Integralrechnung - Extrema im Zeitintervall

21.08.2010, 21:26

Whitis

Integralrechnung - Extrema im Zeitintervall

Meine Frage:
i)
Betrachte den Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{3} \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist ein zwei Monate umfassendes Zeitintervall, in dem die größte Wassermenge durch den Fluss fließt.

Meine Ideen:
Irgendwo scheint sich in meiner Rechnung der Fehlerteufel eingeschlichen zu haben, vielleicht findet ihr ihn ja.

$\begin{eqnarray*} \int_t^{t+2} \! (\frac{1}{4} x³ - 3x² + 9x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{16} x^{4} -x³+4,5x²\right]_{t}^{t+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{16}(t+2)^{4} - (t+2)³ + 4,5(t+2)² - (\frac{1}{16}t^{4} -t³ + 4,5t²) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{16}(t^{4} + 8t³ + 24t² + 32t + 16) - (t³ + 6t² + 12t + 8) + 4,5(t² + 4t + 4) - \frac{1}{16} t^{4} + t³ - 4,5t² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} t^{4} + \frac{1}{2} t³ + \frac{3}{2} t² + 2t + 1 - t³ + 6t² + 12t + 8 + 4,5t² + 18t + 18 - \frac{1}{16} t^{4} + t³ - 4,5t² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} t³ + 7,5t² + 32t + 27 \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.

$\begin{eqnarray*} A(t) = \frac{1}{2} t³ + 7,5t² + 32t + 27 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A'(t) = \frac{3}{2} t² + 15t + 32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A''(t) = 3t + 15 \end{eqnarray*}$

Extrema
Notwendige Bedingung
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{3}{2} t² + 15t + 32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_{1} = -3,085145784 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_{2} = -6,914854216 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis finde ich schon seltsam, es müsste doch ein positives Ergebnis sein, oder nicht? Das t steht ja schließlich für einen Tag, einen der nicht in der Vergangenheit liegt.

Hinreichende Bedindung
$\begin{eqnarray*} f''(-3,09) = 5,73<br /> f''(-6,91) = -5,73 \end{eqnarray*}$
Also ist der zweite Wert das augenscheinliche Maximum.
Wenn ich das aber einsetze, kommt da ein Wert um die -500 heraus.

Ich hoffe ihr könnt mir da helfen.

Anbei übrigens ein Bild des Graphen

[attach]15798[/attach]

EDIT: Latex verbessert (keine Zeilenschaltungen im Code), (klarsoweit)

21.08.2010, 22:35

Gualtiero

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RE: Integralrechnung - Extrema im Zeitintervall
Ich glaube, der Schlüssel zu dieser Aufgabe liegt im Satz unter d):
Begründe, ob die Funktionen auch nach den ersten 8 Monaten noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.

Es ist leicht zu sehen, dass die Funktionen - grob ausgedrückt - aus dem negativen Unendlichen kommen und ins positive Unendliche streben, sowohl was x als auch f(x) angeht. Daher bringt eine Suche nach einem zweimonatigen Intervall mit extremer Durchflussmenge nichts, da dieses nach meinem Verständnis im Unendlichen liegen muss, der Wasserstand eines Flusses aber klimatisch bedingt einem zwölfmonatigen Zyklus folgt.
Mehr kann ich leider zu dieser Aufgabe nicht sagen.

Nur noch ein Hinweis (für die Zukunft): Das Bild hast Du richtig angehängt, aber leider ist es - jedenfalls für mich - sehr unscharf. Wenn Du es nicht schärfer hinkriegst, kannst Du Dir zur Darstellung eines Funktionsgraphen mit der Funktionsanalyse aus den Mathetools oder mit dem Funktionen-Plotter (beides unter "Werkzeuge" rechts) helfen.
Und der Text einer Aufgabe ist ohnehin schnell abgetippt.

21.08.2010, 22:54

Whitis

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Das Bild war ansich nur dafür gedacht, dass ihr seht wie der Graph verläuft, was mir denke ich auch gelungen ist (immerhin konntest du sogar den Text daneben lesen, was ich ehrlich gesagt kaum kann).
Habe es auch versucht im hiesigen Plotter einzugeben, aber da kommt etwas ganz anderes als das heraus, was man auf meinem Foto sieht.
Hab jetzt einfach von einer anderen Seite den Plotter genommen, siehe Anhang.

Die Aufgabenstellung habe ich ja im ersten Satz (ab)geschrieben.

Zu deiner Erklärung in Bezug zu d) kann ich leider nichts sagen.
Ich ging nicht davon aus, dass das irgendetwas damit zu tun hat hm.

Habe aber nun doch den leisen Verdacht, dass da vielleicht was dran ist, denn für die Aufgabe gab es nur 4 Punkte (und das ist bei der "langen" Rechnung die ich veranstaltet habe, vorallem im Verhältnis zu anderen Aufgaben, sehr wenig).

Auch wenn ich mit deiner Erklärung als Antwort leider nicht all zu viel anzufangen weiß

[attach]15799[/attach]

22.08.2010, 18:49

mYthos

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RE: Integralrechnung - Extrema im Zeitintervall

Zitat:

Original von Whitis
...
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{16}(t^{4} + 8t³ + 24t² + 32t + 16) - (t³ + 6t² + 12t + 8) + 4,5(t² + 4t + 4) - \frac{1}{16} t^{4} + t³ - 4,5t² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} t^{4} + \frac{1}{2} t³ + \frac{3}{2} t² + 2t + 1 - t³ + 6t² + 12t + 8 + 4,5t² + 18t + 18 - \frac{1}{16} t^{4} + t³ - 4,5t² \end{eqnarray*}$
...
Soweit so gut.
...

Soweit, so schlecht Big Laugh

Fällt dir auf, dass du das Minus vor der Klammer zum Großteil nicht berücksichtigt hast?

mY+

22.08.2010, 19:39

Whitis

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Ah, super danke wiedermal.

Kam nun auf ein schönes Intervall der Monate 1 bis 3, wo am meisten Wasser fließt. Passt auch vom Sinn her zum Verlauf des Graphen.

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