Konvergenzbereich einer Potenzreihe

22.08.2010, 11:30

Benny87

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Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich hoffe einer voneuch kann mir kurz helfen:

Ich soll den Konvergenzbereich folgender Potenzreihe ermitteln.

1+ 1/2*x + 1/4*x^2 + 1/8*x^3+...

Habe dafür nun das allgemeine Glied aufgestellt :

a = 1/2^(n-1) * x^(n-1)

Um den Konvergenzbereich zu ermitteln müsste ich doch nun den Konvergenzradius ermitteln. Aber ich bekomme dafür irgendwie 0 raus..
Is das richtig??
Dann wäre der Konvergenzbereich doch +- x0

(sorry für die schreibweise)

Meine Ideen:
Habe dafür nun das allgemeine Glied aufgestellt :

a = 1/2^(n-1) * x^(n-1)

Um den Konvergenzbereich zu ermitteln müsste ich doch nun den Konvergenzradius ermitteln. Aber ich bekomme dafür irgendwie 0 raus..
Is das richtig??
Dann wäre der Konvergenzbereich doch +- x0

(sorry für die schreibweise)

22.08.2010, 12:16

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
Wink

Wink

welcome im matheboard,
dein $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{2^{n-1}};n \in \mathbb N\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ ist richtig, wir betrachten nun $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ um den konvergenzradius zu bestimmen.
existiert dieser grenzwert und sind die koeffizienten a_n von 0 verschieden so ist er gleich dem konvergenzradius.

dann kann man den konvergenzbereich durch den radius um den entwicklungspunkt angeben, beachte nur, die ränder noch zu betrachten, über die kann vorher keine aussage gemacht werden.

edit: ach so, $\begin{eqnarray*} \rho=0 \end{eqnarray*}$ ist falsch.

22.08.2010, 12:38

Benny_87

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
Mein $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n} }{a_{n+1} } \end{eqnarray*}$ müsste dann doch folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x^{n-1}}{2^{n-1}}}{\frac{x^{n}}{2^{n}}} \end{eqnarray*}$

gekürzt wäre das dann doch nur noch:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

sodass ich einen Grenzwert von 0 herausbekomme oder?

22.08.2010, 12:42

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
du hast eine potenzreihe vorliegen, diese ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_k (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ .
nun bestimmst du $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{k} }{a_{k+1} } \end{eqnarray*}$ .

in diesem fall sieht das a_k wie aus?

22.08.2010, 12:58

Benny_87

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2^{n-1}}}{n!} \end{eqnarray*}$ ?

22.08.2010, 13:02

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Zitat:

Original von Benny_87
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2^{n-1}}}{n!} \end{eqnarray*}$ ?

wie kommst du darauf?

wenn $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ ist mit k=n-1
wie sieht dann $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ aus?

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22.08.2010, 13:08

Benny_87

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

In diesem Fall wäre mein radius ja gleich 2

22.08.2010, 13:35

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
genau, jetzt noch die konvergenz an den rändern untersuchen und den konvergenzbereich bestimmen.

22.08.2010, 13:53

Benny_87

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
Die einzige Formel, die ich zum Konvergenzbereich gegeben habe ist:

$\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ - r bwz. $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ +r

aber da ich in dieser Aufgabekeinen Entwicklungspunkt gegeben habe weiß ich nicht wie ich den Bereich berechnen soll...

in der Aufgabe steht Hinweis:summenformel

22.08.2010, 15:08

Benny_87

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
Hilfe unglücklich

unglücklich

22.08.2010, 16:31

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
wieso hast du keinen entwicklungspunkt gegeben?
dein entwicklunspunkt ist x_0:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_k \cdot (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ .

das a_k kennen wir bereits, wie sieht in deiner potenzreihe x_0 aus?

22.08.2010, 16:46

Benny_87

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
jo das weiß ich aber ich weiß nich woher ich wissen soll was x_0 ist...

22.08.2010, 16:47

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
naja, kann man recht leicht sehen:
$\begin{eqnarray*} (x-x_0)^k=x^k \end{eqnarray*}$

also ist x_0=?....

22.08.2010, 16:49

Benny_87

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
dann wäre x_0 = 0 aber woran sieht man das?

22.08.2010, 16:51

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
wie, woran sieht man das?
siehe meinen letzten post

nun musst du die ränder überprüfen....
weißt du, wie?

22.08.2010, 16:57

Benny_87

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
Die Ränder wären dann doch 2 ; -2

22.08.2010, 17:02

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
richtig, die reihe konvergiert also auf jeden fall im (offenen) intervall (-2,2), aber konvergiert si auch an den rändern?

22.08.2010, 17:10

Benny_87

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
muss die Ränder für x doch jetz einfach einsetzen und dann Quotientenkriterium?

22.08.2010, 17:56

Benny_87

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe
SO für heut is Feierabend daher hat sich das Thema für mich erstmal erledigt, da morgen schon die Klausur ist...

Vielen Dank Igrizu für deine Mühe :-)

Soryy wenn ich mich sehr dämlich angestellt habe...ende der KLausurphase...

22.08.2010, 19:27

lgrizu

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RE: Konvergenzbereich einer Potenzreihe

Zitat:

Original von Benny_87
muss die Ränder für x doch jetz einfach einsetzen und dann Quotientenkriterium?

zum beispiel...

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