Krümmungsverhalten

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23.08.2010, 15:15	Lena93	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmungsverhalten Hallo. Das Krümmungsverhalten dieser beiden Funktionen soll bestimmt werden: 1. $\begin{eqnarray} ( x + 1)^3 -1 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} (x-1)^4 + 2 \end{eqnarray}$ 1. 1. Ableitung: Mit Binomischer Formel $\begin{eqnarray} 3(x+1)^2 * 1 = 3x^2 + 2x \end{eqnarray}$ 2.Ableitung: $\begin{eqnarray} 6x + 2 \end{eqnarray}$ 3.Ableitung: $\begin{eqnarray} 6 \end{eqnarray}$ Da die 3. Ableitung größer ist als 0, ist es eine Links-Rechts-Übergang. 2. 1.Ableitung: $\begin{eqnarray} 4 (x-1)^31 \end{eqnarray}$ Hier weiß ich nicht weiter, wie soll ich das zusammenfassen bzw. wie soll ich weitermachen? Dankeschön für alle Antworten
23.08.2010, 16:19	tobsen02	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du musst einfach wieder ganz normal die Kettenregel benutzen.
23.08.2010, 16:27	Lenaa93	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm. Klingt zu einfach Okey also dann die 2.Ableitung: $\begin{eqnarray} 4 3 * (x-2)^2 = 12x(x-2)^2 \end{eqnarray}$ 3.Ableitung Nochmal die Kettenregel? $\begin{eqnarray} 122(x-1) = 24x - 24 \end{eqnarray}$ So?
23.08.2010, 16:42	tobsen02	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo nimmst du denn bei der zweiten Ableitung im zweiten Schritt das x außerhalb der Klammer her? Und wieso steht in der Klammer plötzlich x-2 statt x-1?
23.08.2010, 16:45	Leaaa93	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid. Hab mich vertippt. 2.Ableitung: $\begin{eqnarray} 4 3(x-1)^2 = 12 (x-1)^2 \end{eqnarray}$ 3.Ableitung: $\begin{eqnarray} 12 * 2(x-1) = 24(x-1) = 24x - 24 \end{eqnarray*}$
23.08.2010, 16:57	tobsen02	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitungen stimmen Für das Krümmungsverhalten musst du jetzt nur noch den Wendepunkt berechnen.
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23.08.2010, 16:59	cutcha	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zunächst einmal solltest du auch die Schreibweise einer Funktion verwenden, wenn du von einer Funktion sprichst. z.B. $\begin{eqnarray} f(x)=(x+1)^3-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=(x-1)^4+2 \end{eqnarray}$ Die Schreibweise für eine Ableitung ist z.B f'(x) für die erste Ableitung. Was sind die Bedingungen für einen Wendepunkt? Schau noch einmal nach, ob du die binomische Formel in deiner 1. Ableitung richtig benutzt hast. Ich muss mich jetzt leider auf den Weg nach Hause machen, aber schau dir ruhig diesen Artikel bei Wikipedia an: http://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#...on_Wendepunkten /edit ich beziehe mich damit auf deine erste Aufgabe!
24.08.2010, 18:54	LenaX93	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für all eure Antworten und eure Hilfe! Okey jetzt nochmal alles ausführlich und ich hoffe doch auch korrekt. 1. $\begin{eqnarray} f(x) = (x+1)^3 - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 3 (x+1)^2 1 = 3 (x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = 6x + 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) = 6 \end{eqnarray*}$ Für einen Wendepunkt muss die 2.Ableitung = 0 sein, dies ist hier aber nicht der Fall und deshalb kann man das Krümmungsverhalten nicht bestimmen. Die zweite Funktion schien ich ja richtig abgeleitet zu haben. Dort war die 2. Ableitung aber auch nicht 0, deswegen gibt es auch dort keinen Wendepunkt?! Warum sollten wir uns dann das Krümmungsverhalten dieser beiden Funktionen anschauen Vielen Dank nochmal!
24.08.2010, 19:07	tobsen02	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du darauf, dass kein Wendepunkt existiert? Du hast ja bereits richtig festgestellt, dass für einen Wendepunkt die zweite Ableitung gleich null sein muss. Und das ist auch hier möglich: $\begin{eqnarray} 0 = 6x + 6 \end{eqnarray}$ Löse die Gleichung nach x auf, und du hast deinen Wendepunkt
24.08.2010, 19:55	Lenaxx93	Auf diesen Beitrag antworten »
1. $\begin{eqnarray} 6x + 6 = 0 \|-6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6x = -6 \|:6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = 6(-1) + 6 = -6 + 6 = 0 \end{eqnarray}$ Also gibt es einen Wendepunkt an der Stelle x = -1 ? So nun soll ich aber bestimmen ob es eine Links-Rechts- oder Rechts-Links-Übergang ist. Den Wendepunkt vielleicht in die 3.Ableitung einsetzen? Nur die 3 Ableitung ist ja 6 und da ist kein x mehr. ? 2. Da sieht es etwas schwerer aus: $\begin{eqnarray} f''(x)=12(x²-2x+1) = 0 \|PQ-Formel \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 12 ( 1 +- Wurzel aus (1-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 12* (1+- 0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 12 \end{eqnarray*}$ Hier ist die 2.Ableitung also nicht 0. Danke nochmal.
24.08.2010, 20:24	tobsen02	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau Um den Übergang festzustellen kannst du wie bereits angedeutet die dritte Ableitung benutzen. Dabei spielt es keine Rolle ob dort ein x vorhanden ist, oder nicht, einzig der Funktionswert der dritten Ableitung spielt eine Rolle, und der ist ja immer 6. Dann sei nochmal kurz das Kriterium für Wendepunkte von Wikipedia zitiert: Eine Rechts-Links-Wendestelle existiert, wenn: $\begin{eqnarray} f'''(x) > 0 \end{eqnarray}$ Eine Links-Rechts-Wendestelle existiert, wenn: $\begin{eqnarray} f'''(x) < 0 \end{eqnarray}$ Bei der zweiten Aufgabe hast du außerdem die Gleichung merkwürdig aufgelöst. Die PQ-Formel sollte man erst anwenden, wenn kein Faktor mehr vor dem x^2 steht, dementsprechend solltest du erst die gesamte Gleichung durch 12 teilen. Danach hast du die PQ-Formel allerdings richtig angewandt, kommst nur irgendwie auf das falsche Ergebnis $\begin{eqnarray} x = 1 \pm \sqrt{1 - 1} \end{eqnarray}$ D.h. die Nullstelle der zweiten Ableitung liegt bei x = 1.
24.08.2010, 20:47	Lenaxy93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke,Danke,Dankeschön tobsen Das heißt bei 1. ist es ein Links-Rechts-Übergang. Zu 2. Also fällt die 12 einfach weg? $\begin{eqnarray} 12(x^2 - 2x +1) = 0 \| :12 -> x^2-2x+1 = 0 \end{eqnarray}$ Setze ich das nun in 2.Ableitung ein: $\begin{eqnarray} 12(1-1)^2 = 0 \end{eqnarray}$ Es gibt also eine Wendestelle und nun muss ich den X-Wert 1 in die 3 Ableitung einsetzen. $\begin{eqnarray} f'''(x)= 24 - 24 = 0 \end{eqnarray}$ Nun ist es weder größer noch kleiner als 0
24.08.2010, 21:00	tobsen02	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der ersten Funktion ist der Funktionswert der dritten Ableitung 6, d.h. größer 0 und damit liegt eine Rechts-Links-Wendestelle vor Bei der zweiten Funktion liegst du richtig. Wenn die dritte Ableitung wieder Null wird, kann man nicht genau feststellen, ob ein Wendepunkt oder ein Extrema vorliegt. Daraufhin muss man solange ableiten, bis eine Ableitung $\begin{eqnarray} \neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Leiten wir die dritte Ableitung nochmal ab, kommen wir zu $\begin{eqnarray} f''''(x) = 24 \end{eqnarray}$ . Diese Ableitung ist $\begin{eqnarray} \neq 0 \end{eqnarray}$ . Die Regel besagt, dass bei geraden Ableitungen (2.,4.,6. ...) $\begin{eqnarray} \neq 0 \end{eqnarray}$ ein Extrema vorliegt (da 24 größer als 0 ist, ein Minimum), bei ungeraden Ableitungen (1.,3.,5. ...) $\begin{eqnarray} \neq 0 \end{eqnarray}$ ein Wendepunkt. Für die zweite Funktion bedeutet das, dass keine Wendepunkte vorliegen, sondern nur ein Minimum bei x=1
24.08.2010, 21:52	Lenaz93	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, super erklärt und endlich fertig. Großen Dank an tobsen und an die anderen! Weiter so!

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