Die harmonische Reihe

23.08.2010, 09:20

mathinitus

Die harmonische Reihe

Wir wissen ja, dass die harmonische Reihe divergiert. Ich vermute stark, dass daher auch folgendes divergiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x->1+} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x} \end{eqnarray*}$

Wie lässt sich das denn zeigen?

23.08.2010, 09:39

tmo

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Nehmen wir ein x > 1.

Die einfache Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^x} > \int_{k}^{k+1}\frac{du}{u^x} > \frac{1}{(k+1)^x} \end{eqnarray*}$

liefert durch Addieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^x} > \int_1^{n+1} \frac{du}{u^x} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)^x} \end{eqnarray*}$

Führt man nun konsequent weiter, landet man bei $\begin{eqnarray*} 1<(x-1)\zeta(x)<x \end{eqnarray*}$ und im Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ bei der Behauptung.

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^x} \end{eqnarray*}$

23.08.2010, 15:13

nils mathe lk hems

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warum ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ dann konvergent? und wird oft benutzt als majorante um andere folgen als gleichmäßig konvergent zu bestimmen?

24.08.2010, 08:09

tmo

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Weil $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} s > 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Sonst würde ja schon die Fragestellung von mathinitus keinen Sinn ergeben.

Hat denn irgendwer was anderes behauptet?

24.08.2010, 14:34

nils mathe lk hems

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hab die nicht ganz verstanden gehabt glaube ich...

er wollte wissen, wie man zeigen, dass irgendwas knapp über 1 noch divergiert nicht wahr?
ich dachte erst er will zeigen, dass alles mit ner höheren potenz als 1 auch divergieren würde

25.08.2010, 10:58

tmo

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
er wollte wissen, wie man zeigen, dass irgendwas knapp über 1 noch divergiert nicht wahr?

Das ist mathematischer Nonsens. Was er zeigen wollte:

Wenn man jedem x > 1 durch eine Funktion $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} \zeta(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^x} \end{eqnarray*}$ zuordnet, dann ist diese Funktion zunächst einmal wohldefiniert, weil die Reihe für x > 1 konvergiert. So nun entfernen wir uns von der Konvergenz der Reihen und betrachten nur noch das Verhalten der Funktion $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ in der Nähe von 1, d.h. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \zeta(x) \end{eqnarray*}$ . Die Vermutung, dass dieser Grenzwert nicht existiert, d.h. dass bestimmte Divergenz gegen unendlich vorliegt, ist wegen der Divergenz der harmonischen Reihe naheliegend. Dass dies auch wirklich so ist, wollte er zeigen.

Ich habe übrigens ein bisschen mit Kanonen auf Spatzen geschossen, eine einfache Abschätzung wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{n^x} \geq 1+\sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{(2^{k+1})^x} = 1+ \frac{1}{2^x-2} \end{eqnarray*}$

hätte auch schon gereicht

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