch, da ich hier ein Logarithmusgesetz falsch angewandt habe.

Wie würdet ihr dieses Integral lösen? Ist das überhaupt (nicht-numerisch) lösbar?

Die Aufgabe war, dieses Integral mit der Trapezregel zu approximieren. Ich wollte es aber aus Übungszwecken von Hand integrieren (?).
Grüsse&Danke
Pablo

21.08.2010, 15:49

saz

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Wie wäre es denn mit partieller Integration?

$\begin{eqnarray*} \int \log z \, dz = \int 1 \cdot \log z \, dz \end{eqnarray*}$

smile

smile

Edit: Ist bei dir log der natürliche Logarithmus (also Basis e) oder eine beliebige Basis? (Ändert aber prinzipiell nichts am Rechenweg)

21.08.2010, 15:50

wisili

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RE: parameterabhängige Integration mit log(x)
-- (zu spät)

21.08.2010, 15:51

Calvin

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Als Ergänzung noch: du hast ein (falsches) Logarithmusgesetzt erfunden bzw. mit einem existierenden verwechselt. Es ist $\begin{eqnarray*} \log{\frac{x}{y}}=\log{x}-\log{y} \end{eqnarray*}$ .

Umgekehrt (wie du es gemacht hast) ist es falsch.

21.08.2010, 21:19

pablosen

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Zitat:

Original von saz
Wie wäre es denn mit partieller Integration?

$\begin{eqnarray*} \int \log z \, dz = \int 1 \cdot \log z \, dz \end{eqnarray*}$

smile

smile

Edit: Ist bei dir log der natürliche Logarithmus (also Basis e) oder eine beliebige Basis? (Ändert aber prinzipiell nichts am Rechenweg)

Ja, es ist der natürliche Logarithmus.

Meinst du nicht eher Sustitution anstatt partielle Integration?

Denn wenn du partielle Integration meinst, wie nehme ich dann den Term

$\begin{eqnarray*} log(x-y) \end{eqnarray*}$

auseinander ? Wie schon Calvin erwähnt hat, geht das ja nicht wie ich es oben wollte...

21.08.2010, 21:40

saz

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Nein, ich meine partielle Integration. Wie du schon festgestellt hast, ist x ja bzgl. deiner Integration eine Konstante. Wenn du das so nicht siehst, wie es funktioniert, kannst du natürlich (wie schon oben angedeutet) z.B. die Substitution

$\begin{eqnarray*} z := x-y \end{eqnarray*}$

machen und dann partiell integrieren.

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21.08.2010, 21:41

wisili

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Zitat:

Original von pablosen
Meinst du nicht eher Sustitution anstatt partielle Integration?

Streng genommen braucht man beide Methoden; es ist zumindest ratsam:
Zuerst Substitution: z = x-y,
dann partielle Integration wie saz es vorschlägt.

21.08.2010, 21:56

pablosen

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$\begin{eqnarray*} z=x-y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}=1 \end{eqnarray*}$

obere Grenze 1 wird zu x-1 ; untere Grenze 0 wird zu x . Somit:

$\begin{eqnarray*} \int_x^{x-1} 1*log(z) dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(z) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(z) = z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z) = log(z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(z) = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$

zweiter Term wird -1:
$\begin{eqnarray*} \int_x^{x-1} \frac{1}{z} * z =\int_x^{x-1} 1 = -1 \end{eqnarray*}$

erster Term bleibt stehen:
$\begin{eqnarray*} log(z)*z |_x^{x-1} = log(x-1)*(x-1)-log(x)*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \underline{log(x-1)*(x-1)-log(x)*x + 1} \end{eqnarray*}$ (=erster Term minus zweiter Term)

fertig editiert

21.08.2010, 22:11

saz

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Also nochmal neu ...

Du integrierst nach y, also musst du schreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dy} = -1 \end{eqnarray*}$

Damit folgt, dass die Vorzeichen allesamt falsch sind (natürlich auch in deinem Ergebnis), ansonsten ist es aber korrekt.

21.08.2010, 22:33

pablosen

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$\begin{eqnarray*} z= x-y \rightarrow dy=-dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_x^{x-1} -1*log(z) dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow g'(z)=-1 \rightarrow g(z) = -z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow f'(z)=\frac{1}{z} \rightarrow f(z) = log(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_x^{x-1} -1*log(z) dz = (-z*log(z))|_x^{x-1} - \int_x^{x-1} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underline{\rightarrow F(x)= -(x-1)*log(x-1)+x*log(\underline{x})-1} \end{eqnarray*}$

Aber Mathematica sagt, das unterstrichene x dort sei -x .

Warum das?

Rechne gleich nochmals nach... habe aber schon 2mal.

21.08.2010, 22:37

saz

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Maple stimmt deinem Ergebnis zu, allerdings hast du das formal immernoch nicht richtig gemacht. Wie gesagt muss es lauten

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dy} = -1 \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = -1 \end{eqnarray*}$

Vielleicht hast du ja die Integration bei Mathematica auch irgendwie verwurstelt.

21.08.2010, 22:47

pablosen

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Danke, ja habs ausgebessert. Diese x und y Geschichte.

Hmmm. Gab bei Mathematica an:

Integrate[Log[x - y], {y, 0, 1}]

Und es meinte:

If[Re[x] >= 1 || Re[x] <= 0 || Im[x] != 0, -1 - x Log[1 - x] +
Log[-1 + x] + x Log[-x],
Integrate[Log[-y + x], {y, 0, 1},
Assumptions -> ! (Re[x] >= 1 || Re[x] <= 0 || Im[x] != 0)]]

Irgendwie meldet der was mit komplexen Zahlen. Ich schau mal, obs maple für windows gibt.

edit: Matlab sagt, es sei richtig juchu!

>> syms y
>> syms x
>> int(log(x-y),y,0,1)
ans =
-log(x-1)*x+log(x-1)-1+log(x)*x

21.08.2010, 22:54

saz

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Mh ja, irgendwie nimmt Mathematica an, dass der Imaginärteil von x nicht 0 ist... keine Ahnung, wieso. Kenne mich damit auch nicht aus, jedenfalls stimmt das Ergebnis so wie du es hast.

22.08.2010, 09:41

wisili

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Eigentlich hat Mathematica schon Recht, wenn es Fälle von x unterscheidet:

[attach]15801[/attach]

23.08.2010, 14:19

pablosen

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Da sich eine weitere Frage nochmals um dasselbe Integral handelt, mache ich mal keinen neuen Thread auf. In besagter Aufgabe ist F'(x) noch auszurechnen, was ich so gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} F'(x)= \int_0^1 \frac{1}{x-y} dy = [log(x-y)]_0^1=log(x-1)-log(x) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} log := ln = \end{eqnarray*}$ natürlicher Logarithmus.

Nun ist die Musterlösung aber $\begin{eqnarray*} \underline{log(x)-log(x-1)} \end{eqnarray*}$ und das verstehe ich nicht. Man muss doch + "obere Grenze" und - "untere Grenze" ???

23.08.2010, 14:33

wisili

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$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{1}{x-y} dy = [log(x-y)]_0^1 \end{eqnarray*}$

ist falsch. Substituiere z=x-y. Du erhältst

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{1}{x-y} dy = - [log(x-y)]_0^1 \end{eqnarray*}$

23.08.2010, 15:06

pablosen

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Ich danke dir. Es ist natürlich:

$\begin{eqnarray*} F'(x)=\int_0^1 \frac{1}{x-y} dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=x-y \rightarrow dy=-dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow = \int_x^{x-1} -\frac{1}{z} dz = -[log(z)]|_x^{x-1} = \underline{log(x)-log(x-1)} \end{eqnarray*}$

23.08.2010, 15:35

saz

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Wieder der gleiche Fehler: Du hast nach x integriert, das ist aber falsch. Wenn du nach y integrierst, kommt entsprechend der Faktor (-1) mit rein und das Ergebnis stimmt wieder.

Auch wenn es hier so geht, wie du es gemacht hast: Im Allgemeinen wird es besser sein, wenn du die erhaltene Stammfunktion F einfach ableitest, anstatt eine Integration durchzuführen.

Edit: Sorry, zweite Seite des Threads übersehen Hammer

Hammer

23.08.2010, 22:11

pablosen

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Zitat:

Original von sazAuch wenn es hier so geht, wie du es gemacht hast: Im Allgemeinen wird es besser sein, wenn du die erhaltene Stammfunktion F einfach ableitest, anstatt eine Integration durchzuführen.

Ja, aber unser Assistent hat ja irgendwie die noch nicht integrierte Funktion "innerhalb" des Integralzeichens einfach abgeleitet...

... und das war in diesem Falle tatsächlich einfacher zu integrieren, um dann auf F'(x) zu kommen. Und doch ist das nicht immer so.

*omg*

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