Grenzfunktion einer Funktionenreihe, gleichmäßige Konvergenz widerlegen... - Seite 2

25.08.2010, 13:43

klarsoweit

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\left\{ | 1^{n} - \frac{1}{2^{n}}| \right\} \end{eqnarray*}$

Wie bist du jetzt darauf gekommen? verwirrt

Und bitte laß mal die Zeilenschaltungen im Latexcode weg. Im Internetexplorer sieht das fürchterlich aus.

25.08.2010, 13:52

nils mathe lk hems

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zu erst die zeilenschaltunen sind die <br\> geschichten ne?
habs mir grad mal angeschaut ^^
seh das nicht, wegen firefox... achte in zukunft darauf!

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\left\{ | 1^{n} - \frac{1}{2^{n}}| \right\} \end{eqnarray*}$

so auf das komm ich, weil irgendwann muss ich doch auch mal die grenzen vom $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [0,1]} \end{eqnarray*}$ einsetzen oder?

ich hab jetzt einfach wie beim integrieren obere minus untere grenze gerechnet...
also ich schätze mal das is so falsch auch wegen meinem ergebnis...
naja wie gehts denn richtig?

25.08.2010, 14:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\left\{ | 1^{n} - \frac{1}{2^{n}}| \right\} \end{eqnarray*}$

so auf das komm ich, weil irgendwann muss ich doch auch mal die grenzen vom $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [0,1]} \end{eqnarray*}$ einsetzen oder?

ich hab jetzt einfach wie beim integrieren obere minus untere grenze gerechnet...

Da liegst du ja völlig daneben. Das Supremum einer Menge ist die kleinste obere Schranke einer Menge. Weiteres findest du auf:
http://de.wikipedia.org/wiki/Supremum

25.08.2010, 14:13

nils mathe lk hems

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oh okay...
das is natürlich etwas ganz anderes ^^
also hinter dieser formel verbirgt sich echt ganz schön viel -.

wie verfahre ich denn dann mit dem hier weiter?
ergibt das ganze ein supremum (also obere grenze) im bereich [0,1] auf der x-achse?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left\{ \sup_{x \in [0,1]}| -\left(\frac{1}{1+x^{2}} \right) ^{n} | \right\} \end{eqnarray*}$

erstmal kann ich ja durch den betrag das minus streichen oder?
sonst fällt mir danach nix ein, wie das weitergehen soll...

25.08.2010, 19:37

nils mathe lk hems

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ne frage spielt es überhaupt eine rolle dieses supremum?
wenn ja welche?
nächster punkt:
das supremum im intervall [0,1] dieser reihe ist doch 1 oder?
wenn das so richtig ist, was bringt mir das?

25.08.2010, 21:18

system-agent

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Das Supremum spielt hier die wichtige Rolle als dass man damit die gleichmässige Konvergenz nachweist.

Ja, das Minus kannst du vergessen. Beachte, dass $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ein kompaktes Intervall ist, das heisst das Supremum wird von deiner stetigen Funktion angenommen. Deshalb könntest du zb. auch einfach das Maximum von dieser Funktion auf dem Intervall ausrechnen und dann nimmst du den Limes.

25.08.2010, 22:48

nils mathe lk hems

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also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, wird dadurch, dass die funktion stetig in dem intervall stetig ist angenommen, dass es ein supremum gibt?
weshalb ich ein maximum ausrechnen könnte ( das da wäre und wie kann ich das ausrechnen? ) und danach kann ich den limes nehmen was heißt, dass in dem maximum ein n stecken muss...

dazu muss ich jetzt sagen, dass vllt das problem an der ganzen sache is, dass die funktion nicht stetig ist!
die funktion ist für x=0 auch 0 und nur für x ungleich 0 gibt es diese ganzen rechnungen...
die aufgabe war a) zu zeigen, dass die funktionenreihe punktweise konvergiert und die grenzfunktion f(x) anzugeben und b) zu zeigen, dass sie im Intervall [0,1] nicht gleichmäßig konvergiert...
über die stetigkeit hätte ich das schon längst widerlegt aber ich suche immernoch an der lösung, wie ich das anhand der formel mit dem

lim n->infinite sup... bestimmen kann.

und diese f_n(x)-f(x) in dem betrag ergibt ja eine stetige funktion oder?

und ich weiß jetzt nicht ob das so sein soll, aber wenn ich diese funktion gegen den limes laufen lasse, dann wird sie zu 0, was heißt, dass sie gegen f gleichmäßig konvergent ist.

25.08.2010, 23:17

system-agent

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ stetig [sogar auch mit dem Minus und den Beträgen], und zwar für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Und nein, ich nehme hier nichts einfach an. Jede stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge immer ihr Minimum und Maximum an. Das ist ein Satz.

Und du kannst doch sicher das Maximum einer Funktion berechnen. Der wesentliche Hinweis hier ist, dass der Betrag das Minuszeichen eliminiert und das Resultat ist sogar eine differenzierbare Funktion. Nun wie bestimmt man da Hochpunkte?

Natürlich hängt dieser im Allgemeinen von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab. Ob er das hier auch tut, zeigt eine Rechnung.

Übrigens dein letzter Satz ist irgendwie sinnfrei verwirrt

26.08.2010, 06:04

tmo

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Warum wird denn mein Hinweis, einfach mal $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ einzusetzen, völlig ignoriert? verwirrt

Wer gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen betrachtet, kennt doch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e \end{eqnarray*}$ mit Sicherheit schon. Und damit wäre die Aufgabe sofort erledigt, wenn man noch in der Lage ist, die richtigen Schlüsse zu ziehen.

26.08.2010, 07:42

klarsoweit

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@tmo: ich bin bewußt nicht auf deinen Hinweis eingegangen, weil es mir erstmal darum ging, daß nils sich mit der Definition der gleichmäßigen Konvergenz auseinandersetzt. Du siehst auch an seinen Problemen (was ist ein Supremum?), daß das durchaus Sinn macht.

@system-agent: wir haben es hier leider mit dem Problem zu tun, daß $\begin{eqnarray*} |f_n(x) - f(x)| \end{eqnarray*}$ auf [0; 1] nicht stetig ist, da f(x) = 0 für x=0 und f(x) = 1 + x² für x ungleich Null ist. Unterm Strich ändert das am Supremum nichts, aber die Argumentation mit stetiger Funktion auf kompakten Intervall ist so nicht stimmig.

26.08.2010, 09:23

nils mathe lk hems

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ich will zu aller erst mal sagen, dass ich echt sau dankbar bin, dass ihr mir hier so helft!

also das $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ hab ich mal für mich eingesetzt...
dann bekomm ich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left\{ \sup_{x \in [0,1]}| -\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n} } \right) ^{n} | \right\} \end{eqnarray*}$

wäre 1/e
aber ich weiß nurnmal nicht, was ich erstmal mit dem sup machen soll und das kommt doch noch vor dem supremum
das hab ich immernoch nicht gecheckt unglücklich

gewählt hast du das $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ , weil du gesehen hast, dass man so die e-funktion bilden kann...?

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n \end{eqnarray*}$ also das maximum von dem dem intervall [0,1] muss doch 1 sein oder?
insgesamt geht das ding im negativen ins plus unendliche...
und im positiven gegen 0

26.08.2010, 09:40

klarsoweit

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Es geht hier um 2 verschiedene Ansätze. Beide führen mit unterschiedlichen Ergebnissen zum Ziel. Es macht aber keinen Sinn, beide Ansätze gleichzeitig zu verfolgen.

Also entweder bildest du $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left\{ \sup_{x \in (0,1]}|\left(\frac{1}{1+x^2} \right)^n | \right\} \end{eqnarray*}$ direkt

oder du nutzt die Beziehung $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left\{ \sup_{x \in (0,1]}|\left(\frac{1}{1+x^2} \right)^n | \right\} \geq \lim_{n \to \infty } \left\{ \sup_{x_n}|\left(\frac{1}{1+x_n^2} \right)^n | \right\} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Beachte, daß ich das Supremum auf (0; 1] bilde.

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
aber ich weiß nurnmal nicht, was ich erstmal mit dem sup machen soll und das kommt doch noch vor dem supremum

Mit der Supremumsbildung hast du es wirklich nicht.

Es ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x_n}|\left(\frac{1}{1+x_n^2} \right)^n | = \left(\frac{1}{1+ \frac 1 n} \right)^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n \end{eqnarray*}$ also das maximum von dem dem intervall [0,1] muss doch 1 sein oder?

Ja, aber nicht das Maximum, sondern das Supremum.

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
insgesamt geht das ding im negativen ins plus unendliche...
und im positiven gegen 0

Hää?

26.08.2010, 09:50

nils mathe lk hems

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öhm vergiss das am ende...
ich wollte sagen, dass diese funktion, wenn man sie plottet so verläuft

zum supremum
das supremum ist doch der punkt, der höher ist als alle anderen punkte der reihe in dem intervall oder?
ich dachte das wäre gleichbedeutend mit dem maximum...

zu deine x_n reihe... weshalb bildest du es ohne null?
und warum darfst du dort einfach das x_n einsetzen aber in der anderen die 1 und 0 nicht?

26.08.2010, 09:57

system-agent

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
zum supremum
das supremum ist doch der punkt, der höher ist als alle anderen punkte der reihe in dem intervall oder?
ich dachte das wäre gleichbedeutend mit dem maximum...

Es ist gleichbedeutend, wenn man das Supremum einer stetigen Funktion über ein kompaktes Intervall betrachtet.

Ich hatte nicht den ganzen Artikel gelesen und deshalb nicht beachtet, dass $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ unstetig in der Null ist. Sorry.

26.08.2010, 10:31

klarsoweit

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Zitat:

Maximum bedeutet, daß das Maximum auch erreicht wird. Das ist bei einem Supremum nicht notwendigerweise der Fall. Siehe die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$ . Da ist 1 das Supremum, aber kein Folgenglied ist jemals gleich 1.

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
zu deine x_n reihe... weshalb bildest du es ohne null?
und warum darfst du dort einfach das x_n einsetzen aber in der anderen die 1 und 0 nicht?

Zunächstmal betrachte ich das Intervall (0; 1], weil deine Rechnung mit der geometrischen Reihe eben nur für x ungleich 0 erlaubt ist. Für x=0 ist $\begin{eqnarray*} f_n(0) = f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und kann somit aus der Supremumsbetrachtung rausfallen.

Und bei der Sache mit der x_n-Folge wird das Intervall (0; 1] auf den Punkt x_n reduziert. Damit macht man eine Abschätzung des Supremums nach unten. Wie gesagt: man kann diesen Weg gehen, muß man aber nicht.

26.08.2010, 10:41

nils mathe lk hems

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kay das is mir jetzt zu kompliziert da noch ein neues kapitel aufzuschlagen ...

also ich würde gerne mit dem hier $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left\{ \sup_{x \in (0,1]}|\left(\frac{1}{1+x^2} \right)^n | \right\} \end{eqnarray*}$ weiter arbeiten.

dort hast du die null ja auch schon rausgenommen... is dann nicht das problem, dass man evtl eine gleichmäßige konvergenz nachweist, da ohne null wir ja eine stetige funktion hätten oder?

mal ne allgemeine frage: kann es sein, dass das hier so kompliziert und langwierig ist gerade weil die funktionenreihe eben nicht stetig ist und somit schon gar nicht gleichmäßig konvergieren könnte...?

geht es, dass eine funktion stetig auf dem intervall ist aber nicht gleichmäßig konvergiert, dass diese formel stetigkeit vorraussetzt?

26.08.2010, 11:22

tmo

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
geht es, dass eine funktion stetig auf dem intervall ist aber nicht gleichmäßig konvergiert, dass diese formel stetigkeit vorraussetzt?

Definiere $\begin{eqnarray*} f_n: [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} f_n(x) := \begin{cases}1, & \text{wenn }x > \frac{1}{n}\\4n^2\left(x-\frac{1}{2n}\right)^2, & \text{wenn }x \leq \frac{1}{n}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Alle $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ 's sind stetig, die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f=1 \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls stetig, die Konvergenz aber nicht gleichmäßig.

Als Übung könntest du versuchen alle 3 Behauptungen zu beweisen. smile

26.08.2010, 11:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
dort hast du die null ja auch schon rausgenommen... is dann nicht das problem, dass man evtl eine gleichmäßige konvergenz nachweist, da ohne null wir ja eine stetige funktion hätten oder?

Nochmal gaaanz langsam. Es geht erstmal um

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left\{ \sup_{x \in [0,1]}|f_n(x) - f(x)| \right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du die Funktionsterme für f_n(x) und f(x) einsetzen. Es ist aber f(x) = 1 + x² nur für x ungleich Null. Für x=0 ist f_n(0) = f(0) = 0 . Wir machen also das Supremum nicht kleiner, wenn wir nur das Intervall (0; 1] betrachten. Kleiner als Null kann es ja nicht werden.

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
mal ne allgemeine frage: kann es sein, dass das hier so kompliziert und langwierig ist gerade weil die funktionenreihe eben nicht stetig ist und somit schon gar nicht gleichmäßig konvergieren könnte...?

Die Funktionenreihe ist durchaus stetig. Es ist ja eine endliche Summe von stetigen Funktionen. Allerdings ist die Grenzfunktion f(x) nicht stetig. Darum kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
geht es, dass eine funktion stetig auf dem intervall ist aber nicht gleichmäßig konvergiert, dass diese formel stetigkeit vorraussetzt?

Die Formel setzt gar nichts voraus.

26.08.2010, 11:38

nils mathe lk hems

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okay, dass mit dem (0,1] ist mir jetzt schlüssig!

so um nun das supremum auszurechnen darf ich einfach 1 einsetzen (und für 0 z.B. ne folge wie 0+1/n einsetzen, welche ein wenig größer als null ist )
oder wie verfahre ich damit weiter?

wenn die null jetzt wegfällt ist ja mein erstes n=1 damit ist das maximum der folge 1/2 oder?
was wäre dann das supremum?

26.08.2010, 11:50

klarsoweit

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Jetzt sind wir anscheinend wieder bei $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in (0,1]}|\left(\frac{1}{1+x^2} \right)^n | \end{eqnarray*}$ angekommen. Ob das n=1 oder was auch immer betrachtet wird, ist in diesem Fall völlig belanglos. Ohne groß rumzurechnen, sieht man, daß $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{1+x^2} \right)^n \end{eqnarray*}$ auf (0; 1] kleiner als 1 ist, aber beliebig nahe an den Wert 1 rankommt. Was ist dann wohl das Supremum?

26.08.2010, 11:53

nils mathe lk hems

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1
würde ich dann mal sagen, aber was sagt mir das?
dass es dieses supremum gibt?

26.08.2010, 12:02

klarsoweit

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Nun ja, wenn man das Supremum bilden kann und sogar einen Wert (nämlich 1) angeben kann, dann gibt es das natürlich.
So, jetzt mußt du noch den Limes für n gegen unendlich bilden und dir dann nochmal die Definition der gleichmäßigen Konvergenz anschauen.

26.08.2010, 12:28

nils mathe lk hems

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also es reicht, dass die reihe $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in (0,1]}|\left(\frac{1}{1+x^2} \right)^n | \end{eqnarray*}$ ein supremum hat, damit ich sie danach gegen den limes laufen lassen kann? ohne daran etwas zu verändern?
oder muss ich dann für x etwas einsetzen?
man sieht auf jedenfall, dass die reihe danach, wenn 0<x<1 die reihe nicht gegen 0 geht
und für gleichmäßige konvergenz müsste sie das!

26.08.2010, 12:44

klarsoweit

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Langsam verzweifle ich. Egal, was ich auch mache, du kommst mit irgendwelchen wirren Fragen oder Aussagen zurück. geschockt

Nochmal noch gaaaaaaanz langsam:

Für jedes n aus N bildest du $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in (0,1]}|\left(\frac{1}{1+x^2} \right)^n | \end{eqnarray*}$ .

Das ist in jedem Fall eine von x unabhängige Zahl, die allenfalls noch von n abhängig sein kann.

Dadurch erhältst du eine Folge (nicht Reihe) von Suprema. In diesem speziellen Fall ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in (0,1]}|\left(\frac{1}{1+x^2} \right)^n | = 1 \end{eqnarray*}$ und somit besteht die Folge aus lauter 1sen.

Von dieser Folge bildest du den Grenzwert für n gegen unendlich, der bei einer Folge aus lauter 1sen eben gleich 1 ist.

Da nicht Null rauskommt, liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor.

26.08.2010, 12:54

nils mathe lk hems

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okay
das hab ich so verstanden und wollte es eigentlich auch so rüberbringen ^^

ich bin dir sehr dankbar dafür, dass dir so viel mühe gegeben hast und mir hier jetzt den 4ten tag bei der aufgabe hilfst!
ich denke aber, dass ich es jetzt echt verstanden habe soweit
werde mich nachher auch nochmal an das beispiel von tmo setzen.

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