Lokale Extrema unter Nebenbedingung

23.08.2010, 16:50

Erstler

Lokale Extrema unter Nebenbedingung

Hi,

folgende Problemstellung: Bestimme as Maximum der Fkt. $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R,~\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\mapsto x\cdot y \cdot z \end{eqnarray*}$ unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist offen und mit $\begin{eqnarray*} G(x):~\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R,~x\mapsto x^2+y^2+z^2-1 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} M=\{(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}\in\mathbb R^3~|~x^2+y^2+z^2-1=0\}=G^{-1}(0) \end{eqnarray*}$ als kompakte Menge ({0} ist kompakt, also auch das Urbild da G stetig), also dürfen wir den Satz über die lok. Extrema mit Nebenbedingung verwenden.

Dazu habe ich dann $\begin{eqnarray*} DG=\begin{pmatrix} 2x & 2y & 2z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad} f=\begin{pmatrix} yz \\ xz \\ xy \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufgestellt. Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ jetzt in $\begin{eqnarray*} c\in M \end{eqnarray*}$ ein lokales Extremum hat, so gibt es ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad} f(c)=\lambda\cdot DG(c)^{tr} \end{eqnarray*}$ .

Allerdings komme ich hier jetzt nicht weiter, da ich nicht weiß zu was ich auflösen muss bzw. was ich erhalten will. Muss ich das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen? Und wie geht es dann weiter?

23.08.2010, 22:25

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RE: Lokale Extrema unter Nebenbedingung

Zitat:

Original von Erstler
$\begin{eqnarray*} \operatorname{grad} f(c)=\lambda\cdot DG(c)^{tr} \end{eqnarray*}$ .

Allerdings komme ich hier jetzt nicht weiter, da ich nicht weiß zu was ich auflösen muss bzw. was ich erhalten will. Muss ich das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen? Und wie geht es dann weiter?

Genau, du musst sehen, ob es ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und Werte $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ gibt, die die Gleichung erfüllen. Für $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ gibt es manchmal auch Lösungen, diese sind aber so weit ich weiss nur seltenst ein Extremum.
Dann musst du dir überlegen ob die Punkte Extrema sind, was für Extrema es sind und warum. (Stichwort stetige Funktion auf kompakter Menge)

edit: Ach ja, du hast 4 Variablen. Die 4. Gleichung ist die Nebenbedingung.

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