Poissonverteilung und Zentraler Grenzwertsatz

22.08.2010, 10:50	Pseudomonas	Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung und Zentraler Grenzwertsatz Meine Frage: Hallo an alle, ich mache gerade ein Praktikum, bei dem ich mich mit der Messunsicherheit von mikrobiologischen Methoden beschäftige u.a. die Bestimmung der Bakterienzahl. Dazu wachsen die Bakterien in einer Agarschale heran und werden nach 24 h gezählt. Daraus schließe ich, dass die Bakterienzahl der Poissonverteilung entspricht (da Bestimmung ganzzahliger Größen pro Flächeninhalt). Es wird immer eine Dreifachbestimmung ducrhgeführt. Meine erste Frage: Wie berechnet man die Standardabweichung dieser Dreifachbestimmung. Meine zweite Frage: Was versteht man unter dem zentrale Grenzwertsatz der Statistik, der ja besagt dass, sich die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mehrerer Stichproben mit wachsendem Stichprobenumfang einer Normalverteilung annähert. Ab wann hat man den einen wachsenden Stichprobenumfang? Ich wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe, da ich im Moment alleine nicht mehr wirklich weiter weiß. Meine Ideen: Zur ersten Frage: BEi der Poissonverteilung berchnet man die Standardabweichung, indem man die Wurzel aus dem Mittelwert zieht, da der Mittelwert gleich der Varianz ist und die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist. Diese Standardabweichung sagt jedoch nichts aus über die Streuung meiner drei Wert, da diese einzelnd ja nicht berücksichtigt werden, sondern nur als Mittelwert. Kann man also die übliche Formel für die Standardabweichung trotz der Poissonverteilung nutzen?????
22.08.2010, 13:17	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung und Zentraler Grenzwertsatz Anmerken möchte ich, dass man daraus das es eine diskrete Anzahl an Bakterien sein wird, nicht darauf schließen sollte das es sich dabei um eine Poisson-Verteilung handelt. Auch wenn man diese gerne verwendet, u.a. auch weil die Poisson-verteilung für die binomialverteilung eine gute approximation liefert. Aber wenn du eh den zentralen grenzwertsatz verwendest, dann kann man sich die daraus resultierende Fehlerfortsetzung sparen. Zur Dreifachbestimmung: Ich hab keine Ahnung was das ist. Zum zentralen Grenzwert Satz: Zum einen musst du dir klar machen, was für eine Zufallsvariable du da betrachtest. Sind diese i.i.d.-Verteilt, so kannst du mal z.B. den Satz von Berry-Esseen anschauen und entscheiden ob der Fehler passabel ist oder nicht.
22.08.2010, 14:37	Pseudomonas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung und Zentraler Grenzwertsatz Vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich habe in einigen Büchern gelesen, dass die Bestimmung der Bakterienzahl der Poissonverteilung folgt. Leider wird das ganz dort nicht weiter erläutert. Vielleicht werde ich einfach mal den Chi- Quadrat- Anpassungstest verwenden. Zur Dreifachbestimmung: Von der selben Grundgesamtheit wird 3 x bestimmt wieviele Bakterien sich in ihr befinden. Ich weiß eben nich, ob ich den zentralen Grenzwertsatz anwenden darf. Kann man das irgendwie feststellen? Die Zufallsvariable ist bei mir dann wohl die Bakterienzahl. Diese ist unabhängig und auch gleich verteilt.
22.08.2010, 18:28	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung und Zentraler Grenzwertsatz Nun, da du i.i.d.-ZVen hast und wie ich vermuten möchte diese sowohl einen endlichen Erwartungswert als auch eine endliche Varianz, so erhält man für - $\begin{eqnarray} \infty \leq a < b \leq \infty \end{eqnarray}$ , via zentraler Grenzwertsatz, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P \left( \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - \mu}{\sqrt{\sigma^2 n}} \in [a,b] \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b e^{\frac{-x^2}{2}} dx \end{eqnarray}$ Der Satz von Berry-Esseen besagt, dass wenn zusätzlich $\begin{eqnarray} \gamma := E(\|X_1 - \mu\|^3)<\infty \end{eqnarray}$ , dass dann für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \sup_{x \in \mathbb R} \|P \left( \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - \mu}{\sqrt{\sigma^2 n}} < x \right) - \Phi(x)\| \leq \frac{8\gamma}{10\sigma^3 \sqrt{n}} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ die standartnormalverteilung ist. -------------------------------- Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann gibt es 3 unabhängige versuche, also n=3. Wenn du dich also für eine Verteilung entschieden hast, dann kannst du wie bereits gesagt mit dem Satz von Berry-Esseen eine obere Fehlerschranke berechnen und selbst entscheiden ob dieser passabel ist oder nicht.
23.08.2010, 20:51	Pseudomonas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poissonverteilung und Zentraler Grenzwertsatz das sieht ja kompliziert aus, glaube dafür reichen meine statistik kenntnisse nicht aus. ich glaube ich werde mit meinen daten erst mal den test auf normalverteilung nach david machen. wenn dann raus kommt, dass sie normalverteilt sind ist ja alles gut und ich weiß wie ich weiter machen kann. wenn nicht dann werde ich mich wohl mit dem satz von berry esseen beschäftigen. Danke nochmal!

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