Integration gebrochener Funktion |
| 22.08.2010, 19:00 | Aisbaer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Integration gebrochener Funktion habe diese Funktion in Wolfram eingegeben: integral von ((1)/(x^3 + 2x^2 + 3))dx und dann bringt er mir irgendwas mit rootsum und so komischen rauten. Heisst des das dieses unbestimmte integral nicht lösbar ist? schonmal danke im vorraus Aisbaer |
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| 22.08.2010, 19:12 | tobsen02 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lösbar ist es schon, allerdings nur in den komplexen Zahlen. |
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| 22.08.2010, 19:16 | Aisbaer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sollte doch normal auch ohne komplexe nullstellen lösbar sein? weil die nennerfunktion hat ja ne nullstelle dann kann ich partialbruchzerlegung machen und ich hab einen teil der ganz einfach zu lösen ist und einen teil mit (Ax+B)/(ax²+bx+c) oder? und die beiden teile sollten ja lösbar sein oder? ich kriegs nur leider nicht hin und wolfram bringt hald so komisches zeug. |
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| 22.08.2010, 19:54 | tobsen02 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist im Prinzip möglich, es mittels Partialbruchzerlegung zu lösen, allerdings ist das sehr mühselig, denn da kann man nicht einfach mit einer genäherten Nullstelle den Bruch zerlegen. Und wenn du mit der exakten Nullstelle eine Partialbruchzerlegung durchführen willst: Viel Spaß 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3Dx^3%2B2x^2%2B3 |
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| 22.08.2010, 20:17 | Aisbaer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok des heisst wolfram zeigt so komisches zeug weil die nullstelle nicht exact bestimmt werden kann? |
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| 22.08.2010, 20:26 | tobsen02 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ähnlich könnte man es sagen, ja. |
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| 23.08.2010, 08:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Integration gebrochener Funktion
Hast du dir diese Aufgabe ausgedacht oder wo kommt das Ding her? |
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| 23.08.2010, 09:58 | Aisbaer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja ausgedacht brauch paar aufgaben für meine seminararbeit welche die form integral von 1/(ax³+bx²+cx+d) haben und höhere nennergrade... wobei der nenner keine nullstellen liefert hab mir gedacht ich denk mir da selber welche aus.... xD aber wie ich sehe ist das leider garnicht so einfach... |
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| 23.08.2010, 10:12 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Integration von gebrochen rationalen Funktionen ist eigentlich recht einfach. Zuerst zerlegt man den Nenner in irreduzible Polynome. Da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt gibt es mindestens eine reelle Nullstelle x1. Durch "Wegdividieren" dieser Nullstelle erhält man ein Polynom 2. Grades. Mit Vieta kann man prüfen ob dieses Polynom weitere Nullstellen hat. Dann zerfällt es in zwei Linearfaktoren. In deinem Fall ist das leider nicht der Fall ... deshalb verbleibt ein irreduzibles Polynom 2. Grades. Der Nennen hat jetzt folgendes Aussehen. x³+2x²+3 = (x-x1) * (x²+ax+b) Mit Partialbruchzerlegung kann man dein Integral dann wie folgt umformen = A / (x-x1) + Bx / (x² + ax + b) + C / (x² + ax + b) Diese drei Brüche lassen sich jetzt integrieren ... Der erste Bruch liefert A*ln(x - x1) Beim zweiten Bruch hat man ein Integral vom Typ g'(x) / g(x) und das liefert c*ln(x² + ax + b) Das verbleibende dritte Integral bringt man durch quadratische Ergänzung und Substitution auf den Typ 1/(x² + 1) und das liefert dann d*arctan(...). Ein einfaches Rechenprogramm. Aber das wird leider sehr erschwert weil die reelle Nullstelle "krumm" ist, nämlich x1 = -2,3593... Na, dann man viel Spaß bei der Polynomdivision und den anschließenden Rechenschritten ... Deshalb hat mein Vorredner dann auch kritisch nachgefragt, wo du denn DIESE Aufgabe her hast. Oder hast du dich etwa verschrieben ... 
Grüße EDIT: sehe gerade, dass du dir diese Aufgabe selbst ausgedacht hast. Na, dann ändere das Ding eben ab. Entweder wählst du als Nenner ein Polynom, das drei ganzzahlige Nullstellen hat. Dann wird die Aufgabe sehr leicht. Oder du sorgst dafür, dass wenigstens die erste und einzige Nullstelle ganzzahlig ist. Dann werden die oben beschriebenen Rechnungen wesentlich einfacher. |
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