Grenzfunktion einer Funktionenreihe, gleichmäßige Konvergenz widerlegen...

22.08.2010, 20:07

nils mathe lk hems

Grenzfunktion einer Funktionenreihe, gleichmäßige Konvergenz widerlegen...

Meine Frage:
die funktionenreihe lautet:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
klar ist, dass wenn x=0, dass dafür die grenzfunktion ebenfalls gleich 0 ist.

in der lösung steht nun, dass für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$

die grenzfunktion so lautet:

$\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$

das verstehe ich irgendwie gar nicht unglücklich

in einer anderen aufgabe kommen sie zu einer ähnlich für mich unverständlichen umformung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x*\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x*\sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{1}{(1+x^2)})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x*\frac{1}{1-\frac{1}{1+x^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{x}{\frac{x^2}{1+x^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1+x^2}{x} \end{eqnarray*}$

hier versteh ich noch die schritte 1-3 danach allerdings nichtmehr, wie die weiter umformen -.-

EDIT: Zeilenschaltungen im Latexcode entfernt (klarsoweit)

22.08.2010, 20:24

Mulder

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RE: Grenzfunktion einer funktionenreihe, punktweise konvergenz
Sagt dir die "geometrische Reihe" etwas? Klick

22.08.2010, 20:41

giles

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RE: Grenzfunktion einer funktionenreihe, punktweise konvergenz

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
Meine Frage:
die grenzfunktion so lautet:

$\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$

das verstehe ich irgendwie gar nicht unglücklich

Ist auch nicht zu verstehen, ist nämlich falsch. Die Grenzfunktion ist $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

Nutze für den ersten Teil Mulders Tipp und schreibe dazu $\begin{eqnarray*} y=1+x^2 \end{eqnarray*}$ , dann

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty n \frac{x^2}{(1+x^2)^n} = x^2 \sum_{n=1} ^\infty n y^{-n} = x^2 \sum_{n=1} ^\infty \left( \frac{d}{dy}(-y^{-n+1})+\frac{1}{y^n} \right) \end{eqnarray*}$

22.08.2010, 20:44

nils mathe lk hems

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du spielst jetzt auf die zweite aufgabe an schätze ich...

geometrische reihe ja
ich meine da stand auch was in der aufgabenstellung, dass man die zu hilfe ziehen soll aber ich habe bis gerade nich verstanden wie das gemeint war...

ich glaube es soll so sein oder?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{1}{1+x^2} )^n = \sum\limits_{n=0}^\infty q^n \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1+x^2} )^n = q^n \end{eqnarray*}$

und die grenzfunktion der geometrischen reihe lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

jetzt wird q rückeingesetzt und es kommt heraus

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

damit liege ich jetzt richtig denke ich ( sieht ja auch ganz ordentlich aus ^^)

dann wird bei dem bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\frac{1}{1-\frac{1}{1+x^2}}} \end{eqnarray*}$

erweitert

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

und übrig bleibt

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\frac{x^2}{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

alles soweit richtig?

ich probier mich mit dem gerade erworbenen wissen nochmal an der ersten aufgabe...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$

dort habe ich eben was ähnliches gefunden, wo ein n weggekürzt wurde im lim für die grenzfunktion
könnte mir hier eine n-te wurzel helfen? oder sollte ich besser für den unteren teil wieder die geometrische reihe anwenden?

ach und nochmal ein dickes dankeschön, zwar stand in der aufgabe echt drin
Hinweis: betrachten sie die geometrische reihe!
aber bis gerade ist mir nicht aufgefallen, dass sie dort die umformung meinten und
nennt man das nicht substiuiert haben?

EDIT: Zeilenschaltungen im Latexcode entfernt (klarsoweit)

22.08.2010, 20:48

Mulder

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RE: Grenzfunktion einer funktionenreihe, punktweise konvergenz
giles, ich schätze mal, dass das ominöse $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ in der Summe mal wieder der übliche Kopierfehler ist, der hier andauernd auftritt, wenn jemand diese Summe aus dem Formeleditor rausholt.

Sicher sagen kann das aber natürlich nur nils mathe lk hems ...

Edit: Da haben wir's...

22.08.2010, 20:50

nils mathe lk hems

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der nils mathe lk hems gibt kleinlaut zu, dass er das erst bei seinem zweiten beitrag entdeckt hat und nun heimlich rauseditiert um dann fleißig zu rechnen ^^

22.08.2010, 20:51

giles

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RE: Grenzfunktion einer funktionenreihe, punktweise konvergenz

Zitat:

Original von Mulder
giles, ich schätze mal, dass das ominöse $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ in der Summe mal wieder der übliche Kopierfehler ist, der hier andauernd auftritt, wenn jemand diese Summe aus dem Formeleditor rausholt.

Hm, hab ich so noch nicht bemerkt.
Wenn dem wirklich so ist möge der Fragesteller meinen Beitrag doch bitte ignorieren und ich klinke mich wieder aus Augenzwinkern

edit: *ausklink*

22.08.2010, 20:58

nils mathe lk hems

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hmm im ersten fall ist es tatsächlich genauso einfach ^^
ist dort ja letztlich statt nem x quadriertes x oben...
ich danke für die hilfe!!!

22.08.2010, 21:36

nils mathe lk hems

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in aufgabenteil 2 soll ich die gleichmäßige konvergenz widerlegen.
nun bin ich mir aber nicht genau sicher, weil mit meiner rechnung bestätige ich gerade diese -.-

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [0,1]} \left\{ | f_n(x)-f(x) | \right\} =\sup_{x \in [0,1]} \left\{ | \frac{x^2}{(1+x^2)^n} -(1+x^2) | \right\} \end{eqnarray*}$

habe ich damit schonmal das richtig aufgestellt?
oder hat das hoch n darin nix zu suchen?
dass bin ich mir nämlich nicht sicher, allerdings steht ja
$\begin{eqnarray*} f_n(x)-f(x) \end{eqnarray*}$
in der formel ?!
so weiter im projekt. muss ich nun wie beim integrieren erst die obere grenze einsetzen und die untere davon abziehen?

23.08.2010, 08:26

tmo

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Das erste was du schaffen solltest, ist den Term $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ aufzustellen, wobei $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ die n-te Funktion der hier gegebenen Funktionenreihe ist.

Danach kann man sich langsam mal trauen, $\begin{eqnarray*} f_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$ zu berechnen und daraus Schlüsse zu ziehen.

Alternativ gibt es auch eine (wenn man die geeigneten Sätze kennt) sehr einfache Lösung über Stetigkeit, allerdings glaube ich dass, die direkte Lösung über die Definition dir zwecks Verständnis mehr bringt.

23.08.2010, 14:26

nils mathe lk hems

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wie kommst du auf das hier?

$\begin{eqnarray*} f_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$

vor allem wie kommst du auf die $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$ ?

ist das ein erfundener wert? die wurzel kann ich vllt noch damit nachvollziehen, da dort ein quadrat ist bei beiden x aber warum geteilt durch n ?

das mit der stetigkeit ist der satz von dini oder?
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Dini

das es nicht stetig ist folgerst du daraus, dass die grenzfunktion für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gleich null ist und für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ denke ich mal.
aber wie du schon geschrieben hast ich hab das mit dieser definition mit dem sup noch nicht verstanden und ich denke das ist doch ziemlich wichtig, da bei vielen aufgaben steht in meinen übungsaufgaben in der lösung nach satz 25.1 ...

23.08.2010, 16:04

nils mathe lk hems

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wenn ich jetzt überall die $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$ einsetze komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [0,1]}| \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n} } -(1+\frac{1}{n})| \end{eqnarray*}$

muss ich darin nun die grenze 1 einetzen?

24.08.2010, 07:53

tmo

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Zitat:

Original von tmo
Das erste was du schaffen solltest, ist den Term $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ aufzustellen, wobei $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ die n-te Funktion der hier gegebenen Funktionenreihe ist.

Das ist dir immer noch nicht gelungen. Du scheinst es geschickt umgangen zu haben.

Danach wirst du vielleicht auch erkennen, wie ich dann auf alles andere gekommen bin? Die Antwort ist nämlich: Weil es zum Ziel führt.

24.08.2010, 13:10

nils mathe lk hems

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also ist das $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$ ?

weil davon bin ich die ganze zeit ausgegangen. richtig ist aber, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = 1+x^2 \end{eqnarray*}$

EDIT: Latexcode verbessert (klarsoweit)

24.08.2010, 13:19

tmo

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
also ist das $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$ ?

Nein.

Wir sollte die Funktionenreihe mal etwas umschreiben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^k} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \end{eqnarray*}$

Erkennst du jetzt $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ ?

24.08.2010, 14:24

nils mathe lk hems

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$\begin{eqnarray*} f_{n}(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$

also das war jetzt eher geraten aber ich komm echt beim besten willen gerade nicht auf das, was verlangt ist unglücklich

hab mir schon im wikipedia was durchgelesen aber das was verlangt ist also $\begin{eqnarray*} f_{n}(x) \end{eqnarray*}$ ist doch die funktionenreihe oder ist das die funktionenfolge?
der unterschied dabei ist doch nur, dass bei der reihe ein summenzeichen ist und bei der folge der limes wenn ich das gerade in zwei definitionen bei mir im buch sehe

ich schließe das mit der funktionenfolge aus dieser definition:

die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ heißt auf D punktweise konvergent, wenn für alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ die Folge $\begin{eqnarray*} (f_{n}(x))_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Ist $\begin{eqnarray*} (f_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ punktweise konvergent, so heißt die Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \to \mathbb R mit D(f) = D \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f(x) = \lim_{n \to \infty } f_{n}(x) ; x\in D \end{eqnarray*}$

Grenzfunktion der Funktionenfolge.

das hier jetzt die ganze zeit von punktweiser konvergenz die rede ist soll bitte nicht stören, aber es ist das einzige, wo dieses $\begin{eqnarray*} f_{n}(x) \end{eqnarray*}$ irgendwie erwähnt wird...
und wenn ich das richtig verstehe, wäre es dann das was, ich ganz oben in diesem beitrag geschrieben hab...
ich hoffe ich liege damit richtig und hab nicht umsonst die definition abgeschrieben.

24.08.2010, 15:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
$\begin{eqnarray*} f_{n}(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$

Mit etwas Nachdenken sollte klar sein, daß das Unfug ist. Links steht etwas, das von n abhängig sein soll (für jedes n gibt es eine Funktion f_n(x)). Rechts steht etwas, das im Ergebnis von n unabhängig ist.

Jetzt schau dir nochmal

Zitat:

Original von tmo
Wir sollte die Funktionenreihe mal etwas umschreiben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^2}{(1+x^2)^k} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \end{eqnarray*}$

und finde einen Term, der von n abhängig ist.

24.08.2010, 15:46

nils mathe lk hems

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also abhängig von n ist dieser teil...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \end{eqnarray*}$

is das problem, was ich die ganze zeit hatte, dass dieses summenzeichen mit in den betrag hinein muss und man dann die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ einsetzt für jedes x...

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [0,1]}| \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\frac{1}{n}}{(1+\frac{1}{n})^n } -(1+\frac{1}{n})| \end{eqnarray*}$

is das so richtig?
also das wäre dann schon die endform mit dem eingesetzt, was mir tmo vorgeschlagen hatte...
aber warum hat er mir für x das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen? dann hätten die grenzen [0,1] doch garkeinen sinn oder, wenn man sie nicht verwendet?

wie verfahre ich danach weiter?

24.08.2010, 16:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
also abhängig von n ist dieser teil...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \end{eqnarray*}$

Nein, ist er nicht. Denn durch die Grenzwertbildung ist das n verschwunden. Laß die Grenzwertbildung weg und nenne die verbleibende Funktion f_n(x).

Hoppla, war es nicht das, was du suchtest? verwirrt

24.08.2010, 16:13

nils mathe lk hems

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also wenn ich die grenzwertbildung wegfallen lasse bleibt das übrig oder?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \end{eqnarray*}$

auch wenn das gerade für mich auch nicht wirklich sinnvoll erscheint.

für mich ergibt irgendwie mehr sinn für f_n(x) das hier zu wählen

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$

das ist von einem n abhängig ich kann die beiden grenzen in die x einsetzen und den rest abhängig vom n mit dem limes hochlaufen lassen, der ja bei der ganzen formel auch noch vorne dran steht...

24.08.2010, 18:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \end{eqnarray*}$

Das hier ist genauso von n abhängig. Und obendrein ist dann auch $\begin{eqnarray*} f(x) = \lim_{n \to \infty}~f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
für mich ergibt irgendwie mehr sinn für f_n(x) das hier zu wählen

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \end{eqnarray*}$

das ist von einem n abhängig ich kann die beiden grenzen in die x einsetzen und den rest abhängig vom n mit dem limes hochlaufen lassen, der ja bei der ganzen formel auch noch vorne dran steht...

Das ist zwar ganz nett, aber wo bleibt dann die Summation?

25.08.2010, 03:03

nils mathe lk hems

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also zum schluss das ergebnis ist, dass hier:

$\begin{eqnarray*} f_{n}(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^{k}} \end{eqnarray*}$

führt dann dazu...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sup_{x \in [0,1]} \left\{ | f_n(x)-f(x) | \right\} =\lim_{n \to \infty }\sup_{x \in [0,1]} \left\{ | \sum\limits_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} -(1+x^2) | \right\} \end{eqnarray*}$

aber wie mach ich das jetzt mim einsetzen?
ich hab diese 1/n^{1/2} immer noch nicht verstanden...
die wurzel könnte ich nachvollziehen dadurch, dass x im quadrat ist... aber wenn ich dort n einsetze und nicht [0,1] wofür ist dann das intervall?

25.08.2010, 09:09

klarsoweit

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Wende erstmal auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \end{eqnarray*}$ die geometrische Summenformel an.

25.08.2010, 11:35

nils mathe lk hems

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was meinst du damit? ich hab jetzt gerade keine ahnung was du mit der geometrischen summenformel meinst -.-
das gleiche was man macht um die grenzfunktion zu bestimmen oder was?

nur zum nachfragen f(x) hab ich mit 1+x^{2} schon richtig bestimmt gehabt oder?

25.08.2010, 11:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
das gleiche was man macht um die grenzfunktion zu bestimmen oder was?

Ja.

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
f(x) hab ich mit 1+x^{2} schon richtig bestimmt gehabt oder?

Ja für x ungleich Null.

25.08.2010, 11:58

nils mathe lk hems

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brauch ich aber nicht für die grenzfunktion wieder den limes?
ich versteh das gerade nicht so ganz, warum man dann schon wieder ne grenzfunktion finden soll?
es wird doch auch nichts anderes dabei herauskommen als zuvor oder?

dass ganze sieht eigentlich so einfach aus, dass man einfach in die formel f_n(x) - f(x) einsetzt mit den grenzen und danach n gegen unendlichen laufen lässt wegen dem limes davor...

25.08.2010, 12:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
ich versteh das gerade nicht so ganz, warum man dann schon wieder ne grenzfunktion finden soll?

Das sollst du gar nicht, sondern nur die geometrische Summenformel anwenden.

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
es wird doch auch nichts anderes dabei herauskommen als zuvor oder?

Die Situation ist anders, da erst die Supremumsbildung durchzuführen ist und dann erst kommt die Limesbildung.

25.08.2010, 12:15

nils mathe lk hems

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also muss ich jetzt zuerst das untere wieder x^2 rausziehen und das untere als die geometrische reihe betrachten oder wie meinst du das?
ich bin mir gerade nicht ganz sicher, denn wenn ich nur das summenzeichen hab bekomm ich doch eigentlich das hier raus...

$\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{x^{2}}{1+x^{2}} + \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} + ... + \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}} \end{eqnarray*}$

also ich weiß hier geht es darum, dass man selbst auf irgend etwas kommt aber ich komm irgendwie auch mit eurer hilfe ja nicht wirklich weiter also wenn mir irgendjemand erklären könnte, wie das zu machen ist, wäre ich sehr dankbar!

25.08.2010, 13:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
ich bin mir gerade nicht ganz sicher, denn wenn ich nur das summenzeichen hab bekomm ich doch eigentlich das hier raus...

$\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{x^{2}}{1+x^{2}} + \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} + ... + \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}} \end{eqnarray*}$

Also ich finde diese Schreibweise einfacher eleganter:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ziehst du das x² aus dem Zähler nach vorne und wendest auf die Summe die Formel für eine geometrische Reihe an. Die eigentliche Intelligenzleistung, die ich auch dir nicht erspare, ist zu erkennen, was in deiner Summe dem q in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n q^k \end{eqnarray*}$ entspricht.

Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

25.08.2010, 13:53

nils mathe lk hems

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{1+x^{2}}} \end{eqnarray*}$

so das is ja kein problem das zu bilden x^2 wieder rein...

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{1-\frac{1}{1+x^{2}}} \end{eqnarray*}$

unten im bruch erweitern...

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}} -\frac{1}{1+x^{2}} } \end{eqnarray*}$

zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}} \end{eqnarray*}$

kürzen und den untersten teil hochziehn...

$\begin{eqnarray*} 1+x^{2} \end{eqnarray*}$

so meintest du das? oder hab ich jetzt irgendwas zu viel gemacht?

25.08.2010, 13:58

klarsoweit

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Du hast da die Formel für die unendliche geometrische Reihe genommen. Hier geht es aber um die endliche geometrische Reihe. Und ich habe dir extra noch einen Link gepostet. unglücklich

25.08.2010, 14:00

nils mathe lk hems

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oh sry
ich hab vorschnell alles aufgeschrieben -.-
ich les mir das erstmal durhc... Gott

25.08.2010, 14:12

nils mathe lk hems

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also ich denke ich soll diese formel benutzen

$\begin{eqnarray*} s_n = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

dann wäre $\begin{eqnarray*} a_{0} = x^{2} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} q^{k} = (1+x^{2})^{k} \end{eqnarray*}$

nach dem einsetzen ist $\begin{eqnarray*} s_n = x^{2}* \frac{1-(1+x^{2})^{n+1}}{1-(1+x^{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = x^{2}* \frac{1-(1+x^{2})^{n+1}}{-x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = (1+x^{2})^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

25.08.2010, 14:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
und $\begin{eqnarray*} q^{k} = (1+x^{2})^{k} \end{eqnarray*}$

Nein.

25.08.2010, 14:20

nils mathe lk hems

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ach man
$\begin{eqnarray*} q^{k} =\left(\frac{1}{ 1+x^{2}}\right)^{k} \end{eqnarray*}$

ich stells grad nochmal von vorne auf -.-

25.08.2010, 14:23

nils mathe lk hems

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dann bleibt für s_n übrig am ende...

$\begin{eqnarray*} s_n = 1-\left(\frac{1}{ 1+x^{2}}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

25.08.2010, 14:32

klarsoweit

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Das steht im Zähler. Und im Nenner?

25.08.2010, 14:47

nils mathe lk hems

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kürzt der sich nicht weg?

gesamte funktion...

$\begin{eqnarray*} s_n = x^{2} * \frac{1-\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right) ^{n+1}}{1-\frac{1}{1+x^{2}}} \end{eqnarray*}$

danke, dass du mich drauf hingewiesen hast... ich hab unten auf x^2 einfach verkürzt und mit dem 1+x^2 im bruch darunter nicht mehr weiter gerechnet -.-

also unten erweitern und die x^2 wegkürzen dann komm ich auf

$\begin{eqnarray*} s_n = \frac{1-\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right) ^{n+1}}{\frac{1}{1+x^{2}}} \end{eqnarray*}$

die hochziehen wird zu:

$\begin{eqnarray*} s_n = \left(1-\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right) ^{n+1}\right)*\left(1+x^{2}\right) \end{eqnarray*}$

jetzt kann ich doch aus dem n+1 einmal das rausziehen $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{1+x^{2}}\right) \end{eqnarray*}$ und das ganze multiplizieren mit dem ding hinten

$\begin{eqnarray*} s_n = 1+x^{2}-\left(\frac{1}{1+x^{2}} \right)^{n} \end{eqnarray*}$

25.08.2010, 14:55

klarsoweit

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OK. Jetzt können wir uns wieder mit

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sup_{x \in [0,1]} \left\{ | f_n(x)-f(x) | \right\} =\lim_{n \to \infty }\sup_{x \in [0,1]} \left\{ | \sum\limits_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} -(1+x^2) | \right\} \end{eqnarray*}$

beschäftigen. Für den Summenausdruck kannst du jetzt dein Ergebnis einsetzen.
Übrigens gilt die ganze Rechnung nur für x ungleich Null. Aber der Fall x=0 ist nicht weiter von Belang.

25.08.2010, 15:07

nils mathe lk hems

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das hab ich schonmal gemacht... ich schreib mal meine schritte hier auf, denn ich denke ich hab da auch noch nen fehler drin.
im buch hieß es: " zeigen sie, dass die funktionenreihe im intervall nicht konvergiert."
bei mir tut es das -.-

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left\{ \sup_{x \in [0,1]}| f_n(x)-f(x) | \right\} =\lim_{n \to \infty } \left\{ \sup_{x \in [0,1]}| \sum\limits_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} -(1+x^2) | \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left\{\sup_{x \in [0,1]} |\left(1+x^{2}-\left( \frac{1}{1+x^{2} }\right)^{n}\right) -\left(1+x^2\right) | \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left\{ \sup_{x \in [0,1]}| -\left(\frac{1}{1+x^{2}} \right) ^{n} | \right\} \end{eqnarray*}$

edit:
hier erst einsetzten und dann betrag nehmen oder erst betrag und dann einsetzen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\left\{ | 1^{n} - \frac{1}{2^{n}}| \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \end{eqnarray*}$

und das läuft doch jetzt gegen 0? womit eigentlich bewiesen wäre, dass es gleichmäßig konvergent ist oder ist das mit obere minus untere grenze falsch?
ach und gleichmäßige konvergenz kann ja aufgrund der stetigkeit nicht stimmen -.-

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Grenzfunktion einer Funktionenreihe, gleichmäßige Konvergenz widerlegen...

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