Grundsatzfragen zur Vektorrechnung |
| 23.08.2010, 14:02 | locloc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Grundsatzfragen zur Vektorrechnung wir haben grad mit dem Thema analytischer Geometrie begonnen. Nun geht leider aus dem Begriffsblatt einiges nicht eindeutig hervor. Wir sollten ein Dreieck zeichnen mit Koordinaten a, b, und c. Dieses ist ja einfach. Auch die Verschiebung ist einfach, eben zB 7 nach rechts und drei hoch oder so, als Beispiel. Die Ortsvektoren sollen dann angebeben werden. Vom ersten Dreieck ist der Ortsvektor doch vom Koordinatenursprung, richtig? (Für jeden Punkt des Dreiecks, also hat jeder Ortsvektor die Koordinaten eines Punktes, a b und c eben - nur in Vektorschreibweise). Für das verschobene Dreieck müsste der Ortsvektor doch von dem letzten Punkt des ersten Dreiecks ausgehen. Also von a zu a'. Das ist doch der Ortsvektor, mit den neuen Koordinaten als Vektorschreibweise. Ist das korrekt? |
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| 23.08.2010, 14:36 | Riemannson | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
der ortsvektor "beginnt" immer im nullpunkt! also bei dir ist der ortsvektor von a' der punkt selbst nur in vektorschreibweise. sonst kannst du den ortsvektor von a mit dem vektor von a zu a' addieren und erhältst auch den ortsvektor zu a' |
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| 23.08.2010, 14:43 | locloc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso. Ok. Also ist es auch falsch, den Ortsvektor von a' (dort sollten pfeile eingezeichnet werden - wo er beginnt und wo er endet) bei a beginnen zu lassen und bei a' zu enden? müsste ja falsch sein wenn ich das richtig verstanden habe. Dann müssten alle Ortsvektoren ja vom Koordinatenursprung gezeichnet werden. |
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| 23.08.2010, 14:44 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich sehe eine kleine Gefahr für Missverständnisse, darum erlaube mir, die Formulierung hier etwas zu präzisieren: Wenn man den Ortsvektor von a auf den Verschiebungsvektor a->a' (also der Vektor, der a auf a' abbildet) addiert, erhält man den Ortsvektor von a'. Solche Dinge kann man sich auf einem Blatt Papier immer wunderbar veranschaulichen, Vektoren sind ja so herrlich anschaulich. Allerdings musst du bei Vektoren immer im Kopf behalten, dass ein Vektor kein ortsfester "Pfeil" ist, sondern ortsungebunden ist. Der Vektor hat keine "Position" im Koordinatensystem, sondern kann überall liegen! Daher muss man auch beim Ortsvektor aufpassen: Der Ortsvektor kann durchaus woanders als im Ursprung anfangen. Der Begriff kommt daher, dass man sagt, der Ortsvektor eines Punktes ist der Vektor, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt. Um eine Verschiebung anzugeben brauche ich ja zwei Punkte (Urbild und Bild). "Ortsvektor" bedeutet einfach, dass man als Urbildpunkt den Ursprung nimmt. Es ist also "Ortsvektor von Punkt A" = "Vektor, der O auf A verschiebt". air |
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| 23.08.2010, 15:05 | Riemannson | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
richtig locloc ABER alle ortsvektoren MÜSSEN NICHT zwangsläufig vom ursprung aus gezeichnet werden, wie mein vorredner schon richtig gesagt hat. als kleines beispiel: der vektor von (2,2)->(3,3) ist der gleiche wie von (0,0)->(1,1) am besten zur veranschauung zeichnen! .... und beide vektoren sind ortsvektoren vom punkt (1,1) |
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| 23.08.2010, 15:21 | locloc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mhmm.. und woran erkenne ich wann eni ortsvektor von wo aus zu zeichnen ist? In unserem Skript steht nur dass er die gleichen Koordinaten hat wie ein Punkt p... 
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| 23.08.2010, 15:32 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Einen Pfeil zu zeichnen bedeutet nicht, den Vektor zu zeichnen, sondern lediglich einen Vertreter dieses Vektors zu zeichnen. Wie gesagt, ein Vektor liegt "überall" und "nirgendwo". Ein Vektor gibt lediglich eine relative Verschiebung an. Wie mein Vorredner schon sagte: Der Vektor von (0,0)->(1,1) ist exakt der selbe Vektor wie der von (3,4)->(4,5). Es ist ein und dasselbe Objekt. Theoretisch kannst du ihn zeichnen wo du willst, aber wenn es ein Ortsvektor ist, macht es Sinn, ihn beim Ursprung beginnen zu lassen. In der Schule ist man da (leider) meist nicht so ganz korrekt, wenn es darum geht, Vektoren von ihren Vertretern zu unterscheiden. Das geht v.a. am Anfang auf Kosten des Verständnisses. Du wirst dich aber schnell daran gewöhnen. Um dir nochmal vor Augen zu führen, dass die Lage der Vektoren egal ist: Stell dir eine beliebige geometrische Situation vor. Dreiecke, Vektoren - der ganze Haufen. Und jetzt verschiebe einfach das Koordinatensystem wie du lustig bist. An der geometrischen Situation ändert das gar nichts. 
air |
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| 25.08.2010, 13:30 | locloc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das find ich ganz schön schwierig nachzuvollziehen... Das ein Vektor eine Verschiebung darstellt, verstehe ich ja. Das auch:
Ich wüsste dann immer noch nicht wann ein einen Ortsvektor wann vom Koordinatenursprung zeichnen müsste, und wann (und warum) von wo ganz anders aus. |
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| 25.08.2010, 13:45 | Riemannson | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich glaube die definition für vektor in der schule ist doch: ein vektor ist die menge aller pfeile, die gleich lang sind und gleiche richtung haben. wenn du jetzt den pfeil von koordinatenursprung zeichnest, zeichnest du ein beispiel für diesen vektor aber alle anderen pfeile, die du zeichnen kannst die gleich lang sind und die gleiche richtung haben representieren ja auch den gleichen vektor. von daher gibt es keinen grund das mann einen pfeil einmal vom ursprung zeichnet und einmal nicht, du kannst ihn zeichnen von wo du willst solang er gleich lang ist und gleiche richtung hat |
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| 25.08.2010, 13:47 | locloc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm ok. Das verstehe ich eher. Ich habe eben nur gehört dass der Ortsvektor immer im Koordinatenursprung beginnt. Trotzdem wird meine Lösung dann nicht falsch gewesen sein beim Zeichnen und verschieben des Dreiecks. |
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| 25.08.2010, 13:53 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich versuche dir das nochmal zu erklären: Wenn ich den (Verschiebungs-)Vektor zwischen zwei Punkten aufschreiben will, was benötige ich dann? Korrekt - zwei Punkt. Nicht einen, sondern zwei! Wenn ich nun also sage "Der Vektor des Punktes A", so macht das erstmal keinen Sinn. Mir fehlt ja ein zweiter Punkt! Der Begriff "Ortsvektor des Punktes A" bedeutet nun einfach, dass der andere Punkt der Ursprung sein soll. Man versteht darunter als ven Vektor von O nach A. Aufgrund dieser Festlegung erscheint es naheliegend, einen Vertreter dieses Vektors beim Zeichnen eben auch an den Koordinatenursprung setzen zu wollen. Wenn du den Vektor zwischen zwei Punkten eines Dreiecks zeichnen sollst, dann wirst du den i.d.R. ja auch an diesen Punkten ansetzen, nicht wahr?
Ein Muss ist das aber nicht, da der Vektor nicht ortsfest ist und beliebig verschoben werden könnte. Es macht in der Schule einfach nur mehr Sinn, den Ortsvektor an den Ursprung zu legen, da er eben auch mit Hilfe des Ursprungs definiert wurde. air |
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