Volumen und Integration über Differentialformen

21.08.2010, 20:23	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen und Integration über Differentialformen Hi, in der VL hatten wir folgende Def.: Sei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine orientierte Riemansche Mannigfaltigkeit, $\begin{eqnarray} A \subseteq M \end{eqnarray}$ messbar, dann heißt $\begin{eqnarray} vol (A) = \int_A w_M \end{eqnarray}$ das Volumen von A, falls es existiert. 1. Frage: Ich betrachte den $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ . Dieser lässt sich als Untermannigfaltigkeit vom $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ auffassen, kann ich dann also statt $\begin{eqnarray} w_{S^2} \end{eqnarray}$ genauso $\begin{eqnarray} w_{R^3} \end{eqnarray}$ als kanonische Vol-form nehmen und es kommt das gleiche raus, und wenn ja wieso? 2. Frage: Als Beispiel kam danach der $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ mit kanon. Vol-form $\begin{eqnarray} sin(\theta)d\theta\wedge d\phi \end{eqnarray}$ . Dann soll gelten: $\begin{eqnarray} \int_{S^2}w_{S^2} = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi sin(\theta)d\theta d\phi \end{eqnarray}$ Sieht zwar gut aus, doch wir hatten auch die Def.: Sei M eine orient. Man.f., (U,h) eine orient.erhaltende Karte, $\begin{eqnarray} \phi =h^{-1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A \subseteq U \end{eqnarray}$ sodass h(A) messbar, dann ist: $\begin{eqnarray} \int_A w := \int_{h(A)} \phi^w \end{eqnarray}$ . Zur Frage: Was ist in dem oberen Beispiel mit $\begin{eqnarray} \phi^* \end{eqnarray*}$ passiert? Denn der Integrand hat sich ja nicht verändert, aber nach der letzten Definition muss es ja im rechten Integral auftauchen... Bin für jede Hilfe dankbar.
22.08.2010, 12:02	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage 2 anders formuliert: Wie berechne ich genau $\begin{eqnarray} vol(S^2) \end{eqnarray}$ mit Hilfe der kanonischen Volumenform $\begin{eqnarray} w_{S^2} \end{eqnarray}$ , also wie sieht die Rechnung aus?
24.08.2010, 15:09	Kurvenliebhaber	Auf diesen Beitrag antworten »
hat sich inzwischen erledigt

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »