Matrix invertieren

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12345 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix invertieren
Meine Frage:
Beweisen Sie folgenden Satz:
Sei A eine n n Matrix mit Einträgen aus . Wir nehmen an, dass die Spalten von A linear unabhängig sind. Dann ist A invertierbar.

Meine Ideen:
Mein Problem hier ist dass ich nicht weiß wie ich ansetzten soll.

Könnte mir bitte jemand helfen!

Danke lg 12345
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Du könntest die Matrix als lineare Abbildung auffassen.

Was sind dann die Bilder der (Standard-)Basisvektoren unter A? Und welche Dimension hat das Bild von unter A?

Was kannst du also über die Eigenschaften "Surjektivität", "Injektivität", "Bijektivität" aussagen?
12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Weiß leider nicht was du damit meinst.

Könnte man nicht so beginnen:

Der Satz (laut meinem Skriptum) lautet [...] A heißt invertierbar, falls es eine Matrix B mit A*B = B*A = E (Einheitsmatrix) gibt.

Ich hätte dann so begonnen:
Seien A1 und A2 invertierbar. So gibt es dann Die Matrizen B1 und B2 sodass A1*B1 = B1*A1=E und A2*B2=B2*A2=E
Dann gilt (A1*A2)*(B1*B2)=A1*(A2*B2)*B1=A1*B1*E
Und daraus folgt dass A1 und A2 invertierbar sind.

Wäre dies eine zulässige Variante?
Ich weiß eben nicht ob ich A1, A2 verwenden darf?

lg 12345
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Satz (laut meinem Skriptum) lautet [...] A heißt invertierbar, falls es eine Matrix B mit A*B = B*A = E (Einheitsmatrix) gibt.


Das stimmt schon. Aber ich glaube nicht, dass das dir hier weiterhilft.

Schau dir doch deinen "Beweis" mal an. Ich betone mal, von was du ausgegangen bist und was du gezeigt hast:

Zitat:

Ich hätte dann so begonnen:
Seien A1 und A2 invertierbar. So gibt es dann Die Matrizen B1 und B2 sodass A1*B1 = B1*A1=E und A2*B2=B2*A2=E
Dann gilt (A1*A2)*(B1*B2)=A1*(A2*B2)*B1=A1*B1*E
Und daraus folgt dass A1 und A2 invertierbar sind.


Im Endeffekt hast du also nichts neues gezeigt.

Hmm... verwirrt
Also, wenn du nicht weisst, dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn die durch sie definierte lineare Abbildung bijektiv ist (bzw. gleichwertig auch "wenn sie vollen Rang hat"), dann wirds schwierig, bzw. dann kann ich dir wohl nicht weiterhelfen, tut mir Leid.

Vielleicht findet sich ja jemand anderes?

Ratlose Grüsse. Wink
12345 Auf diesen Beitrag antworten »

OK!

...bijektiv, ja schon klar, bin auf der Leitung gestanden.
Hammer

Könntest du mir vielleicht deinen Ansatz anschreiben?

lg 12345
12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist mir grad noch eine Idee gekommen.

Und wenn man damit beginnt zu beweisen dass eine inverse Matrix existiert dann folgt sofort daraus dass die Matrix invertierbar ist
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Könntest du mir vielleicht deinen Ansatz anschreiben?


Der Ansatz ist, wie oben schon angeführt. Zeige: Die Voraussetzungen, welche man an A in der Aufgabe stellt, implizieren, dass die durch A definierte Abbildung bijektiv ist.
nils mathe lk hems Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde so ansetzen...

da die spalten alle linear unabhängig sind, ist die determinante ungleich 0. folgt über die formel.




dass es eine inverse gibt, da es immer eine adjungierte gibt...
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich würde so ansetzen...

da die spalten alle linear unabhängig sind, ist die determinante ungleich 0. folgt über die formel.




dass es eine inverse gibt, da es immer eine adjungierte gibt...



Das geht natürlich auch... Einfach den Cramer ranlassen.
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