Keilprodukt / Äußere Algebra: Vorstellung

22.08.2010, 18:19	rauschgold	Auf diesen Beitrag antworten »
Keilprodukt / Äußere Algebra: Vorstellung Hallo Leute, das Graßmann-Produkt bereitet mir so einiges Kopfzerbrechen, ich kann mir nicht wirklich vorstellen, wie das Keilprodukt so aussieht bzw. was ein Multiindex ist. Was mir klar ist: $\begin{eqnarray} x_1 \wedge ... \wedge x_n \end{eqnarray}$ ist unzerlegar, es ist also eine Art Einheit. Okay, wenn jetzt eben diese $\begin{eqnarray} x_1 \wedge ... \wedge x_n, x_i \in M \end{eqnarray}$ als Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray} \wedge ^{p} M \end{eqnarray}$ habe, das als R-Modul erzeugt wird. So lässt sich ja jedes $\begin{eqnarray} y \in M \end{eqnarray}$ schreiben als nicht-eindeutige Linearkombination dieser $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ und in meinem Skript steht $\begin{eqnarray} y = \sum\limits_{i=1}^p r_i {x_1}^i \wedge ... \wedge {x_p}^i, r_i \in R, {x_j}^i \in M \end{eqnarray}$ , das bedeutet ja, dass mein erster Basis"vektor", also für $\begin{eqnarray} i =1, {x_1}^1 \wedge ... \wedge {x_p}^1 \end{eqnarray}$ ist. Das ist mir schleierhaft: wo kommen diese i's her, was soll das bedeuten? Kann ich mir das als i-te / erste Komponente von $\begin{eqnarray} x_1 \wedge ... \wedge x_n \end{eqnarray}$ vorstellen (wenn ich das wie eine Art Vektor betrachte.). Dann haben wir noch da stehen: man kann jedes $\begin{eqnarray} y \in M \end{eqnarray}$ in der Form schreiben: $\begin{eqnarray} y = \sum\limits_{i=1}^p {r_i}_1 ... {r_i}_p {x_i}_1 \wedge ... \wedge {x_i}_p \end{eqnarray}$ . Ist das jetzt äquivalent zu obiger Schreibweise? Warum kann ich die Indizex $\begin{eqnarray} r_i \end{eqnarray}$ einfach vorziehen? Ist das ein Produkt der Indizes, also $\begin{eqnarray} {r_i}_1 ... * {r_i}_p \end{eqnarray}$ , die ich einfach aus dem Keilprodukt (per Def.) nach vorne ziehen kann? Ich würde mir das irgendwie gerne strukturierter vorstellen, wie bei Vektoren, wo einfach $\begin{eqnarray} y = \sum\limits_{i=1}^p \lambda_i v_i = \lambda_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + ... + \lambda_n \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist. Geht das? Diese i's bringen mich total durcheinander, da oben im Keilprodukt. Wäre nett, wenn mir das jemand näherbringen könnte! Danke!
23.08.2010, 10:29	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Keilprodukt-Formalismus hat seine ursprüngliche Motivation in der Verallgemeinerung des Begriffes "Fluss durch eine Fläche": Wenn ein Luftstrom mit der Stromdichte j senkrecht durch eine rechteckige Öffnung der Breite a und Länge strömt, dann ist der Fluss gerade das Produkt $\begin{eqnarray} F=j\cdot a\cdot b \end{eqnarray}$ Unter "Fluss" verstehen wir die Menge, die pro Zeit durch die Öffnung strömt. Formal stimmt der Fluss also mit dem Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen j, a, b überein. Wir verallgemeinern dies: Hat man eine parallelogrammförmige Öffnung, die durch die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b \end{eqnarray}$ aufgespannt wird, und eine Stromdichte $\begin{eqnarray} \vec j \end{eqnarray}$ , die in beliebigem Winkel durch das Parallelogramm strömt, dann ist auch hier der Fluss gerade das Volumen des durch die 3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b, \vec j \end{eqnarray}$ aufgespannten Spates. Dieses Volumen ist gerade die Determinante der beteiligten Vektoren. Der Fluss ist also $\begin{eqnarray} F=det(\vec j, \vec a, \vec b) \end{eqnarray}$ Das ist eine Verallgemeinerung der 1.Formel. Diese anschauliche Flussbegriff kann auf Räume beliebiger Dimension verallgemeinert werden. Man betrachtet dazu abstrakte Stromdichten, die von mehreren Vektoren aufgespannt werden. Als "durchströmte Fläche" werden dann abenfalls Flächen (Spate) beliebiger Dimension betrachtet. Beispiel: Betrachte im Raum der Dimension n=5 eine abstrakte Stromdichte, die von den m=2 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec A, \vec B \end{eqnarray}$ aufgespannt wird. Diese Stromdichte strömt durch eine eine abstrakte Fläche, die von den n-m=3 Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b, \vec c \end{eqnarray}$ aufgespannt wird. Der zugehörige Fluss ist - wie oben - das Volumen des 5-dimensionalen Spates, der von den beteiligten Vektoren $\begin{eqnarray} \vec A, \vec B \vec a, \vec b, \vec c \end{eqnarray}$ aufgespannt wird, also $\begin{eqnarray} F=det(\underbrace{\vec A, \vec B}_{Stromdiche}, \underbrace{\vec a, \vec b, \vec c}_{Fl\ddot ache}) \end{eqnarray}$ Wir stellen nun die 5 Vektoren bezüglich der Standardbasis $\begin{eqnarray} \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3, \vec e_4, \vec e_5 \end{eqnarray}$ dar und können nach den Gesetzen über Determinanten die Koeffizienten vor die Determinante ziehen $\begin{eqnarray} F=\sum\limits_{g=1}^5\sum\limits_{h=1}^5\sum\limits_{i=1}^5\sum\limits_{j=1}^5\sum\limits_{k=1}^5A_gB_ha_ib_jc_k\cdot det(\vec e_{g},\vec e_{h},\vec e_{i},\vec e_{j},\vec e_{k}) \end{eqnarray}$ Offenbar kann darin die Determinante nur die drei Werte 0, +1, -1 annehmen, was das alternierende Vorzeichen liefert. Durch weitere elementare Umformungen mit Hilfe der Determinantengesetzen kann man dies so schreiben, dass eine 2x2- und eine 3x3-determinante auftreten $\begin{eqnarray} F=\sum\limits_{i=1}^5\sum\limits_{j=1}^5\sum\limits_{k=1}^5\underbrace{\left (\sum\limits_{g=1}^5\sum\limits_{h=1}^5\frac{1}{2!}\begin{vmatrix} A_g & A_h \\ B_g & B_h \end{vmatrix} \cdot det(\vec e_{g},\vec e_{h},\vec e_{i},\vec e_{j},\vec e_{k})\right )}_{Stromdichte\,\,j_{ijk}} \cdot \frac{1}{3!} \underbrace{\begin{vmatrix} a_i & a_j & a_k \\ b_i & b_j & b_k \\ c_i & c_j & c_k \end{vmatrix}}_{Fl\ddot ache\,\,A_{ijk}} \end{eqnarray}$ Der große Vorteil dieser Schreibweise ist, dass man den Fluss - wie im anschaulichen Fall - also Produkt zweier mathematischer Objekte darstellt hat, also "Fluss=Flussdichte mal Fläche". Hier also speziell $\begin{eqnarray} F=\frac{1}{3!}\sum\limits_{i=1}^5\sum\limits_{j=1}^5\sum\limits_{k=1}^5 j_{ijk}A_{ijk} \end{eqnarray}$ Bei gekrümmten Flächen muss man die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b, \vec c \end{eqnarray}$ durch die Differentiale $\begin{eqnarray} da_1,db_j,dc_k \end{eqnarray}$ ersetzen, so dass die letzte Formel gerade zum "Keilprodukt" wird. Physikalisch kann man das Keilprodukt also als Fluss durch eine differentiell kleine, abstrakte Fläche interpretieren. Der Fluss durch die gesamte Fläche ist gerade das Intergral über diese Fläche. Fazit: Man kann das Keilprodukte mit dem Begriff "Fluss durch eine Fläche" begründen und mit Determinanten ausdrücken. Solche Sachen kommen z.B. in der 4-dimensionalen Raumzeit der Relativitätstheorie vor.
23.08.2010, 16:07	rauschgold	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Keilprodukt / Äußere Algebra: Vorstellung Danke, du hast dir ja richtig viel Mühe gemacht! So eine anschauliche Erklärung hatte ich gar nicht erwartet ... aber so wird die Sache natürlich wesentlich konkreter! Vielen vielen Dank!

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