Äußeres Maß, aber kein Maß

06.11.2006, 14:28

Seb17

Äußeres Maß, aber kein Maß

Hallo nochmal Willkommen

,

habe hier noch folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} \mu^{*}:\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ definiert durch:

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}(A):=\begin{cases} 0, & \mbox {falls A höchstens abzählbar}\\ 1, &\mbox{falls A überabzählbar}\end{cases}. \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \mu^{*} \end{eqnarray*}$ ist ein äußeres Maß, aber kein Maß.

Dazu habe ich mir folgendes überlegt, wäre schön, wenn jemand das ggf. korrigieren würde. Danke im Voraus!

Also:

Für ein äußeres Maß müssen folgende drei Eigenschaften erfüllt sein.

(1) $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(\varnothing)=0 \end{eqnarray*}$ (Nulltreue),

(2) $\begin{eqnarray*} A\subset B\Rightarrow\mu^{*}(A)\le\mu^{*}(B) \end{eqnarray*}$ (Monotonie),

(3) $\begin{eqnarray*} \mu^{*}\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\right)\le\sum_{n=1}^\infty \mu^{*}(A_n), \ \ A_1, A_2, ...\in\mathcal{P}(\mathbb{R})\ \ (\sigma \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -Subadditivit\ddot a t). \end{eqnarray*}$

Zu (1): $\begin{eqnarray*} \mu(\varnothing)=0 \end{eqnarray*}$ ist klar, da $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ (höchstens) abzählbar nach Analysis I.

Zu (2): Seien $\begin{eqnarray*} C,D\in\mathcal{P}(\mathbb{R}). \end{eqnarray*}$

1. Fall: Sei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ überabzählbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ebenfalls überabzählbar oder $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ (höchstens) abzählbar.

(a) $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ überabzählbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(C) = 1\le 1=\mu^{*}(D)\ \ \ \surd \end{eqnarray*}$ .

(b) $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ (höchstens) abzählbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(C) = 0\le 1=\mu^{*}(D)\ \ \ \surd. \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(C) = 0\le 0=\mu^{*}(D)\ \ \ \surd. \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das stimmt bis hierhin. Danke fürs Durchhalten Augenzwinkern

.

Zu (3): Jetzt wird es ja schwieriger: Definiere $\begin{eqnarray*} F:= \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n. \end{eqnarray*}$

1. Fall: $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(F) = 0\Rightarrow F \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A_1, A_2, ... \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow\sum_{n=1}^\infty A_n =0 \end{eqnarray*}$ , also Punkt (3) erfüllt.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} \mu^{*}(F)=1\Rightarrow F \end{eqnarray*}$ überabzählbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Mind. ein $\begin{eqnarray*} A_i, i\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ überabzählbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow\sum_{n=1}^\infty A_n \ge 1 \end{eqnarray*}$ , also auch hier Punkt (3) erfüllt.

Hoffe, ich habe nichts vergessen?

Wenn ein Maß vorliegen soll, müsste ja in Punkt (3) immer die Gleichheit gelten. Also: Finde Gegenbeispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} A_1=\mathbb{R}, A_2=\mathbb{R}, A_3=\varnothing, ..., A_i=\varnothing, ... \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mu^{*}(F) = 1 \end{eqnarray*}$ , aber die Summe ergibt ja 2. Also liegt kein Maß vor.

Wäre wirklich super cool, wenn ihr's auf Fehler durchsehen würdet. Danke, danke, mfG, Seb17 Augenzwinkern

06.11.2006, 14:45

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Zitat:

Original von Seb17
Wenn ein Maß vorliegen soll, müsste ja in Punkt (3) immer die Gleichheit gelten. Also: Finde Gegenbeispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} A_1=\mathbb{R}, A_2=\mathbb{R}, A_3=\varnothing, ..., A_i=\varnothing, ... \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mu^{*}(F) = 1 \end{eqnarray*}$ , aber die Summe ergibt ja 2. Also liegt kein Maß vor.

Da haben wir schon einen Fehler: In (3) muss bei einem Maß nur dann Gleichheit vorliegen, wenn zusätzlich vorausgesetzt wird, dass die $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ disjunkt sind! Das solltest du bei deinem Gegenbeispiel beachten. Aber mit einer kurzen Überlegung findest du auch eins unter diesen "verschärften" Bedingungen. Augenzwinkern

06.11.2006, 14:57

Seb17

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Wie wär's mit $\begin{eqnarray*} A_2 = \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , dann haut's hin oder?

Der Rest stimmt?, wäre wichtig, dass die Aufgabe gut wird (gibt ganze 7 Punkte, mehr als die Hälfte vom Üblatt) Augenzwinkern

LG Seb17

06.11.2006, 15:03

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Nein, dann haut's immer noch nicht hin. Du brauchst zwei disjunkte, überabzählbare Mengen in deiner Folge!

06.11.2006, 15:20

Seb17

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Sorry, da hab' ich gerade echt nicht nachgedacht *gg* LOL Hammer

...
Als ob die disjunkt wären (hehe) ...

Also:

$\begin{eqnarray*} A_1:=\mathbb{R}_{+}, A_2:=\mathbb{R}_{-}^{*} \end{eqnarray*}$ .

Hoffe, ich Trottel hab' jetzt nicht schon wieder gepennt Augenzwinkern

06.11.2006, 15:28

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Soll wohl heißen, in dem einen ist die Null drin, in der anderen nicht ... wie auch immer, wird jetzt schon das richtige sein. Freude

06.11.2006, 15:33

Seb17

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Der Rest stimmt denn?

06.11.2006, 15:47

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Wenn mir beim Überfliegen nicht gerade was entgangen ist: Ja. Freude

06.11.2006, 18:34

Mathespezialschüler

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@Arthur
Ist das reine Maßtheorie oder auch Teil der Stochastik? Bei ersterem hatten wir uns ja, soweit ich weiß, auf das Analysisforum für solche Fragen "geeinigt".

Gruß MSS

06.11.2006, 19:47

Seb17

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Hallo MSS:

Wenn ich auch antworten darf (bin im 3. Semester): Im Prinzip hast du Recht, es ist (reine) Maßtheorie, aber dennoch eine wichtige Grundlage für Stochastik. Die Aufgabe kommt z.B. aus Stochastik I, Nachfolgeveranstaltung von Einführung in die Stochastik ...
Ich denke, Puristen würden sagen: Analysis Augenzwinkern

LG Seb17

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